Una curiosa propiedad del número áureo

La peculiar estructura del número áureo y sus singulares características hacen que este número tenga unas propiedades la mar de curiosas. Hoy os traigo una de ellas.

Esta propiedad me llegó a modo de problema en Facebook hace unos días. Concretamente, es la siguiente:

Vamos a ver cómo podemos demostrar esta curiosa igualdad.

Recordemos que el número áureo es, exactamente, este número irracional:
\[ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
Y también es interesante recordar que es una de las soluciones de la ecuación \( x^2-x-1=0 \)=0. De hecho, esto va a ser clave en la demostración.

Pero, antes de eso, debemos detenernos en la parte izquierda de la igualdad. Tenemos ahí una suma infinita, y eso de que una cosa así tenga un valor no siempre ocurre. Para que eso pase, dicha serie debe ser convergente.

Esto no es fácil de comprobar siempre, pero por suerte en este caso sí lo es. Y lo es porque esa suma nuestra es una serie geométrica. En Cervezas geométricas, vimos varias cuestiones sobre ellas que nos van a venir de perlas en este caso:

• Primero, la estructura de esta serie, que es la siguiente:
  \[ \displaystyle{\sum_{n=\Box}^{\infty} a^n} \]
  siendo \( \Box \) el valor de \( n \) que corresponda al primer elemento de la serie.

  En nuestro caso, tomando \( a=\frac{1}{\varphi} \) y \( \Box=1 \), tenemos la siguiente serie geométrica:
  \[ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \bigg( \frac{1}{\varphi} \bigg )^n} \]

• Segundo, cuándo es convergente esta serie (es decir, cuándo su suma es un número real). Esto ocurre cuando \( -1 < a < 1 \). En este caso, se cumple esta premisa, ya que, a ser \( \varphi \approx 1,618 \), se tiene que \( \frac{1}{\varphi} \approx 0,618 \).
• Y tercero, cuánto vale su suma. Para un \( a \) cualquiera que cumpla la condición anterior, la suma de la serie es
  \[ \frac{a^{\Box}}{1-a} \]
  En nuestro caso, es:
  \[ \frac{\frac{1}{\varphi}}{1-\frac{1}{\varphi}}=\frac{\frac{1}{\varphi}}{\frac{\varphi-1}{\varphi}}=\frac{1}{\varphi-1} \]

Pues nada, ya tenemos la suma, ejercicio resuelto… Un momento, ¿resuelto? Ése no es el valor que da el enunciado del problema, ¿no?

Bien, ahora es cuando entra en juego que \( \varphi \) es una de las soluciones de \( x^2-x-1=0 \), esto es, se cumple que \( \varphi^2-\varphi-1=0 \). Hay varias formas de utilizar esto para acabar el problema, y yo voy a usar la siguiente:

• La expresión anterior puede escribirse así: \( \varphi^2-\varphi=1 \).
• La usamos para sustituir el 1 del denominador:
  \[ \frac{1}{\varphi-1}=\frac{\varphi^2-\varphi}{\varphi-1} \]
• Ahora, sacando factor común \( \varphi \) en el numerador y simplificando, obtenemos lo que perseguíamos:
  \[ \frac{\varphi \cdot (\varphi-1)}{\varphi-1}=\frac{\varphi \cdot \cancel{(\varphi-1)}}{\cancel{\varphi-1}}=\varphi \]

Con todo esto, tenemos el problema terminado, es decir:
\[ \frac{1}{\varphi}+\frac{1}{\varphi^2}+\frac{1}{\varphi^3}+\dots=\varphi \]

Espero que os haya gustado y que hayáis aprendido algo nuevo o refrescado cuestiones que ya conocíais.

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