A la vista de la interesante conversación sobre la expresión de un número natural como suma de cuatro cuadrados que se ha formado en los comentarios del post sobre el número 252 vamos a hablar un poco del tema.

El teorema de los cuatro cuadrados aparece en el libro Arithmetica de Diofanto (libro que ya nombramos aquí). Dice básicamente lo siguiente:

Todo número entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de números enteros

Por ejemplo:

5=2^2+1^2+0^2+0^2
18=3^2+3^2+0^2+0^2
348=18^2+4^2+2^2+2^2
8764=70^2+62^2+4^2+2^2

Para la demostración es interesante utilizar la identidad de los cuatro cuadrados de Euler, que dice que el producto de dos números expresables como suma de cuatro cuadrados también es expresable de esa forma. Esto es:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\\=(a_1 b_1-a_2 b_2-a_3 b_3-a_4 b_4)^2+(a_1 b_2+a_2 b_1+a_3 b_4-a_4 b_3)^2+\\+(a_1 b_3-a_2 b_4+a_3 b_1+a_4 b_2)^2+(a_1 b_4+a_2 b_3-a_3 b_2+a_4 b_1)^2

Esta identidad puede probarse de forma directa realizando las operaciones o de otra forma más corta. A ver quién la comenta.

Con esto sólo hace falta comprobar el resultado para números primos. Además, como cada potencia de 2 es un cuadrado o la suma de dos cuadrados se tiene que el tema se reduce a demostrar el resultado para primos impares.

La idea de la demostración en este punto es clasificar los números primos impares en dos grandes grupos: los que son congruentes con 1 módulo 4 y los que son congruentes con 3 módulo 4. Después se demuestra el teorema para cada uno de los grupos y se completa con ello la demostración. Podéis verla en esta web, donde además tenéis algunos applets en java para calcular la descomposición de un número como suma de cuatro cuadrados. Aquí podéis ver uno de ellos.

Como decíamos antes este resultado se conoce desde los tiempos de Diofanto (siglo III a.C.), pero la primera demostración conocida es de Lagrange en 1770. Algo después, en 1798, Legendre mejoró el resultado demostrando que un número entero positivo puede expresarse como suma de tres cuadrados si y sólo si ese número no es de la forma 4^k (8m+7). Aunque en principio la prueba estaba incompleta el hueco que contenía fue rellenado por Gauss poco después.

En 1834 Jacobi encontró el número exacto de formas en las que se puede expresar un número entero positivo n como suma de cuatro cuadrados. Este número es 8 veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par.

Una de las generalizaciones de este teorema es teorema de los números poligonales de Fermat que básicamente dice que todo número entero positivo puede ser expresando como suma de, como mucho, 3 números triangulares, 4 números cuadrados, 5 números pentagonales, etc. Gauss demostró el resultado para números triangulares y Cauchy demostró el resto.

Otra de las generalizaciones es la siguiente: dados números naturales a,b,c,d podemos resolver la ecuación n=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+dx_4^2 para todo n siendo x_1,x_2,x_3,x_4 enteros?

Como puede verse el teorema de los cuatro cuadrados es un caso particular de este hecho: el caso a=b=c=d=1. La solución general de este problema fue dada por Ramanujan:

Si asumimos, sin pérdida de generalidad, que a \le b \le c \le d entonces hay exactamente 54 elecciones de a,b,c,d tal que la ecuación anterior puede resolverse en enteros x_1,x_2,x_3,x_4 para todo n (en realidad Ramanujan dio una elección más, a=1,b=2,c=d=5, pero en este caso la ecuación no tiene solución para n=15).

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