Hoy toca problema. El de esta semana, enviado por Lautaro hace ya un tiempo al mail de Gaussianos, es el siguiente:
Dadas dos circunferencias
y
de radio 1, situadas según la figura adjunta, calcular el área de la zona coloreada de verde, teniendo en cuenta que cada una de las circunferencias es tangente al centro de la otra.
A por él.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
Tienes un 20% de descuento y envío gratis en toda la web de La Tostadora con al menos dos artículos. Usa el código GAUSSIANOS entrando con el enlace de la imagen.
Y usando el código REBAJAS tienes un 30% de descuento hasta el 8 de agosto con al menos 3 artículos.
Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail haz click en la imagen.
Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.
Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.
El área es el doble de la del segmento circular delimitado por el segmento que une las intersecciones de las circunferencias. Es decir, A= 2 * (1/2 * R^2 (θ – sen θ)) = R^2 (2π/3 – sqrt(3) / 2)
#OnyxIonVortex, no es correcto y basta combinar estas dos fórmulas
La vesica piscis (vejiga de pez en latín).
A mí me sale
Pero no pongo como llegar todavía, aunque es muy sencillo…
Decidme si está bien, y os digo cómo lo he hecho. Nada de mates sofisticadas. No sé si me habré equivocado.
(2*pi)/3 – (raiz de 3)/2
Si se divide el área en los pedazos adecuados, resulta bastante sencillo:
(AVISO, PISTA GORDA)
Area total = Área de un tercio de circunferencia + 2 * Area de un sexto de circunferencia – 2 * Área de un triángulo equilátero de lado 1
(FIN DE LA PISTA)
Obtengo el mismo resultado que julio, (2*pi)/3 – (raiz de 3)/2.
Me parece que tengo una resolución demasiado larga para ser correcta, pero no consigo ver qué hago mal. Si calculamos el área de un sector circular delimitado por los puntos de corte y le restamos el área del triángulo que forman dichos puntos con el centro de una de las circunferencias, ya tenemos la mitad del área verde. Cogiendo una referencia con origen en y vectores unidad y su ortogonal, tenemos que , , y las ecuaciones de las circunferencias son y . Los puntos de corte, pues, son y . Sea y ; haciendo , tenemos que y, por… Lee más »
Eh, se veía bien hasta que he editado una tontería y se me ha comido todas las «» 🙁 lo siento muchísimo.
EDITADO POR ^DiAmOnD^: Ya se ve todo bien 🙂
En resumen, me da
.
Ok, si calculo bien el area del triangulo equilátero me da igual que a julio 🙂
La manera sencilla de calcularlo es por construcción. La mitad superior puede verse como el área del sector circular de 60º (pi/6) más otra vez el mismo area de ese sector circular menos el triangulo equilátero. Esto lo multiplicamos por dos para tener la mitad inferior y nos da la solución… (similar a lo que dijo Mostrenco)
A mí me da también A=(2πr^2/3)-(√3r^2/2)
Bueno, vamos en la misma línea.
Me he limitado a inscribir un hexágono regular dentro del círculo, haciendo coincidir dos de sus vértices con los puntos de corte, y ahí se ve todo…..
Ya lo veo. En mi resolución tenía que ser que el área del sector circular es
, y no 
como dije antes. por lo tanto mi resultado sí que es igual que el vuesto 🙂 🙂
Ya empiezo a parecer un troll así que no comento más pero estoy contenta de haberlo hecho bien finalmente.
PD: Siempre que edito un comentario desaparecen todas las «\» del LaTeX 🙁
En matemáticas los razonamientos más simples suelen ser los más poderosos. Fíjaros, AM y NaaN (en tu primer resultado), que obtenéis un área superior a la de medio círculo de radio 1, siendo ésta una cota más que razonable.
Hay dos triángulos equiláteros de lado 1 (en verde). El resto que queda, es decir, entre los lados de los triángulos y la circunferencia es la sexta parte de la diferencia entre el área del círculo y el exágono de lado 1.
