Hoy, día de \pi, vamos a ver una segunda demostración de la irracionalidad de esta constante, razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia (la primera demostración podéis verla en esta entrada).

Teorema: \pi es irracional

Demostración:

Sea \displaystyle{I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n cos(\alpha x) dx}. Integrando por partes obtenemos lo siguiente:

\alpha ^2 I_n=2n (2n-1) I_{n-1}-4n(n-1) I_{n-2}

Siguiendo con la integración por partes llegamos a la siguiente expresión:

\alpha ^{2n+1} I_n=n!(P_n sen(\alpha)+Q_n cos(\alpha)) (1)

siendo P_n, de grado n, y Q_n, de grado n-1, polinomios de coeficientes enteros.

Tomamos \textstyle{\alpha=\frac{\pi}{2}} y suponemos que \pi es racional, digamos \textstyle{\pi=\frac{a}{b}}, con a,b \in \mathbb{Z}. Con ello, de (1) deducimos que

J_n=\cfrac{a^{2n+1} I_n}{n!}

es un número entero. Por otra parte, J_n \rightarrow 0 cuando n \rightarrow \infty, ya que a es fijo y la integral I_n está acotada por \textstyle{\displaystyle{\int_{-1}^{1} cos(\frac{\pi x}{2})}}, que es finita.

Por tanto J_n es entero, \forall n\in\mathbb{N}, y además J_n \rightarrow 0 cuando n \rightarrow \infty. Por tanto J_n=0 para algún n. Pero el integrando de I_n es continuo y es positivo en todo el intervalo (-1,1). Por tanto J_n \ne 0.

Esta es la contradicción a la que se llega asumiendo que \pi es racional. Por tanto queda demostrado que \pi es irracional.

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