En el tiempo que llevo dando clase son muchos y diversos los errores que cometen mis alumnos en lo que se refiere a manipulación de expresiones algebraicas (como por ejemplo los que tienen que ver con el factor común). Pero posiblemente el más común (o al menos uno de los más comunes) de los que me estoy encontrando en los últimos tiempos está relacionado con las llamadas identidades notables que se enseñan en secundaria:
Son muchos los alumnos que se aprenden esas expresiones de memoria sin razonar de dónde vienen o por qué son esos los resultados. Esto, como he dicho antes, en muchas ocasiones les lleva al error por no recordar bien alguna de ellas y hacer «lo que te pide el cuerpo». Por ejemplo:
Y, por otra parte, les crea grandes dificultades a la hora de calcular potencias superiores a dos de un binomio, como puede ser 
Por ello opino que tendríamos que hacer lo que aparece en el título de esta entrada:
¡Abajo las identidades notables!
No digo que no se enseñen, pero sí que se explique bien de dónde salen y que se induzca al alumno a realizar el producto pertinente en vez de utilizar la identidad correspondiente. Es decir, que en vez de usar la de 
Y lo mismo para las otras dos. Así será más sencillo conseguir que, por ejemplo, para desarrollar
haciendo primero el primer producto y después multiplicando el resultado obtenido por el tercer miembro.
Dado el gran nivel de conocimientos matemáticos que tenéis muchos de los lectores y comentaristas de este blog, es posible que gran parte de vosotros penséis que esto que comento es una tontería o algo sin la importancia suficiente como para destacarlo en una entrada. Que los alumnos deberían ser capaces de deducirlo sin necesidad de incidir demasiado en ello. Pero la realidad, o al menos lo que yo me encuentro muy frecuentemente, indica lo contrario. No han sido ni uno ni dos los alumnos que he tenido que han suspendido un examen (y bien suspendido está) por puntuar 0 en algún ejercicio en el que han cometido un error en alguna de estas expresiones. Cierto es que en ocasiones ese error lo han provocado las prisas o los nervios del propio examen, pero en la gran mayoría la causa ha sido no tener interiorizado el significado de los resultados de estas identidades notables.
Y, por otra parte, también es posible que muchos de los profesores que pasan por Gaussianos digan que ellos sí explican de dónde salen estos resultados e intentan que los alumnos los comprendan (esto es, que van más allá del hecho de promover la simple memorización de las correspondientes expresiones), pero también tengo comprobado (por experiencia propia y por lo que me ha comentado mucha gente, alumnos y profesores) que en la práctica son muchas las veces en las que, por decirlo de alguna forma, «vamos a lo fácil». O sea, que cuando nos encontramos expresiones así vamos directamente a la identidad notable olvidando comentar y recordar que también podemos obtener el resultado correcto realizando el correspondiente producto de binomios.
Por todo ello me gustaría saber vuestra opinión sobre este tema, tanto en el lugar del alumno (qué experiencia habéis tenido vosotros y vuestros compañeros con esto) como en el del profesor (qué soléis hacer en vuestras clases con las identidades notables y qué suele pasar con vuestros alumnos). Seguro que habrá gente que estará de acuerdo conmigo y gente que no, pero estoy convencido de que con las opiniones de todos podemos generar un interesante debate.
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En cuanto un profesor enseña el binomio de Newton ya nadie se equivoca con eso.
No se como se enseña en España pero a mi en Argentina me lo enseñaron desarrollándolo y deduciendo el resultado. Claro que no es lo que uno suele recordar pero sí que se de donde viene la cosa.
