Introducción

Todo punto del plano complejo (plano cartesiano) puede representarse con sus coordenadas (x,y), que son los puntos de cada uno de los ejes donde cortan las dos perpendiculares a los mismos que podemos trazar desde la propia representación del punto (esto es, las coordenadas que todos conocemos desde siempre). Estas coordenadas se denominan coordenadas rectangulares o cartesianas.

Esta forma de asignar coordenadas a los puntos del plano no es la única (de hecho en muchas ocasiones ni siquiera es la más aconsejable). Vamos a ver otra manera de asignar coordenadas a los puntos del plano: las coordenadas polares

Coordenadas polares

A todo punto P del plano cuyas coordenadas rectangulares son (x,y) podemos asignarle las siguientes coordenadas:

r=distancia del origen de coordenadas (0,0) al punto P
\theta=ángulo desde el semieje positivo del eje X al segmento que une el origen de coordenadas con P

Representado gráficamente sería así:

Coordenadas polares

Teniendo en cuenta esta definición se tiene que r \ge 0 y \theta \in \left [ 0, 2 \pi \right ] (se puede definir también el ángulo en el intervalo \left [ - \pi, \pi \right]).

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares con las polares son las siguientes:

Rectangulares en función de las polares

x=r \; cos(\theta)
y=r \; sen(\theta)

Polares en función de las rectagulares

r=+ \sqrt{x^2+y^2}
\theta=arctan(\textstyle{\frac{y}{x}})

Sobre la expresión del ángulo en función de las coordenadas rectangulares se debe realizar un apunte importante. La función arctan(x) da como resultado dos valores distintos, dos ángulos en cuadrantes opuestos (primero y tercero o segundo y cuarto). Por tanto hay veces en las que al calcular el ángulo puede que obtengamos un resultado incorrecto (puede que nos aparezca el ángulo del cuadrante incorrecto). La regla para el ángulo es la siguiente:

Calculamos el ángulo \theta (con la calculadora o con la ayuda del cuadro de las razones trigonométricas) y miramos los signos de las coordenadas (x,y) para ver en qué cuadrante está situado el punto P. Si el ángulo que hemos obtenido está en el mismo cuadrante que P el ángulo obtenido es el correcto. Si no es así sumamos o restamos \pi al ángulo que nos ha salido cuidando que el resultado de esa suma/resta quede dentro del intervalo \left [ 0, 2 \pi \right ]. Por ejemplo, si obtenemos el ángulo \textstyle{\frac{\pi}{3}} (que está en el primer cuadrante) y vemos que nuestro punto está en el tercer cuadrante (coordenadas (x,y) negativas) sumamos \pi al ángulo obtenido, resultando entonces que el \theta buscado es \theta=\pi + \textstyle{\frac{\pi}{3}} =\textstyle{\frac{4 \pi}{3}} (si en vez de sumar restáramos nos saldríamos de \left [ 0, 2 \pi \right ]).

Aplicaciones

Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:

  • Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable, r (en concreto r \to 0), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo \theta. Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.
  • Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro (0,0) y radio 3 tiene a x^2+y^2=9 como ecuación en coordenadas rectangulares y a r=3 como ecuación en polares.
  • Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares (x,y) es la representación gráfica del número complejo z=x+iy (esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del z). Pasando a polares obtenemos el módulo (r) y el argumento (\theta) de z y con ello la forma polar de z: z=r_{\theta}

    Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces n-ésimas.

  • Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma.
  • Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad.
  • Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior.

Un toque de humor

Las coordenadas polares también sirven para darle un toque de humor matemático a nuestra vida:

¿Qué es un oso polar?
Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.

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