La semana pasada, durante mis vacaciones, se confirmó lo que veníamos apuntando: tenemos dos nuevos primos de Mersenne. En la web del proyecto GIMPS han hecho públicos los números. Son los siguientes:
- Cuadragésimo quinto primo de Mersenne conocido:
Número de cifras: 12.978.189
Descubridor: Edson Smith
Descárgalo aquí (7’13 MB) - Cuadragésimo sexto primo de Mersenne conocido:
Número de cifras: 11.185.272
Descubridor: Hans-Michael Elvenich
Descárgalo aquí (6’14 MB)
Como se podía prever se han superado (con creces) los diez millones de cifras, por lo que ya hay ganador de los 100000$ que ofrecía la EFF.
Aquí podéis ver una nota de prensa enviada por GIMPS informando de los descubrimientos.
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¿¡Por qué el 45ª es mayor que el 46ª!? ¿Es que no van por orden?
Manuel, el número 45 y el 46 son la posición en que se han encontrado, es decir, si hiciéramos una lista de estos números ordenándolos según el momento en que se encontraron ocuparían esas posiciones.
Luego, curioso, el que fue encontrado después era más pequeño que el anterior.
Creo que cada computadora de del proyecto GIMPS explora una minúscula parte de la recta númerica. Esa sería la causa por la cual los descubrimientos se hayan dado de esa manera. Lo mismo debe ocurrir con las lagunas entre primos de Mersenne. No se ha verificado que todos los números descubiertos sean consecutivos dentro de la secuencia.
Cuando el telescopio Hubble apunta hacia un objeto cósmico, puede llegar hasta profundidades extraordinarias pero siempre en una misma dirección a la vez, pues le sería imposible barrer rapidamente todo el firmamento con la misma efectividad.
METODO DE ELIAN
Hola gaussianos.
He descubierto un nuevo método rápido y eficaz para determinar la primalidad de un número de Mersenne.
g(n) = número de cifras decimales que tiene 1/n
Ejemplo g(11) = 2 porque 1/11 = 0.090909…
Para todo Mp, Mp es primo si y sólo si g(Mp) divide a
Mp – 1.
Condición necesaria y suficiente.
Los invito a comprobarlo con sus ordenadores.
M7 (=127), g(127) = 42, y 42 divide a 127 – 1
Saludos
Jonas, ¿una demostración de tu resultado? Comprobarlo con números sueltos mediante un ordenador no valdría como prueba.
Jonás: ¿Por qué se hace el cálculo de las cifras decimales? ¿por qué no el de las hexadecimales o las binarias?
Me parece muy arbitrario…
Si escribimos los nùmeros 8191, 127, es decir nùmeros con notaciòn decimal; entonces es lògico buscar soluciòn al problema en nuestro sistema decimal de numeraciòn. Talvez en en el sistema decimal està la clave. sabemos que la abundante prueba numèrica no prueba una conjetura,sòlo le da fuerza.Pido comprobar resultados con un ordenador, porque trabajo sòlo con lapiz y papel,un ordenador no està a mi alcance y soy casi un «analfabeta informatico»; me gustarìa que se armara un equipo de colaboradores en gaussianos porque tengo cierta esperanza que el resultado sea falso para terminar asì el martirio mental que me atormenta,esto… Lee más »
Calma Jonás, las conjeturas pueden refutarse o confirmarse rapidamente o tardar un poco más de lo esperado. Tal vez la que tú has propuesto ya sea conocida. Si algún crak de gaussianos te presta atención tal vez recibas pronto la solución. Mientras tanto podrías poner a nuestra disposición una tabla ordenada de la manera más clara posible, con los resultados que has obtenido. Si dispones de ella, claro.
Hola Jonas, ante todo gracias por compartir tus resultados con nosotros. La verdad es que me ha sorprendido la propiedad que comentas, sobre todo por la extraña relación con la base de numeración, como comentaba Manuel, es decir, que la cantidad de decimales del periodo en base 10 sea un divisor del primo de Mersenne menos uno. Lo he comprobado por ordenador hasta el número 8 de Mersenne (es el 2147483647 y su inversa tiene un periodo de 195225786 decimales) y he visto que en todos los casos se cumple. No son muchos casos pero lo suficiente como para analizar… Lee más »
Me parece que he conseguido demostrar parte de la conjetura de Jonas. Concretamente demuestro que para todo primo p distinto de 2 y 5 (no producen periodo), g(p) divide p-1. Recordemos que g(p) es el número de cifras en base 10 del periodo de 1/p. Esto incluye a los primos de Mersenne, pero no demuestra la implicación inversa, es decir, que si dado un número de Mersenne (n) tenemos que g(n) divide n-1, entonces n es primo (esto sería lo siguiente a estudiar). Para empezar lo mejor es coger lápiz y papel y ver cómo se obtienen los decimales cuando… Lee más »
Hola Asier. Entre el 21 y el 23 de enero ya dimos una prueba de esa propiedad:
https://gaussianos.com/expresar-un-numero-decimal-en-forma-de-fraccion/
Vaya, cierto M, planteó y resolvió la cuestión un tal Domingo H.A. 😉
Al menos tengo la satisfacción de haberlo resuelto por mi cuenta de forma independiente.