Aquí, en Galicia, se trabajan las identidades notables en 2º de ESO, aunque rastros visibles de comprensión aparecen levemente en 3º como muy pronto. El principal problema que encuentro es que pretendemos que entiendan estos procedimientos antes de que tengan la suficiente soltura con el Álgebra. El sonsonete tradicional de «cuadrado del 1º+doble del 1º por el 2º + cuadrado del 2º», que desvela el hecho de que las letras o números concretos no son importantes sino su estructura, queda por encima de la capacidad de la mayoría en esas edades. En cuanto a cómo lo tratamos en nuestras aulas,… Lee más »
Yo hice la ESO en Baleares, y tambien dimos las identidades notables en segundo, pero no las utilizamos para nada hasta tercero, y el profesor mencionó que eso venía del producto del binomio. En tercero las usábamos de memoria, como la equación de segundo grado, y en algun momento el profesor recordó que eso era un producto. Ya en cuarto, nos enseñaron el binomio de Newton y los números combinatorios. Yo no recuerdo haber tenido problemas con ellas, pero sí recuerdo que muchos de mis compañeros se las sabían, pero las recordaban mal, especialmente en exámenes.
El domingo tuvimos un largo viaje en coche Pedro Ramos (más ideas, menos cuentas) y yo, y no creo que podamos más que estar de acuerdo.
Las identidades notables solamente tienen sentido para aplicarlas de derecha a izquierda respondiendo a resolver ecuaciones de segundo grado completando cuadrados (abajo la fórmula de la ecuación de segundo grado) o calculando propiedades de cónicas (sin fórmula, completando cuadrados).
Un abrazo
Información Bitacoras.com
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En efecto, coincido del todo con Joseángel: sin negar que lo que se dice en la entrada y en el resto de los comentarios sea bastante cierto, creo que hay un aspecto que también tiene su peso y que se menciona bastante menos: es difícil poner interés en algo que se practica sin verle mayor sentido, y sin aplicarlo en ningún lugar relevante (porque no, los ejercicios pensados para simplificar expresiones usando las identidades notables no califican como aplicaciones de las identidades notables). Mas aún, cuando un alumno sabe modificar una expresión para escribirla como identidad notable, con el correspondiente… Lee más »
Da igual que los desarrolles o no, que los expliques con dibujos o no,,… da igual. El problema es la falta generalizada de interés por aprender. El que tiene interés aprende y las entiende, y el que no, no. En alumnos de 4º de Ciencias Sociales que en Bachiller no cogerán matemáticas, a la mayoría les importa un rábano. Más claro agua. El plan de estudios apesta, con cosas como que las matemáticas de 4º son las «matemáticas fáciles», vamos, que los alumnos se creen que van a hacer cuatro chorradas y les aprobaremos por todo el morro, by the… Lee más »
hola guassianos, lamento entrar a comentar fuera del tema pero quería pedirles su ayuda, el otro día hablaba con un amigo de como después de muchos intentos una seguidilla improbable de resultados ya no sería tan improbable. Por ejemplo la posibilidad de obtener 10 veces seguidas el 6 lanzando los dados después de, por ejemplo, 1000 lanzamientos. SIn embargo cuando intenté dar una respuesta y el procedimiento al caso planteado no fuí capaz, se lo básico de probabilidad, tome un curso del tema en la universidad; distribución binomial, poison… pero no halle como resolver el problema que ya concretado sería… Lee más »
Ostia que arte, de las pocas cosas que me quedaron marcadas en el cerebro en el instituto. Recuerdo perfectamente que me hicieron aprendemerlas de memoria en primero de bup. Supongo que al año siguiente o al otro yo mismo o el profesor hizo el producto y me quedé impresionado por no haberme dado cuenta antes. Si se explican viendo de donde salen seguro que es mejor, y luego ya te las grabarás a fuego igualmente en la cabeza.
Desgraciadamente, debo darte la razón. Pero creo que el problema viene a causa del desinterés de la mayoría del estudiantado, que ve matemáticas como una asignatura cargante y no como una herramienta de provecho, que es lo que realmente es. Todo esto hablando solamente de la ESO y el bachillerato. Por lo que estoy viendo este año en la universidad la cosa ya cambia un poco, no obstante, no pondría la mano en el fuego por nadie.
