Desde los comienzos del blog ciertas constantes han tenido un gran protagonismo en muchos artículos. Cierto es que el número \pi se lleva la palma, pero pero también ha habido otras constantes a las que se les han dedicado artículos por su importancia y sus características, como \sqrt{2}, la constante de Euler-Mascheroni \gamma o el número e.

Número e

Número e

Sobre este último tenemos varios artículos en los que aparece como protagonista principal o como actor secundario con un papel importante. Por ejemplo, hemos visto que es irracional y que es trascendente, dos características muy interesantes de un número que aparece tanto en nuestra vida diaria (más de lo que muchos piensan). También hablamos de cómo aparece al no formar ninguna pareja en el matching problem y, por otra parte, sabemos que es uno de los componentes de la identidad de Euler.
Los primeros 25 números primos

Los primeros 25 números primos


Y qué decir de los números primos, ellos sí que han aparecido en multitud de ocasiones por Gaussianos, ya sea demostrando su infinitud de varias formas (la demostración topológica me parece genial), generándolos o anunciando la aparición de nuevos miembros en esta familia tan peculiar.

Lo que no habíamos visto todavía (al menos que yo recuerde) es una relación más o menos clara y directa entre el número e y los números primos. Vamos, una expresión que involucre a esta constante con este tipo tan especial de números, a este número irracional con estos números tan naturales. Pues ha llegado el momento.

El número e y los números primos

Hace unos días llego al correo de Gaussianos un mail donde Laurato, lector del blog, me informaba sobre una cierta relación entre el número e y los números primos. En él comentaba que le causó cierta impresión encontrarse con una expresión así y quería saber si había alguna demostración de ese hecho. La relación es la siguiente:

e= \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[p_n]{ \# p_n}}

siendo \# x el primorial de x, que es el producto de todos los números primos menores o iguales que x.

El descubridor de esta expresión es el español Sebastián Martín Ruiz, conocido por sus interesantes trabajos sobre teoría de números, centrados principalmente en el estudio de los números primos. Hace unos días estuve dando una vuelta por su web…pero no encontré nada sobre esta expresión.

Pero, como no podía ser de otra forma, no me quedé ahí. La curiosidad pudo conmigo y seguí dando vueltas por internet buscando información sobre este curioso límite. Y, por fin, encontré algo. MathWorld me abrió los ojos con su artículo sobre funciones de Chebyshev. En dicho artículo se definen dos funciones llamadas funciones de Chebyshev, pero a nosotros nos interesa solamente una de ellas:

\theta (x)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\pi (x)} \log (p_k)}

En esta expresión \log es el logaritmo neperiano, p_k denota el k-ésimo número primo y \pi (x) es la función contadora de números primos, que nos da la cantidad de números primos menores o iguales que x.

Operando un poco con la expresión de \theta (x) llegamos a lo siguiente:

\theta (x)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\pi (x)} \log {p_k}=\log \left (\prod_{k=1}^{\pi (x)} p_k \right )=\log( \# x)}

De esta función \theta (x) se sabe, entre otras cosas, que:

\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \cfrac{x}{\theta (x)}=1}

A partir de este límite la demostración de nuestro resultado es coser y cantar. Tomemos x=p_n, siendo p_n el n-ésimo número primo. Tenemos entonces lo siguiente:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{p_n}{\theta (p_n)}=1}

Por otro lado, usando la última expresión encontrada para \theta (x) tenemos que

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{p_n}{\theta (p_n)}=\lim_{n \to \infty} \cfrac{p_n}{\log ( \# p_n)}}

Utilizando las dos expresiones anteriores obtenemos lo siguiente:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{\log ( \# p_n)}{p_n}=1}

y usando las propiedades de los logaritmos

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \log [ ( \# p_n)^{\frac{1}{p_n}} ]=1}

Intercambiando ahora lim por log obtenemos

\displaystyle{\log \left ( \lim_{n \to \infty} ( \# p_n)^{\frac{1}{p_n}} \right )=1}

De donde se obtiene la expresión buscada:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} ( \# p_n)^{\frac{1}{p_n}}=e}

Las imágenes que ilustran el artículo están sacada de aquí y aquí respectivamente.

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