Área del triángulo equilátero de lado 1:
Por lo tanto:
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Hoy toca problema. El de esta semana, enviado por Lautaro hace ya un tiempo al mail de Gaussianos, es el siguiente: Dadas dos circunferencias y de radio 1, situadas según la figura adjunta, calcular el área de la zona color……
El área de los 4 segmentos circulares es:
4x(Area sector circular de 60º – Area triángulo equilatero de lado 1)
4x(pi/6 – raiz(3)/4)
El área de los dos triángulos equiláteros de lado 1 es:
2xraiz(3)/4
Total=2xpi/3-raiz(3)/2
Situamos una circunferencia de R=1 en el origen, circunferencia c, y la trasladamos una unidad a la derecha: ya disponemos así de las dos ecuaciones de c y d. Calculamos su eje radical, recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto (1/2,0) y basta con calcular los puntos de corte de dicha recta con la circunferencia c. Ya podemos calcular el área del segmento circular obtenido y al multiplicarla por 2 el problema está resuelto. Y resuelto con los conocimientos de matemáticas que tienen que tener chavales de 1º de Bachillerato.
¡Entonces lo que yo he dicho está bien, R^2 (2π/3 – sqrt(3) / 2) que para radio = 1 es justamente (2π/3 – sqrt(3) / 2) !
Podemos suponer que la circunferencia C es (x+1/2)^2+y^2=1
y la circunferencia D es (x-1/2)^2+y^2=1.
Entonces el área pedida es, por simetría, 4 veces el área entre 0 y 1/2 de la circunferencia C;
es decir, la integral de la función raíz(1-(x+1/2)^2) entre 0 y 1/2.
Haciendo el cambio x+1/2=sent, dx=costdt, se llega a la integral entre pi/6 y pi/2
de (cost)^2=(1+cos(2t))/2.
Por tanto, el resultado es 4 veces dicha integral: 2*pi/3-raíz(3)/2, como ya se ha dicho anteriormente.
Me ha recordado otro problema que sería un caso más general que este:
Imaginemos que tengo un campo circular. Ato un burro a un punto de su perímetro. Que longitud le doy de cuerda, para que se coma la mitad de la superficie de mi campo redondo………
En aquel caso presenté una solución que creo correcta y podeis ver aquí:
http://www.todopocketpc.com/showthread.php/122387-Se-me-ha-presentado-un-problema-matem%C3%A1tico?p=827018&viewfull=1#post827018
Y con los gráficos aquí:
http://www.todopocketpc.com/showthread.php/122387-Se-me-ha-presentado-un-problema-matem%C3%A1tico?p=827038&viewfull=1#post827038
buen día. El área es (2*pi)/3-(raíz3)/2
Es sencillo. Si pones el hexágono incrito y calculas el área sobrante y la divides entre 6. Sabes cuanto mide cada fragmento pequeño que llamaremos c, ya que el área a calcular ,A=4c+(3/4)^(1/2)=(2/3)*Pi-(3/4)^(1/2) Esta es la solución.
Su solución es fácil en la forma geométrica: A ver, me explico, como A y B son puntos centrales a las circunferencias c y d, respectivamente, y además llamemos P y Q los puntos secantes donde ambas circunferencias se intersecan, entonces trazamos los segmentos AB, AP y BP, los cuales como son radios de longitud 1, se forma el triángulo equilátero ABP. Sacamos el área del triángulo circular APB cuyo ángulo es de 60° lo cual nos da como resultado pi/6, y luego sacamos el área del sector circular PB el cual tendríamos que restar el área del triángulo circular… Lee más »
Sean las circunferencias:
Los puntos de interseccion entre
y 
son: 
Luego la integral para hallar el area es:
¿Son tangentes a los centros o simplemente pasan por ellos?
Yo opté por la integral acotada entre 1/2 y 1 de
y = sqrt(1-x²) , que es la formula de la circunferencia con centro (0,0) y radio 1
Con lo que me da un área bajo la curva entre 1/2 y 1
Luego lo multiplico por 4.
