Hay muchos juegos matemáticos que, ocultando un error en su proceso, terminan en 1 = 0, 2 = 1 o resultados parecidos. Suelen ser bastante sencillos de resolver ya que generalmente el error que se produce es un error de cálculo intencionado que, aunque está oculto, se puede ver con relativa facilidad. Pero este no es el caso. Vamos a ver quién es capaz de explicar dónde está el error:

\begin{matrix} x^2=x \cdot x \\ \\ x^2=x \cdot \underbrace{(1+1+ \ldots +1)}_{x \, veces} \\ \\ x^2= \underbrace{x+x+ \ldots +x}_{x \, veces} \end{matrix}

Hasta aquí todo bien, ¿no? Ahora derivamos en ambos miembros de la igualdad, obteniendo lo siguiente:

2x = \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{x \, veces}

Sumando en el miembro de la derecha obtenemos:

2x = x

Y cancelando x (podemos suponer desde el principio que x no es cero para evitar divisiones por cero) llegamos al temido:

2 = 1

Evidentemente hay un error, ya que llegamos a un resultado falso a todas luces, pero…¿dónde está?

Actualización 24-8-2006:

Aunque b3co y mimetist ya han dado las claves del error os pongo la explicación que he encontrado en El Agujero, la web de Ozarfreo (Nota (10-9-2020): La web ya no está disponible, por eso he eliminado el enlace):

El paso en el que se deriva una suma con un número de términos variable no está justificado. Simplemente no hay ninguna regla de derivación (ni justificación posible) que nos diga que eso puede hacerse tal como se hace allí.

La derivada representa cómo de rápido crece una cierta cantidad cuando movemos otra. En este caso, si movemos x no sólo cambia el valor de cada término de la suma sino también el número de términos, y eso no está incluido en el cálculo anterior. Además, no podemos derivar funciones definidas sólo en los números enteros: ¿qué significa la suma 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 x vecex cuando x es, digamos, tres medios? ¿hay que sumar x “tres medias veces”?

Ahí estaba el error.

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