Cómo demostrar que π (pi) es irracional (II)

Hoy, día de \pi, vamos a ver una segunda demostración de la irracionalidad de esta constante, razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia (la primera demostración podéis verla en esta entrada).

Teorema: \pi es irracional

Demostración:

Sea \displaystyle{I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n cos(\alpha x) dx}. Integrando por partes obtenemos lo siguiente:

\alpha ^2 I_n=2n (2n-1) I_{n-1}-4n(n-1) I_{n-2}

Siguiendo con la integración por partes llegamos a la siguiente expresión:

\alpha ^{2n+1} I_n=n!(P_n sen(\alpha)+Q_n cos(\alpha)) (1)

siendo P_n, de grado n, y Q_n, de grado n-1, polinomios de coeficientes enteros.

Tomamos \textstyle{\alpha=\frac{\pi}{2}} y suponemos que \pi es racional, digamos \textstyle{\pi=\frac{a}{b}}, con a,b \in \mathbb{Z}. Con ello, de (1) deducimos que

J_n=\cfrac{a^{2n+1} I_n}{n!}

es un número entero. Por otra parte, J_n \rightarrow 0 cuando n \rightarrow \infty, ya que a es fijo y la integral I_n está acotada por \textstyle{\displaystyle{\int_{-1}^{1} cos(\frac{\pi x}{2})}}, que es finita.

Por tanto J_n es entero, \forall n\in\mathbb{N}, y además J_n \rightarrow 0 cuando n \rightarrow \infty. Por tanto J_n=0 para algún n. Pero el integrando de I_n es continuo y es positivo en todo el intervalo (-1,1). Por tanto J_n \ne 0.

Esta es la contradicción a la que se llega asumiendo que \pi es racional. Por tanto queda demostrado que \pi es irracional.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comments

  1. Diamond, no conocía esta prueba y te agradezco que nos las hayas dado a conocer. La he estado reproduciendo paso a paso y me parece más laboriosa que la primera. No sé como la verán los demás, pero en mi opinión la esencia global de la prueba es la misma que la que aparece en la primera prueba https://gaussianos.com/como-demostrar-que-%cf%80-pi-es-irracional/

    Hay unas cuantas erratas (de escritura) que tal vez vendría bien corregir…

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  2. Hace 129 años, el 14 de marzo de 1879, nacía Albert Einstein.

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  3. Domingo he releído y he encontrado una, una b que debería ser una a, pero no veo más. Dímelas si puede ser.

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  4. OK

    1) Al comienzo, la integral I_n no depende de x, sino de \alpha. Por cierto

    2) En la fórmula (1) (no tiene nada que ver con el mundo automovilístico 🙂 ), el seno y el coseno deben estar evaluados en \alpha, y no en \alpha x.

    La verdad es que hay que hacer unos cuantos cálculos de laboratorio antes de llegar a (1).

    Ya lo que sigue son pejiguerías mías: tal vez quedaría mucho más claro decir que P_n y Q_n son expresiones polinómicas de grado n, «en la variable n» (en una primera lectura rápida no entendí bien lo que querías decir). Otra cosa, «es positivo en la mayor parte del intervalo» suena bastante raro, no?. Por qué no decir «es positivo en todo el intervalo abierto» y evitar discusiones.

    ¿Podrías suprimir este comentario en cuanto lo hayas analizado? Gracias.

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  5. Rectificados los errores.

    Prefiero dejar el comentario para que se vea que ha habido errores y que tú los has corregido. A mí también me ayuda dejarlo ahí porque dentro de un tiempo cuando lo vuelva a ver lo tendré en cuenta.

    Y sí, hay que hacer un cuantos cálculos para llegar a (1) :D.

    Gracias de nuevo. Saludos

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    • He intentado demostrar que (π + e) es un número irracional. Es por reducción al absurdo.

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  6. DEMOSTRACIÓN DE LA IRRACIONALIDAD DE (π + e). (POR REDUCCIÓN AL ABSURDO).
    Sabemos que 5 < (π + e) < 6.
    Supongamos que (π + e) = 5,d1d2..dL… , donde d1d2..dL es el período de L dígitos y dL es diferente de cero.

    Se define el conjunto infinito R1 = ( E1, E2, E3, …), cuyos elementos son los racionales que se forman al agregar uno a uno los dígitos decimales del número e = 2, 71828182845904523360…
    Entonces, E1 = 2,7 ; E2 = 2,71 ; E3 = 2,718 ; E4 = 2,7182 ; E5 = 2,71828 ; Etc.

    Se define el conjunto infinito I. Los elementos de I son los números irracionales que resultan al sumar π con cada elemento de R1.
    I = ( I1, I2, I3, I4, … )
    Si se escoge un elemento de R1 con un número i de dígitos suficientemente grande, se obtiene un Ei , tal que:
    (π + e) – (π + Ei) = 0, 000000….0000N1N2 …, donde el número de ceros es (c+a+1), y donde c y a son enteros positivos.

    Entonces, (π + e) = (π + Ei) + 0, 000000….0000N1N2 …, …………………(*)
    Como (π + Ei) es un irracional, sea (π + Ei) = 5, i1i2i3…ic ic+1 …ic+a …, donde 1i2i3…ic ic+1 …ic+a … es su desarrollo decimal irracional.
    Entonces, en (*), tenemos (π + e) = 5, i1i2i3…ic ic+1 …ic+a … + 0, 000000….0000N1N2 …,
    Por su irracionalidad, después de una cierta cifra ic en su desarrollo decimal, existe alguna diferente de 9. Sea ic+a esa cifra.
    Entonces, al menos las c primeras cifras del desarrollo decimal de (π + e) son iguales a las c primeras cifras del desarrollo decimal irracional de (π + Ei).
    Debido a esto, por definición de número irracional, para un c suficientemente grande, este desarrollo necesariamente debe ser diferente del desarrollo decimal periódico 5,d1d2..dL… que habíamos supuesto inicialmente para (π + e).

    Por tanto, (π + e) ≠ 5,d1d2..dL…

    Si se efectúa el mismo procedimiento suponiendo ahora que (π + e) es un número racional con desarrollo decimal finito, se llega a la misma conclusión.

    Entonces, (π + e) es un irracional.

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  1. Cosas raras provocadas por el infinito - Gaussianos | Gaussianos - […] Y éste es nuestro caso, porque es irracional al serlo el propio número (aquí tenéis dos demostraciones…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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