Da igual como las expliques. Es duro pero cierto. Como si haces el pino explicándolas, como si haces dibujos, como si las compruebas numéricamente… como si te llevas todo un trimestre explicando lo mismo. El que atiende y muestra interés lo pilla a la primera, el que no, da igual lo que hagas o el tiempo que inviertas. Típica pregunta en la ESO, ¿y esto para que sirve? respondas lo que respondas a la mayoría de la clase le va a parecer basura eso que le dices(en caso que estén escuchando). De este tipo de alumnado algunos llegan a la… Lee más »
Pues yo si que creo que deben enseñarse, naturalmente a continuación de los productos de polinomios. No entiendo que alguien pueda hacerlo de otra manera, no tiene sentido. Se ven multiplicando los binomios, naturalmente, se refuerzan con ejemplos numéricos del estilo de 31^2 o 19^2 y con sencillos diagamas geométricos como: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Cuadrado_suma.html http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Suma_por_Diferencia.html http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Suma_por_Diferencia_2.html Admito que para la diferencia la cosa es un poco más oscura: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Cuadrado_diferencia.html aunque instructiva (una primera aproximación al principio de inclusiones y exclusiones). No explixcarlas y utilizarlas es como pasar de la tabla de multiplicar, pues no es más que una suma repetida: ¿3*2? ¡Con… Lee más »
Ignacio, el resultado de multiplicar 7 por 8 ES 56.
Si quieres puedes decir que SON 56.
Pero siempre 56. No 58…
Lamentablemente, las carencias en lenguaje de muchos alumnos son lamentables. Muchas veces resuelven mal un problema porque no entienden el enunciado y no porque no conozcan (e incluso entiendan) la o las fórmulas a aplicar. No es misión del enseñante de matemáticas corregir estas carencias, pero sí en lo que se refiere al contexto de la asignatura. Por eso sí creo que hay que explicar desde pequeños cosas como por ejemplo lo siguiente: La expresión «el resultado de multiplicar 7 por 8 son 56» es incorrecta. El sujeto «resultado» debe concordar con el verbo «es» y no con «son». Los… Lee más »
Siempre lo explico con el triángulo de Tartaglia.
Muchos alumnos de bachillerato cometen el error de olvidarse del doble del primero por el segundo y cuando le comento que se explicó en 2 o 3º de ESO comentan que hace mucho…..
saludos
ap2
Simplemente hay que dar las igualdades notables (como todos los profesores saben hacer muy bien) y suspender a aquellos que no las aplican correctamente.
Creer que podemos explicar las igualdades notables de una forma mágica y misteriosa con la que, hasta los alumnos sin interés, puedan aprenderla y no equivocarse nunca con ellas, es ingenuo.
Bueno, celebro que no picarais en lo de 7*8 = 58 … Me tranquilizo un tanto «;^)
En mi colegio lo enseño tal cual indicas en el post, es más NO lo enseño. Les propongo primero ese tipo de operaciones con números (3+5)^2 para que de primeras vean que la intuición les equivoca, y luego ya se ponen a multiplicar los factores y obtener la fórmula. Creo que esto ayuda a que se equivoquen mucho menos, pero mi experiencia me dice que aún así se equivocan por nervios y porque cuando llegan a problemas más difíciles «están en otra guerra» y se les pasa lo de la igualdad notable. Les suelo decir a modo de broma-truco que… Lee más »
Mi experiencia personal es que existe una gran dificultad en la comprensión de muchos términos matemáticos por cuestiones léxico-semanticas. Los chavales no entienden que es una definición y que pueden demostrar cosas a las que nunca se han enfrentado simplemente usando la definición. Yo lo explico de la siguiente manera; 2*3=2+2+2=3+3 para que vean cual es la definicion de multiplicación luego lo extiendo a potencia: 2^2=2*2 que es igual al cuadrado de lado 2. Luego lo extiendo algebraicamente X^2 es el cuadrado de lado x luego ( a+b)^2 es el cuadrado de lado a+b y lo grafico para que tengan… Lee más »
