En ocasiones la originalidad puede salvarte en un examen, pero en otras se ve demasiado claro que pretende tapar que no te has estudiado (o deja bien a las claras que te estás pasando de listo), como ocurre en este caso con la Math Machine:

Vamos, o esta persona no sabe hacer el segundo apartado del ejercicio, por lo que utiliza la Math Machine (que me da que en realidad es la calculadora) para dar el resultado, o es un listillo/a que pretende vacilar al profesor (cómo me recuerda esta «Math Machine» a las demostraciones TAMO). Sea como sea, es razonable que el propio profesor, además de felicitarle por el dibujo (Nice Drawing!), le pregunta por qué el resultado es el que él indica (Why?). Vamos a responder nosotros.

El enunciado comienza de la siguiente forma:

Usa aproximación lineal para aproximar \sqrt[3]{64,2} como sigue:

El primer apartado dice lo siguiente:

a) Sea f(x)=\sqrt[3]{x}. Entonces la ecuación de la recta tangente a f(x) en x=64 puede ser escrita de la forma y=mx+b, donde

Y ahora pide calcular los valores de m y b. Eso es sencillo, y el chico lo hace bien. Como seguro que recordáis, m es la pendiente de dicha recta tangente, que en este caso se puede calcular calculando la derivada de f(x) y evaluándola en x=64. Queda entonces:

f^\prime (x)=\cfrac{1}{3 \; \sqrt[3]{x^2}} \rightarrow f^\prime (64)=\cfrac{1}{3 \; \sqrt[3]{64^2}}=\cfrac{1}{48}

Ahora podemos calcular b utilizando que en x=64 el valor de la función y el valor de y en la recta tangente es el mismo:

f(64)=m \cdot 64+b \rightarrow \sqrt[3]{64}=\cfrac{1}{48} \cdot 64+b \rightarrow 4=\cfrac{4}{3}+b \rightarrow b=\cfrac{8}{3}

Bien, ya tenemos la recta tangente a f(x) en x=64:

y=\cfrac{1}{48} \; x+\cfrac{8}{3}

Por ahora todo bien. Vamos al segundo apartado, que dice esto:

b) Usando esto (el apartado anterior) encuentra la aproximación de \sqrt[3]{64,2} con 4 decimales.

Y aquí es cuando el chico no sabe qué hacer o se hace el listo. Y uno no entiende muy bien por qué lo hace, ya que este apartado es sencillo. Básicamente se resuelve de la misma manera en la que se calculó el valor de b, utilizando que la recta tangente a f(x) en x=64 está «muy cerca» de la propia f(x) para valores muy cercanos a x=64 como es en este caso x=64,2. Por tanto lo que tenemos que hacer es sustituir x por 64,2 en la expresión de la recta tangente:

\sqrt[3]{64,2} \approx \cfrac{1}{48} \cdot 64,2 + \cfrac{8}{3}=4,0041 \overline{6} \approx 4,0042

Por tanto el resultado que da este estudiante es correcto, 4,0042, pero como no se sabe si lo consiguió como pedía el ejercicio no podemos determinar si sabe el procedimiento que hay que seguir para resolverlo o simplemente utilizó la calculadora para calcular directamente \sqrt[3]{64,2}, obteniendo entonces 4,0041623 \ldots, y redondeó a cuatro decimales. Aunque, todo hay que decirlo, la originalidad a la hora de responder no se la quita nadie.


Visto en Ask me math.

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