¿Por lo demás qué opináis de lo que plantea Jonas?
Aunque fuera cierto la duda que tengo es si aportaría algo a la obtención de primos de Mersenne.
Gracias Asier por centrar tu atencíón en este asunto. Por una propiedad de g(n) g(7*13) = mcm de g(7) y g(13) = mcm de 6 y 6 = 6 En este caso g(91) = 6, y 6 divide a 91-1, sin ser 91 un primo. Si un número de Mersenne no es primo entonces para sus divisores primos p, q, r,… tenemos que g(#mersenne) = g(p*q*r*…) = mcm de g(p), g(q), g(r),… …Bueno, parece que g(#mersenne) nunca divide a #mersenne-1 Si un número de Mersenne no es primo, y suponiendo que g(#mersenne) divide a #Mersenne-1, entonces sus divisores primos serían… Lee más »
La gran duda para muchos es porque el método parece tan fácil para ser creiiible!!
Demostrar
Si n es un número compuesto, y g(n) divide a n-1, entnces los divisores primos de n son de la forma g(n)*m + 1
Hola Jonas, en cuanto saque tiempo seguiré estudiando el asunto, pero en cualquier caso hay que plantearse si computacionalmente es viable calcular g(n) siendo n un número de Mersenne (es decir un número enorme). Fíjate en que para el octavo número de Mersenne (10 cifras) el periodo es un número de 9 cifras. Para primos grandes de Mersenne (millones de cifras) el periodo posiblemente también tenga millones de cifras La conjetura que planteas tiene interés por sí misma pero me temo que posiblemente no pueda traducirse en un método más eficiente que el test de Lucas-Lehmer para descubrir primos de… Lee más »
Hola Asier He repasado viejos resultados de la la función g(n) anotados en mi agenda y encuentro cosas interesantes, pero ni idea de la demostración. Si n es un número compuesto, podemos expresarlo como producto de dos factores p,q (sean primos o compuestos), pues bien por medio de g(n) hallamos un número S, tal que p+q = S. Con estos datos es fácil hallar los valores de p y q. p*q = n p+q = S que se resuelve fácil por la fórmula cuadrática. Si n es primo, entonces no hallamos valores enteros de p y q, es decir he… Lee más »
METODO DE ELIAN
Hola gaussianos.
He descubierto un nuevo método rápido y eficaz para determinar la primalidad de un número de Mersenne.
g(n) = número de cifras decimales que tiene 1/n
Ejemplo g(11) = 2 porque 1/11 = 0.090909…
Para todo Mp, Mp es primo si y sólo si g(Mp) divide a
Mp – 1.
Condición necesaria y suficiente.
Los invito a comprobarlo con sus ordenadores.
M7 (=127), g(127) = 42, y 42 divide a 127 – 1
Saludos
Gracias Asier por centrar tu atencíón en este asunto. Por una propiedad de g(n) g(7*13) = mcm de g(7) y g(13) = mcm de 6 y 6 = 6 En este caso g(91) = 6, y 6 divide a 91-1, sin ser 91 un primo. Si un número de Mersenne no es primo entonces para sus divisores primos p, q, r,… tenemos que g(#mersenne) = g(p*q*r*…) = mcm de g(p), g(q), g(r),… …Bueno, parece que g(#mersenne) nunca divide a #mersenne-1 Si un número de Mersenne no es primo, y suponiendo que g(#mersenne) divide a #Mersenne-1, entonces sus divisores primos serían… Lee más »
La gran duda para muchos es porque el método parece tan fácil para ser creiiible!!
Demostrar
Si n es un número compuesto, y g(n) divide a n-1, entnces los divisores primos de n son de la forma g(n)*m + 1
Hola Asier He repasado viejos resultados de la la función g(n) anotados en mi agenda y encuentro cosas interesantes, pero ni idea de la demostración. Si n es un número compuesto, podemos expresarlo como producto de dos factores p,q (sean primos o compuestos), pues bien por medio de g(n) hallamos un número S, tal que p+q = S. Con estos datos es fácil hallar los valores de p y q. p*q = n p+q = S que se resuelve fácil por la fórmula cuadrática. Si n es primo, entonces no hallamos valores enteros de p y q, es decir he… Lee más »