El problema quizás comienza antes, ya que en el nivel elemental las matemáticas se suelen enseñar en forma «dogmática», lo que lleva al alumno a tratar de estudiarlas del mismo modo en el que se estudia historia: de memoria. He visto en los programas escolares de Suiza, por nombrar un país donde la matemática es una de esas «materias filtro» en todos los niveles, que, por ejemplo, temas como porcentajes y proporciones son enseñados como cosas diferentes (de hecho, suelen empezar con porcentajes…). He visto que martillan a los alumnos con infinitos ejercicios para calcular áreas de círculos y volúmenes… Lee más »
Es cierto lo que exponés DIAmOnD! Dichas situaciones me llevaron a escribir una serie de notas que titulé GANALE A LA MATEMÁTICA con un tono algo divertido y ameno para tratar de conseguir que nuestros chicos «se amiguen» con la matemática ¿porqué tiene que ser el terror de los estudiantes? Creo que el objetivo de recordar los resultados de estos «productos especiales» se debió a buscar agilidad en la operatoria con expresiones algebraicas, pero lo que terminamos logrando es agilidad para que se caigan al abismo más rápido… Aunque con temas algo más complejos como el estudio de funciones desde… Lee más »
[…] […]
Entiendo que ^Diamond^ pretende crear polémica con el título, ya que «eliminar» algo es poco menos que imposible, no ya por costumbre social, en este caso muy arraigada, sino también por utilidad (quién lo negará) y, sobre todo, por autenticidad: son verdad, se cumplen, y que se enseñen es necesario, desde la experiencia al menos. Donde ya entramos en terrenos pantanosos… ¿cómo se enseñan? Estoy de acuerdo en que, en muchas ocasiones, se enseña mal y las matemáticas no son la excepción. Yo recuerdo que, cuando las vi por primera vez (allá por 3º de ESO, si no recuerdo mal,… Lee más »
Yo, como Ignacio, las explico justo después del producto de polinomios, ya en 2º ESO. Y como ejercicio, después va calcular el cubo y la cuarta potencia (de dos maneras distintas, cuadrado por cuadrado y cubo por sencillo). Y, después triangulo de Tartaglia. Me niego a no hacerlo, aunque en mi instituto el resto de mis compañeros me digan «que soy un salvaje», «que no es posible que lo entiendan sus tien-nas mentecillas», y otras muchas gilipolleces didácticas-filosóficas. Restregando por el morro más de una vez algún libro de 1º de BUP, que parece que soy el único en España… Lee más »
Yo, como Ignacio, las explico justo después del producto de polinomios, ya en 2º ESO. Y como ejercicio, después va calcular el cubo y la cuarta potencia (de dos maneras distintas, cuadrado por cuadrado y cubo por sencillo). Y, después triangulo de Tartaglia. Me niego a no hacerlo, aunque en mi instituto el resto de mis compañeros me digan «que soy un salvaje», «que no es posible que lo entiendan sus tien-nas mentecillas», y otras muchas gilipolleces didácticas-filosóficas. Restregando por el morro más de una vez algún libro de 1º de BUP, que parece que soy el único en España… Lee más »
Estoy de acuerdo que desarrollando el producto se aprenden mejor esos productos notables; a la vez que esos productos de polinomios van creando una estructura mental que facilitará la aprehensión de otras ciencias. Eso podría servir de respuesta a aquellos que preguntan «eso para que sirve»
Cuando era estudiante me enseñaron la fórmula y aun ahora recuerdo lo que teníamos que memorizar, que es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo y bla bla bla. pienso que saber de memoria esta y otras fórmulas como que es, x sub uno coma sub dos es igual a, – b más menos raíz de b cuadrado menos 4 a c dividido entre 2 a o que el lado del ángulo siempre se usa en el coseno, Saber eso es cultura básica para nosotros los amantes de… Lee más »
Yo si trabajo directamente con las identidades notables.
