En el tiempo que llevo dando clase son muchos y diversos los errores que cometen mis alumnos en lo que se refiere a manipulación de expresiones algebraicas (como por ejemplo los que tienen que ver con el factor común). Pero posiblemente el más común (o al menos uno de los más comunes) de los que me estoy encontrando en los últimos tiempos está relacionado con las llamadas identidades notables que se enseñan en secundaria:

\begin{matrix} (x+y)^2=x^2+y^2+2xy \\ (x-y)^2=x^2+y^2-2xy \\ (x+y) \cdot (x-y)=x^2-y^2 \end{matrix}


Son muchos los alumnos que se aprenden esas expresiones de memoria sin razonar de dónde vienen o por qué son esos los resultados. Esto, como he dicho antes, en muchas ocasiones les lleva al error por no recordar bien alguna de ellas y hacer «lo que te pide el cuerpo». Por ejemplo:

(x+y)^2=x^2+y^2

Y, por otra parte, les crea grandes dificultades a la hora de calcular potencias superiores a dos de un binomio, como puede ser (x+y)^3. Si recuerdan esas identidades notables intentan buscar una expresión similar para desarrollar esa potencia, y suelen confundirse. Y no digamos ya si ni siquiera recuerdan la identidad notable «relacionada» con dicha potencia…

Por ello opino que tendríamos que hacer lo que aparece en el título de esta entrada:

¡Abajo las identidades notables!

No digo que no se enseñen, pero sí que se explique bien de dónde salen y que se induzca al alumno a realizar el producto pertinente en vez de utilizar la identidad correspondiente. Es decir, que en vez de usar la de (x+y)^2 desarrollemos la potencia de ese binomio de la forma siguiente:

(x+y)^2=(x+y) \cdot (x+y)=x^2+xy+yx+y^2=x^2+2xy+y^2

Y lo mismo para las otras dos. Así será más sencillo conseguir que, por ejemplo, para desarrollar (x+y)^3 el alumno no intente buscar expresiones del estilo a la identidad notable del cuadrado (búsqueda que suele terminar con una expresión incorrecta) sino que realice la operación

(x+y) \cdot (x+y) \cdot (x+y)

haciendo primero el primer producto y después multiplicando el resultado obtenido por el tercer miembro.

Dado el gran nivel de conocimientos matemáticos que tenéis muchos de los lectores y comentaristas de este blog, es posible que gran parte de vosotros penséis que esto que comento es una tontería o algo sin la importancia suficiente como para destacarlo en una entrada. Que los alumnos deberían ser capaces de deducirlo sin necesidad de incidir demasiado en ello. Pero la realidad, o al menos lo que yo me encuentro muy frecuentemente, indica lo contrario. No han sido ni uno ni dos los alumnos que he tenido que han suspendido un examen (y bien suspendido está) por puntuar 0 en algún ejercicio en el que han cometido un error en alguna de estas expresiones. Cierto es que en ocasiones ese error lo han provocado las prisas o los nervios del propio examen, pero en la gran mayoría la causa ha sido no tener interiorizado el significado de los resultados de estas identidades notables.

Y, por otra parte, también es posible que muchos de los profesores que pasan por Gaussianos digan que ellos sí explican de dónde salen estos resultados e intentan que los alumnos los comprendan (esto es, que van más allá del hecho de promover la simple memorización de las correspondientes expresiones), pero también tengo comprobado (por experiencia propia y por lo que me ha comentado mucha gente, alumnos y profesores) que en la práctica son muchas las veces en las que, por decirlo de alguna forma, «vamos a lo fácil». O sea, que cuando nos encontramos expresiones así vamos directamente a la identidad notable olvidando comentar y recordar que también podemos obtener el resultado correcto realizando el correspondiente producto de binomios.

Por todo ello me gustaría saber vuestra opinión sobre este tema, tanto en el lugar del alumno (qué experiencia habéis tenido vosotros y vuestros compañeros con esto) como en el del profesor (qué soléis hacer en vuestras clases con las identidades notables y qué suele pasar con vuestros alumnos). Seguro que habrá gente que estará de acuerdo conmigo y gente que no, pero estoy convencido de que con las opiniones de todos podemos generar un interesante debate.

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