Vamos, una solución ya planteada en otros comentarios
Me quedo con la solución de Pedro T.
las circunferencias, pueden considerarse también ortogonales a los centros, considerados estos como circunferencias infinitamente pequeñas.
Buenas noches a todos. Se me ocurrió solucionarlo usando integrales en un sistema de coordenadas polares:
Felicitaciones Gaussianos por este excelente blog. Lo leo muy seguido. Saludos desde México.
Necesitamos saber el área del sector circular y el área del triangulo equilátero. Del primero restamos el segundo respectivamente para obtener las cuatro partes que junto con las dos áreas de los triángulos nos dan el área deseada.
A mí me sale (2xPi)/3 – (raíz3)/2. Calculo el área del sector de ángulo 60º y le resto el área del triángulo rectángulo de lados contiguos R, R/2 con ángulo 60º. A esa diferencia la multiplico por 4 y listo.
Felicidades por el blog. Aunque es la primera vez que comento, lo leo desde hace meses.
Hola Gaussianos:
El primer área a determinar es el de un segmento circular.Esto lo hacemos restando al área de un sector cicular, el área del triángulo equilátero.Tendremos cuatro de estos segmentos circulares.Además tenemos dos triángulos equiláteros(o un rombo). Sumamos estas áreas parciales, con lo cual el área pedida es:
A=2/3 Pi.r
Es posible que tenga algo que ver con los radianes? Si cogemos una cuerda que mida igual que el radio y la ponemos encima de la circunferencia nos podría dar el ángulo de la mitad del área, que es igual a un radián. Al ser la mitad, hay que multiplicar por 2 el ángulo del radián y nos debería dar el ángulo total. A partir de allí no he continuado por falta de tiempo.
Dendro del área a calcular, se ven claramente dos triángulo equiláteros de lado 1. Este triángulo tiene tres ángulos de 60º. Vamos a calcular el área de un sector circular, para ello tenemos que saber el ángulo del sector circular, que mirando los dos triángulos equiláteros, nos damos cuenta que es un ángulo de 120º. Como el radio es 1, entonces El área a calcular, pintada en verde, es igual a los dos sectores circulares menos el rombo formado por los dos triángulos equiláteros. Para calcular el área del rombo, necesito la diagonal mayor que es 2 veces la altura… Lee más »
Bueno, ya ha quedado bastante claro, pero para que no queden dudas, he hecho trampas para comprobar el área y según el AutoCAD es 1.2284 para circunferencias de radio 1
por lo que las soluciones 2*pi/3 – raiz(3)/2 y equivalentes son las correctas.
Un saludo a todos!
A mi me ha salido que la solucion es 2*(PI)/3
Y si se prefiere poner en forma de funcion dependiente del radio:
2(pi)R/3
Yo lo planteo como el area resultante de la intersección de la recta x=0.5 y la circunferencia con centro (0,0) integrando y multiplicando el resultado por 2.
Podré estar equivocado pero la respuesta de![\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B2%5Cpi+%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B%5D%7B3%7D%7D%7B2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}")
es solo la suma de los sectores circulares sin incluir el rombo. He llegado a la respuesta de 
pero lo hice mientras viajaba en el bus, así que puedo estar equivocado.
Gracioso, propuse el mismo problema de matemáticas en clase y pensé que yo lo había inventado, ahora vi que no u.u aqui les va la solución, y no usa nada de integrales ni de seno ni de matrices, etc. es bastante simple: trazamos un segmento en los dos vertices donde se cortan los círculos vamos a llamar el vertice de arriba de E y el de abajo de F vemos que hay dos triangulos equiláteros (EAB y ABF) porque sus lados son radios de la circunferencia. vemos uno de los dos círculos y vemos el segmento EF, vemos que su… Lee más »
Coincido con la mayoría:
Hola
La solución es la del comentario anterior.
Descomponemos el área a calcular en un área circular y dos segmentos circulares,y el resultado es inmediato.
