Hoy, día de , vamos a ver una segunda demostración de la irracionalidad de esta constante, razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia (la primera demostración podéis verla en esta entrada).
Teorema: es irracional
Demostración:
Sea . Integrando por partes obtenemos lo siguiente:
Siguiendo con la integración por partes llegamos a la siguiente expresión:
(1)
siendo , de grado
, y
, de grado
, polinomios de coeficientes enteros.
Tomamos y suponemos que
es racional, digamos
, con
. Con ello, de (1) deducimos que
es un número entero. Por otra parte, cuando
, ya que
es fijo y la integral
está acotada por
, que es finita.
Por tanto es entero,
, y además
cuando
. Por tanto
para algún
. Pero el integrando de
es continuo y es positivo en todo el intervalo
. Por tanto
.
Esta es la contradicción a la que se llega asumiendo que es racional. Por tanto queda demostrado que
es irracional.
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Diamond, no conocía esta prueba y te agradezco que nos las hayas dado a conocer. La he estado reproduciendo paso a paso y me parece más laboriosa que la primera. No sé como la verán los demás, pero en mi opinión la esencia global de la prueba es la misma que la que aparece en la primera prueba https://gaussianos.com/como-demostrar-que-%cf%80-pi-es-irracional/
Hay unas cuantas erratas (de escritura) que tal vez vendría bien corregir…
Hace 129 años, el 14 de marzo de 1879, nacía Albert Einstein.
Domingo he releído y he encontrado una, una
que debería ser una
, pero no veo más. Dímelas si puede ser.
OK 1) Al comienzo, la integral no depende de x, sino de . Por cierto 2) En la fórmula (1) (no tiene nada que ver con el mundo automovilístico 🙂 ), el seno y el coseno deben estar evaluados en , y no en . La verdad es que hay que hacer unos cuantos cálculos de laboratorio antes de llegar a (1). Ya lo que sigue son pejiguerías mías: tal vez quedaría mucho más claro decir que y son expresiones polinómicas de grado n, «en la variable n» (en una primera lectura rápida no entendí bien lo que querías decir).… Lee más »
Rectificados los errores.
Prefiero dejar el comentario para que se vea que ha habido errores y que tú los has corregido. A mí también me ayuda dejarlo ahí porque dentro de un tiempo cuando lo vuelva a ver lo tendré en cuenta.
Y sí, hay que hacer un cuantos cálculos para llegar a (1) :D.
Gracias de nuevo. Saludos
He intentado demostrar que (π + e) es un número irracional. Es por reducción al absurdo.
[…] Y éste es nuestro caso, porque es irracional al serlo el propio número (aquí tenéis dos demostraciones de este […]
DEMOSTRACIÓN DE LA IRRACIONALIDAD DE (π + e). (POR REDUCCIÓN AL ABSURDO). Sabemos que 5 < (π + e) < 6. Supongamos que (π + e) = 5,d1d2..dL… , donde d1d2..dL es el período de L dígitos y dL es diferente de cero. Se define el conjunto infinito R1 = ( E1, E2, E3, …), cuyos elementos son los racionales que se forman al agregar uno a uno los dígitos decimales del número e = 2, 71828182845904523360… Entonces, E1 = 2,7 ; E2 = 2,71 ; E3 = 2,718 ; E4 = 2,7182 ; E5 = 2,71828 ; Etc. Se… Lee más »
Corrección: Después de I = ( I1, I2, I3, …) viene lo siguiente: Sea c = k . L, donde K = 2, 3, 4, … y L = 1, 2, 3, 4, … Si se escoge un elemento de R1 con un número i de dígitos de e suficientemente grande, se obtiene un Ei tal que: (π + e) – (π + Ei) = 0, 000000….0000N1N2 …, donde el número de ceros es (c+a+1), y donde c y a son enteros positivos. Entonces, (π + e) = (π + Ei) + 0, 000000….0000N1N2 …, …………………(*) Como (π + Ei)… Lee más »