Hay muchos juegos matemáticos que, ocultando un error en su proceso, terminan en 1 = 0, 2 = 1 o resultados parecidos. Suelen ser bastante sencillos de resolver ya que generalmente el error que se produce es un error de cálculo intencionado que, aunque está oculto, se puede ver con relativa facilidad. Pero este no es el caso. Vamos a ver quién es capaz de explicar dónde está el error:
Hasta aquí todo bien, ¿no? Ahora derivamos en ambos miembros de la igualdad, obteniendo lo siguiente:
Sumando en el miembro de la derecha obtenemos:
Y cancelando 
Evidentemente hay un error, ya que llegamos a un resultado falso a todas luces, pero…¿dónde está?
Actualización 24-8-2006:
Aunque b3co y mimetist ya han dado las claves del error os pongo la explicación que he encontrado en
El paso en el que se deriva una suma con un número de términos variable no está justificado. Simplemente no hay ninguna regla de derivación (ni justificación posible) que nos diga que eso puede hacerse tal como se hace allí.
La derivada representa cómo de rápido crece una cierta cantidad cuando movemos otra. En este caso, si movemos
x vecex cuando
Ahí estaba el error.
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Qué onda?
Ciertamente la analogía que puse no fue por la regla de derivación, sino por el engaño a primera vista de intentar aplicar la regla de la cadena. Como en ambos casos no es lo que parece, aunque como dices, en el segundo está bien definido.
Saluods!
Pues sí, básicamente es eso. No hay ninguna regla de derivación para la función de la derecha ni puede justificarse. Voy a actualizar el post con la explicación que he encontrado en una web de un profesor de la Universidad de Granada.
Saludos
Pues yo no sería capaz de resolverlo… eso fue lo que me pasó cuando lo intenté.
el problema es que “sumar x veces” implica que x es necesariamente un número entero… lo que convierte a la “función” de la derecha en una función discontinua por lo que la derivación no es aplicable.
(esas son las conclusiones a las que llegué cuando vi el mismo juego en matematicas.net)
Sí, esa es la idea, aunque creo que la analogía con el caso de la función x^x no es muy acertada, ya que para esa función la derivada está perfectamente definida, hecho que no ocurre en nuestro caso. De todas formas muy bien b3co
mimetist cuéntanos tú cómo lo resolverías
Supongo que el problema radica en el “x veces” ya que X es dos veces incógnita:
x^2 = sum(i=1;x;x)
y aqui la x aparece como límite de sumatoria (incógnita) e incógnita per se.
Es de los errores de derivación estilo x^x donde para derivarla hay que transformarla al e^(ln(x^x))=e^(x(ln(x)))
Saludos!
Gracias por no decirlo mimetist. Si en un tiempo prudencial nadie ha encontrado el fallo coméntalo tú
.
Yo sí supe cuál era el error cuando lo vi. Bueno, en realidad lo intuí, y cuando vi la solución confirmé que mi intuición no me fallaba
.
Saludos
Yo sé la respuesta pero porque ya había visto el juego… así que no digo nada
(Por cierto, no supe hallar el error aquella vez :’( )
Sin embargo en ocasiones como en el estudio de poblaciones y en cuestiones mecánicas o eléctricas aparecen funciones que se sabe que no son derivables o incluso se suponen que verifican ciertas ecuacions diferenciales y se trabaja derivándolas y los resultados que se obtienen se sabe empíricamente que son correctos
¿Y si la función es de números naturales?
No sería continua en ellos, y por tanto tampoco derivable.