Agiliza mucho el calculo. Es verdad que constituyen una regal derivada,
pero si siempre acudimos a la regla primitiva, nunca se avanza.
[…] ¡Abajo las identidades notables! […]
Un niño de corta edad puede resolver el cálculo de 4 x 8 sumando cuatro ochos. Cuando llega al bachillerato ha tenido que hacer tantas multiplicaciones que, sin proponérselo, tiene grabada la tabla de multiplicar como una respuesta automática de su cerebro. Si por cualquier razón no es así (exceso de uso de calculadoras o escasez de práctica), algo ha fallado estrepitosamente y, quizás, si recurre a sumar repetidamente, también cometa un error en la suma. Con las identidades notables debería ocurrir lo mismo. No propongo que se le obligue a memorizarlas sino que se le haga utilizarlas con la… Lee más »
A mi siempre me ha gustado la demostración geométrica
http://youtu.be/49_TJymgXgM?list=LLITptcasXh0vKj4F5nBdhbQ
Y también procuro que la hagan «a mano» antes de que se la aprendan de memoria
Es cierto que las identidades notables causan problemas a los estudiantes de la ESO. Para explicarlas un método que funciona bien es una tabla de doble entrada, en la fila pones los elementos de un factor y en la columna los del otro, y rellenas la tabla con los productos parciales. Pero el problema en su comprensión es un poco mas largo. Por ejemplo les cuesta ver como identidad notable (3x^2+5y^4) (3x^2-5y^4). Esto es un problema de comprensión del concepto de variable, que no comprenden por, entre otras razones, asociarle casi en exclusividad a su interpretación como incógnita de una… Lee más »
Yo las enseño relacionando la expresión (a+b)^2 con el área de un cuadrado de lados a + b. Si os fijais, podeis observar que dentro del cuadrado se forman dos cuadrados de áreas a^2 y b^2 y dos rectangulos de area ab. Por tanto es facil observar por los alumnos ( de 3 Eso) que el área del cuadrado inicial, es decir (a+b)^2 , es igual a la suma de las areas de los dos cuadrados pequeños, a^2 y b^2 mas el area de los dos rectangulos, 2ab. La experiencia me dice que entonces no se equivocan y siempre piensan… Lee más »
Un detalle para confirmar lo dicho dos comentarios arriba. A chavales de 3º ESO plantearles como calcular el producto 8×12 haciendo uso de las identidades notables.
Prefiero que sean deducidas y la verdad no veo problema en el uso de calculadores ni de computadoras para la realización de los cálculos en un nivel secundario. Si esos alumnos/as quisieran luego seguir una carrera que tenga relación con las matemáticas entonces tendrán las herramientas que da la Universidad para estos casos.
Me gustaría hacer una analogía de este tema con algo «mucho más básico»: Las tablas de multiplicaciones. Hace un tiempo por acá en Chile escuchaba a algunos profesores que no querían que sus alumnos de enseñanza básica se aprendieran las tablas de multiplicar de memoria ya que lo mejor era que debían entenderlas. Estoy de acuerdo con esta idea pero hasta cierto límite… Creo que el alumno, obviamente, pasa por una primera etapa donde necesita comprender el concepto (y aquí es donde los profesores buscamos todas las estrategias posibles para hacerlo) pero llega un minuto donde «la memoria» toma un… Lee más »
Acabo de acordarme que hace unos años encontré un libro que enseñaba como multiplicar mentalmente dos números de dos cifras, entre 10-19 y era algo así:
Por ejemplo queremos multiplicar
, seria igual a 
mas la suma de las unidades por 10, osea 
mas el producto de las unidades 
luego el resultado es 
.
