WP-LaTeX: Plugin para mostrar fórmulas matemáticas escritas con LaTeX en WordPress
Sep28

WP-LaTeX: Plugin para mostrar fórmulas matemáticas escritas con LaTeX en WordPress

Posted By on 28 de septiembre de 2007 in Mirándonos el ombligo, Utilidades | 9 comments

A raíz de algunas peticiones que he recibido para que comparta este plugin me decido a hacerlo. Al parecer la web de donde venía el plugin ya no está operativa y por tanto no se puede descargar. Yo tengo el plugin ya modificado por Miguel Cohnen y ya he hablado con él para ponernos de acuerdo para compartirlo con vosotros.

El plugin es este: WPMU Plugin – LaTeX Math. Pero, como he dicho antes, la web donde aparecía no está accesible. Miguel tomó este plugin y le modificó el conversor. Quitó el que venía (al parecer no iba bien) y puso el conversor de wordpress.com: http://l.wordpress.com/latex.php?latex=. Después retocó el css para que las imágenes quedaran bien colocadas y listo.

Instrucciones para la instalación

  1. Descarga el archivo rar con el plugin y las instrucciones pinchando en este enlace y luego en Download File (está subido en un disco duro virtual de 4shared).
  2. Descomprime el archivo rar descargado.
  3. Sube el archivo wp-latex.php a la carpeta /wp-content/plugins/ de tu servidor.
  4. Activa el plugin desde el panel de administración de wordpress.

Instrucciones de uso

Para utilizarlo hay que escribir lo siguiente: $ latex código-latex-que-queramos$ (sin el espacio entre el primer $ y la palabra latex). Por ejemplo:

  1. Si escribimos $ latex \LaTeX$ obtendremos \LaTeX
  2. Si escribimos $ latex \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}}$ obtendremos \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}}

Si el código \LaTeX que escribamos tiene algún error nos aparecerá esta imagen:

Error al escribir el código LaTeX

En el post donde anuncié la instalación del plugin en Gaussianos tenéis algunos enlaces donde se puede consultar cómo escribir los símbolos y las fórmulas en \LaTeX.

El plugin debe funcionar hasta en WordPress 2.3. Al menos en las pruebas que ha hecho Andrés Nieto (gracias tío) ha funcionado.

Creo que no hay nada más que comentar. Si tenéis alguna duda o problema con la descarga dejad un comentario aquí.

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¿Sabía que…

Posted By on 27 de septiembre de 2007 in ¿Sabía que ...? | 21 comments

…se puede construir un polígono regular de 65537 lados con regla y compás pero no se puede construir un polígono regular de 7 lados de esa forma?

Esto es debido a la relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números de Fermat.

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Sin el infinito a cualquier parte

Posted By on 26 de septiembre de 2007 in Citas matemáticas | 6 comments

Futilidad perniciosa heredada de filosofías anticuadas y teologías confusas, pudiendo llegar sin él tan lejos como se quiera…

(Refiriéndose al infinito)

Leopold Kronecker

Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas

No creo que Cantor piense lo mismo. Y Hilbert probablemente tampoco.

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Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos
Sep24

Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos

Posted By on 24 de septiembre de 2007 in Demostraciones, Números enteros, Números primos | 21 comments

Hace un tiempo propuse este problema sobre números perfectos. Nuestro amigo Domingo lo resolvió y nos propuso otro problema sobre este tipo de números:

Demostrar que si N es un número perfecto impar entonces N debe tener al menos tres factores primos

Parece claro que un camino coherente para llegar a la demostración es descartar que pueda tener uno o dos factores primos. Esa es la línea que se siguió en los comentarios de aquel post y es la que vamos a seguir aquí.

Un número perfecto impar no puede tener sólo un factor primo

edmond, otro de nuestros comentaristas, casi terminó de demostrar esta parte (podéis verlo aquí), aunque quien la remató fue Domingo. La vemos:

Supongamos que tenemos un número perfecto impar con sólo un factor primo, digamos N=p^{\alpha}, con \alpha \ge 1. Sus divisores serán los números 1,p,p^2, \cdots ,p^{\alpha}. Calculamos su suma con la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

1+p+p^2+ \cdots +p^{\alpha}=\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}

Como N es un número perfecto debe ser igual a la suma de sus divisores propios. Como entre los divisores que hemos tomado está también el propio N=p^{\alpha} entonces esa suma será igual a 2N:

\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}=2p^{\alpha} \Longrightarrow p^{\alpha+1}-1=2p^{\alpha}(p-1)=2p^{\alpha+1}-2p^{\alpha}

Simplificamos y queda:

2p^{\alpha}-p^{\alpha+1}=1 \Longrightarrow p|1

Lo cual es absurdo ya que p es un número primo impar y por tanto p \ge 3. Por tanto ya tenemos demostrada la primera parte.

Pregunta: ¿dónde hemos usado que N es impar?

Un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos

Esta parte es algo más complicada que la primera. Yo lo estuve intentado. De hecho mandé varios mails con posibles demostraciones a Domingo, pero por desgracia todas contenían algún error. Al final, aunque yo ya había avanzado bastante, tuvo que terminarla él. Aquí os dejo su demostración:

Sea N=p^rq^s un número perfecto impar con sólo dos factores primos, p y q. Estos factores primos deben ser ambos impares ya que si alguno de ellos fuera par el propio N lo sería. Los divisores de N (incluyendo al propio N) son:

1,p,p^2, \cdots ,p^r, q,q^2, \cdots ,q^s, qp,qp^2, \cdots ,qp^r, q^2p,q^2p^2, \cdots ,q^2p^r, … , q^sp,q^sp^2, \cdots ,q^sp^r. Su suma (después de algunos cálculos) queda:

S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)

Al ser N un número perfecto la suma de sus divisores propios es igual al propio número. Como en los anteriores hemos incluido a N tenemos que la suma anterior es igual a 2N. Esto es:

S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)=2p^rq^s

Dividimos entre p^rq^s convenientemente:

\cfrac{(1+p+p^2+ \cdots +p^r)}{p^r} \cdot \cfrac{(1+q+q^2+ \cdots +q^s)}{q^s}=2
Dividiendo queda:

\displaystyle (1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s})=2

Ahora, p y q son dos números primos impares distintos. Podemos suponer entonces sin pérdida de generalidad que p \ge 3 y q \ge 5 con p < q. Acotamos entonces las dos expresiones anteriores así:

\displaystyle{(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})\le(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+ \cdots +\frac{1}{3^r})=\sum_{i=1}^r{\left ( \frac{1}{3} \right )^i} < \sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{3} \right )^i}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}} \displaystyle{(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s}) \le (1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+ \cdots +\frac{1}{5^s})=\sum_{i=1}^s{\left ( \frac{1}{5} \right )^i} < \sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{5} \right )^i}=\cfrac{1}{1- \frac{1}{5}}=\cfrac{5}{4}}

Tendríamos entonces \displaystyle{2 < \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{8} < 2}, lo cual es claramente absurdo. Por tanto un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos. Con esto concluye la demostración.

Pregunta: ¿es válida una demostración de este estilo si lo que queremos comprobar es que un número perfecto impar debe tener al menos cuatro factores primos? ¿Por qué?

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¿Sabía que…
Sep20

¿Sabía que…

Posted By on 20 de septiembre de 2007 in ¿Sabía que ...? | 7 comments

…el número 2646798 es el único número natural de 7 cifras que cumple la siguiente propiedad:

2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7=2646798

?

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