Esta semana os propongo otro problema sencillo:
Demostrar que la fracción
es irreducible
.
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Fracción irreducible
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Je, es mu fácil
Es muy facil aplicando el teorema de euclides.
1- Dividimos 21n+4 entre 14n+3 y obtenemos de resto 7n+1
2- Dividimos 14n+3 entre 7n+1 y obtenemos de resto 1
3- Dividimos 7n+1 entre 1 y obtenemos de resto 0 por lo que 1 es el MCD de 21n+4 y 7n+1 para cualquier n
Como 21n+4 y 7n+1 son comprimos para cualquier n la fraccion sera siempre irreducuble.
Yo ampliaría a una pregunta más interesante:
¿Qué condiciones han de cumplir los coeficientes de n y el término independiente de numerador y denominador para que la fracción sea siempre irreducible?
Multiplicamos el numerador por -2, el denominador por 3 y los sumamos. El resultado es 1 y por el teorema de Bezout ambos son primos entre si.
Como respuesta a la pregunta que yo mismo he planteado:
Sean
el numerador y el denominador de la fración respectivamente
Siguiendo el razonamiento de madmath la fracción será irreducible si existen
tales que
lo que da dos condiciones:
De la primera se deduce que
han de ser coprimos.
que cumplan la primera condición:
De la segunda se deduce que dados
Un poco por encima, espero que esté bien el razonamiento.
Más preguntas:
¿Se puede generalizar el resultado a polinomios de grado m?
una pregunta no relacionada con el post actual. Lei el post de los puentes de Konisbergh y la teoria de grafos. La pregunta es si dichos grafos son el objeto de los llamados teoremas del grafo cerrado y el grafo abierto (de Banach?))
muchas gracias.
Podemos usar esta propiedad del máximo común divisor mcd(a + m·b, b) = mcd(a,b). Luego
mcd(21n+3,14n+3) = mcd(14n+3 + (7n+1), 14n+3) = mcd(7n+1, 14n+3) = mcd(7n+1, 2(7n+1)+1) = mcd(7n+1,1) = 1.
Por lo tanto, 21n+3 y 14n+3 son primos relativos y por tanto (21n+3)/(14n+3) es irreducible.
Corrijo: en la segunda línea debería ser mcd(21n+4,14n+3) (al comienzo) y no mcd(21n+3,14n+3). La demostración no cambia en nada, fue solo un error de tipeo. Me parece que si use la propiedad mcd(a+mb,b)=mcd(a,b), sería oportuno demostrarla: Proposición: Dados a,b,m números enteros, entonces mcd(a+mb, b)=mcd(a,b). Demostracion: Sea d=mcd(a+mb,b) y sea d’=mcd(a,b). Por definición, d | (a+mb) y d|b. Luego, existe k tal que (a+mb)/d = k. Esto implica a/d + mb/d = k. Dado que d|b, mb/d es un número entero, por tanto d|a. Ya que d|b tambien, se tiene entonces que d|d’. Probar d’|d es trivial. Por lo tanto d=d’.… Lee más »
El teorema del grafo cerrado no tiene que ver con la teoría de grafos. Es de análisis funcional y trata sobre si el grafo de una función lineal $ f : E \rightarrow E’$, (subconjunto de $E\times E’$)
es un subespacio cerrado en la topologia cociente, siendo ambos espacios de Banach (en dimensión finita todos los subespacios son cerrados, pero esto no es cierto en dimensión infinita).
Gracias Madmath!!! Qué buena explicacion que haces del tema!! Lo poquisimo que se del tema, son algunos conceptos, como por ejemplo: 1-un subespacio cerrado (con clausura?) tiene un subespacio dual denso? 2-en dimension infinita, las bases son densas (no se si era Zorn o Zermelo, puede ser?) 3-Hay una relacion entre operadores de rango finito (dimension finita del rango), por un lado; y la densidad y los operadores compactos, por otro lado. Ahora bien y al margen de ello, aun cuando el teorema y la teoria no tengan relacion, el grafo de una funcion lineal es en el mismo sentido… Lee más »
Ya encontre en Wikipedia la definicion de grafo de una funcion!!! Gracias igual!!!
Con respecto a las preguntas, allyn, puedo darte algunas respuestas, pero sobre todo en espacios de Hilbert. 1 Todo espacio vectorial, de dimensión finita o no, posee bases. En dimensión infinita se denominan bases de Hamel y todo vector del espacio vectorial es una «combinación lineal finita» de algunos de los vectores de base. 2 Los espacios de Hilbert, además de tener bases de Hamel, tienen bases llamadas hilbertianas. En estos, todo vector es «una combinación lineal no necesariamente finita. Para poder expresar un vector en una base hilbertiana se necesita utilizar series. Las bases hilbertianas y de hamel solo… Lee más »
Gracias Madmath!!!No sabe lo increiblemente buenas que son sus respuestas a mis vagas preguntas!!! Por ejemplo. Su respuesta del punto 2, sobre la necesidad de usar series para expresar vectores en alguna base hilbertiana, me es enorme. Al igual que en 6, sobre la densidad del conjunto de valores propios. Idem la del punto 3, acerca de los límites. Sobre lo que ud. me comenta, tambien conozco algunos otros conceptos; por caso: a)Para un Espacio de Hilbert (L2), existe un Isomorfismo Isometrico entre los Duales. Para un Espacio de Banach (Lp), hay Duales no Isomorfos al Espacio. b)(«creo» que) los… Lee más »
(21n+4)/(14n+7). Probemos que es irreducible.
Si multiplicamos: 2*(21n+4)=42n+8 y 3*(14n+3)= 42n+9
Lo cual significa que estos dos resultados son consecutivos y por lo tanto coprimos, por lo tanto los divisores de estos tambien lo son y la fraccion (21n+4)/(14n+7) es irreducible
Federico, porque multiplicas el numerador y el denominador por 2 y3 respectivamente?