Luego de analizar un poco uno se da cuenta de donde sale esa técnica, que básicamente usar algo como:
A las cinco y media he llegado por casualidad a esta web y me lo estoy pasando como un enano (son casi las siete y cuarto). Hace varios años que me jubilé y una parte de mi vida profesional fue de profesor asociado (LRU), ya que trabajaba en una empresa y en la Escuela impartía una asignatura relacionada con mi trabajo, asignatura que se daba en los dos últimos cursos (5º y 6º) de la carrera. Me sorprendió el bajo nivel matemático de los alumnos en general, con caso extremos que me llevaban a preguntarme como se hacía el control… Lee más »
Lo sabía, jaito, pero como al fin y al cabo es un nombre comercial y la escuela aún existe, no quise ponerlo. En los años 50 hice su curso de radio por correspondencia y obtuve el diploma. En este enlace http://eltranvia48.blogspot.com.es/2013/01/al-exito-por-la-practica-la-escuela.html está toda la historia.
Abundando en la problemática comentada por Jaito Problema de examen: Calcular el resultado de la suma entre once y siete. Respuesta del alumno: 11 + 7 = 13 La calificación obtenida por el alumno fue 9,5 puntos sobre 10 ya que la respuesta consta de 5 partes fundamentales: colocación del primer sumando, seguidamente colocación del signo +, anotación del segundo sumando, escritura del signo de igualdad y anotación del resultado a continuación. El alumno comete tan solo un fallo en el último de las partes y por eso ya se ha ganado un 8, no obstante debemos observar que el… Lee más »
Cristhian Camacho: en efecto existe una fórmula para lo que dices, y también para el caso general de un polinomio elevado a la n-ésima potencia. Está en la primera página de este documento:
http://www.ehu.es/olimpiadamat/Curso%202004-05/Material/Polinomios/Polinomios.pdf
Gracias, ya conocia esa formula solo que no me gusta mucho porque no tiene los limites claros en la sumatoria por lo que para desarrollarla tienes que pensar un poco intuitivamente en cambio para desarrollar el binomio de Newton el trabajo es mas mecánico. Por ejemplo en el Binomio de Newton esta claro el número de elementos Pero en esa generalización no podría decir cuantos elementos tiene el resultado donde: Y entonces pasar el binomio de Newton a un programa de computadora es re-facil un ciclo ‘for’ y listo, en cambio la versión general se me hace un tanto mas… Lee más »
Creo, Cristhian Camacho, que para programar el caso generalizado basta generar un grupo de FOR anidados en cuyo contenido central la primera instrucción sea comprobar la suma i+j+…+k y obrar en consecuencia.
Gracias JJGJJG, aparentemente va por algo como usar el Binomio de Newton sucesivas veces
De todas formas no me queda claro cuantos elementos hay y en mi humilde opinión (carente de muchos conceptos por eso es humilde y aun así la doy jejeje) esa parte aunque simple y básica de las matemáticas, aun no ha sido completamente explorada
Aparentemente este sería el número de elementos
Ahora el reto sería hallar el valor de
que nos permitiria plantear la igualdad con una sola sumatoria, talvez no sea posible, pero como dicen por ahi soñar no cuesta nada
Ahora el número de elementos para 4 variables:
es (me parece)
En este punto quiero hacer notar una cosa, que este número de elementos representa los que tienen potencias distintas
Por ejemplo:
1)
20 elementos, distinto de el numero de coeficentes distintos 3 (1, 3, 6), que aparentemente es igual al numero de particiones de 3
NOTA: la fórmula general de 1) es
Recuerdo que un profesor (como curiosidad) nos decía que en la expresión 16/64 se podían eliminar los ‘6’ para simplificar la expresión y queda 1/4 que es correcto (obviamente es una casualidad).
A partir de ese momento hubo gente que ante 25/35 quitaba los cincos (en fin…).
Hola buen día:
Yo doy asesorias particulares y mis alumnos son los que tienen problemas de reprobación o que no entienden los temas, en el caso de productos notables, estoy de acuerdo contigo, mis alumnos reprueban algebra, se confunden con sus formulas de productos notables, les enseño a multiplicar, lo practicamos y se sorprenden de la facilidad con que lo pueden hacer, después ellos mismos deducen sus productos notables, nada como entender y deducir de donde se obtienen.
Saludos desde México.