Saludos
Buenas tardes. Soy profesor de Ciencias Sociales pero quiero saber como determinar el área de intersección de dos círculos; uno de ellos de 10 cms y otro de 6 cms sabiendo que el menor hace centro en un punto de la circunferencia mayor. Gracias
Santos Rafael Ojeda Ortiz El problema se parece al planteado. Lo intento resolver y si conoces alguien con conocimientos matemáticos de 1º de carrrera que lo revise. 1.Situamos las dos circunferencias en puntos estratégicos para que las fórmulas y desarrollos sean mas sencillos. La circunferencia de tamaño 10 (entiendo que es el radio) la coloco con centro en la coordenada (0,0) del plano. Cortes con el eje x en (-10,0) y (10,0) La circuenferencia de tamaño 6 la coloco con centro en la coordenada (10,0) con lo que cumplimos que esté en la circunferencia. 1º voy a calcular las coordenadas… Lee más »
Una alternativa sin integrales:
Conocidos los radios y la distancia x= 8.2 y su complementaria hasta el otro centro 1,8 es fácil calcular la áreas de los dos segmentos circulares ya que por Pitágoras obtenemos la cuerda y con ella tenemos los ángulos centrales por trgonometría.
JJGJJG
Al final me ayudarás
desconzco al que pegunta (no importa), pero me queda mucha matemática y al final no tengo calculadora científica, o sea que esero que me ayudes
He perdido muchos comentarios, así que intento reducir:
S = Area 3.1.a se resuelve con un cambio de variable x = 10 cos(t) que nos deja la integral de sen^2(t) resuelta en internet
A la solución se la aplica la calcuLadora científica (que no dispongo) y te dá la mitad de la solución (se puede meter como consulta en google).
3.b (6,8.02)
Es igual que la anterior, pero la integral es un poco mas complicada.
La curva es la de la circunferencia menor (x-10)^2 + y^2 =36, y la integral es:
S = Area (6,8.02) = int(sqrt(36-(x-10)^2))
que me queda pendiente de resolver
Sigo mirando
JJGJJG
No estaba tu comentario cuando he empzdo a escribir.
Si lo resulves por ahí, PERFECTO.
Mi solución saca al final Arc Sen (…) en fin complejo para un no matemático
Sigo con mas tiempo que ayer. 3a. Area de 8.02 a 10 = S1 S1 = int(8.02,10) sqrt(100-x\^2))dx Cambio de variable x = 10 cos(t) y dx = -10 sen(t) dt, luego: S1 = int sqrt(100-100cos^2(t) (-10 sen(t) dt) = – int 100 sqrt(1-cos^2(t))sen(t) dt S1 = -100 int sen^2(t) d(t) =(verlo en internet) = -100 (t/2 – (sen(t)cos(t)/2)) Dado que he hecho x= 10cos(t)deshago el cambio de variable y me queda S1 = -100(arc cos (x/10)/2 – (sen (arc cos(x/10)) cos(arc cos(x/10)))/2) S1 = -100(arc cos (x/10)/2 – (sen (arc cos(x/10))* x/10)/2) S1 = -100(arc cos (x/10)/2 – (sqrt(1-(x/10)^2)*… Lee más »
3b. Area de 6 a 8.02 = S2 con la curva de l circunferencia pequeña S2 = int(6,8.02) sqrt(36-(x-10)^2)dx Cambio de variable x = 10 + 6 cos(t) y dx = -6 sen(t) dt, luego: S2 = int sqrt(36-36cos^2(t) (-6 sen(t) dt) = – int 36 sqrt(1-cos^2(t))sen(t) dt S2 = -36 int sen^2(t) d(t) =(verlo en internet) = -36 (t/2 – (sen(t)cos(t)/2)) Dado que he hecho x = 10 + 6cos(t)deshago el cambio de variable y me queda S2 = -36(arc cos ((x-10)/6)/2 – (sen (arc cos((x-10)/6)) cos(arc cos((x-10)/6)))/2) S2 = -36(arc cos ((x-10)/6)/2 – (sen (arc cos((x-10)/6))* (x-10)/6)/2) S2… Lee más »