Introducción
Todo punto del plano complejo (plano cartesiano) puede representarse con sus coordenadas , que son los puntos de cada uno de los ejes donde cortan las dos perpendiculares a los mismos que podemos trazar desde la propia representación del punto (esto es, las coordenadas que todos conocemos desde siempre). Estas coordenadas se denominan coordenadas rectangulares o cartesianas.
Esta forma de asignar coordenadas a los puntos del plano no es la única (de hecho en muchas ocasiones ni siquiera es la más aconsejable). Vamos a ver otra manera de asignar coordenadas a los puntos del plano: las coordenadas polares
Coordenadas polares
A todo punto del plano cuyas coordenadas rectangulares son
podemos asignarle las siguientes coordenadas:
=distancia del origen de coordenadas
al punto
=ángulo desde el semieje positivo del eje
al segmento que une el origen de coordenadas con
Representado gráficamente sería así:
Teniendo en cuenta esta definición se tiene que y
(se puede definir también el ángulo en el intervalo
).
Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares con las polares son las siguientes:
Rectangulares en función de las polares
Polares en función de las rectagulares
Sobre la expresión del ángulo en función de las coordenadas rectangulares se debe realizar un apunte importante. La función da como resultado dos valores distintos, dos ángulos en cuadrantes opuestos (primero y tercero o segundo y cuarto). Por tanto hay veces en las que al calcular el ángulo puede que obtengamos un resultado incorrecto (puede que nos aparezca el ángulo del cuadrante incorrecto). La regla para el ángulo es la siguiente:
Calculamos el ángulo
(con la calculadora o con la ayuda del cuadro de las razones trigonométricas) y miramos los signos de las coordenadas
para ver en qué cuadrante está situado el punto
. Si el ángulo que hemos obtenido está en el mismo cuadrante que
el ángulo obtenido es el correcto. Si no es así sumamos o restamos
al ángulo que nos ha salido cuidando que el resultado de esa suma/resta quede dentro del intervalo
. Por ejemplo, si obtenemos el ángulo
(que está en el primer cuadrante) y vemos que nuestro punto está en el tercer cuadrante (coordenadas
negativas) sumamos
al ángulo obtenido, resultando entonces que el
buscado es
(si en vez de sumar restáramos nos saldríamos de
).
Aplicaciones
Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:
- Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable,
(en concreto
), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo
. Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.
- Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro
y radio
tiene a
como ecuación en coordenadas rectangulares y a
como ecuación en polares.
- Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares
es la representación gráfica del número complejo
(esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del
). Pasando a polares obtenemos el módulo (
) y el argumento (
) de
y con ello la forma polar de
:
Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces
-ésimas.
- Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma.
- Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad.
- Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior.
Un toque de humor
Las coordenadas polares también sirven para darle un toque de humor matemático a nuestra vida:
Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
«¿Qué es un oso polar?
Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.»
… U XD matemáticas a las matemáticas
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No sé si decir el plano complejo o las coordenadas polares en sí, pero sea como sea, una importante aplicación está en la electrotecnia (quizás sería la extensión natural al punto «Forma polar de un número complejo»).
Lo único que hacen diferente los ingenieros eléctricos es utilizar la «j» en lugar de la «i», ya que la tienen reservada para la intensidad.
El chiste es muy viejo 🙂 pero me ha vuelto a hacer reír.
Salud!
En primer lugar, enhorabuena por gaussianos. Me ha enganchado desde el primer momento. El mundo de la variable compleja es verdaderamente fascinante. Os recomiendo a todos el libro de la colección NIVOLA sobre EULER y en concreto el capítulo dedicado a cómo el maestro y sus antecesores se enfrentaron a esa cosa que les aparecía y desaparecía como era la raiz de menos uno. Hadamard sintetizó todo esto en una frase maravillosa: «el camino más corto entre dos verdades del mundo real pasa por el plano complejo». (más o menos, me importa más el sentido que la literalidad). Los que… Lee más »
Hola smart, muy interesante lo que comentas. Quería saber si puedes hacer algun aporte o dar tu opinión sobre el comentario publicado en Gaussianos el 15 de julio de 2008 a las 2:25 hs. (Ver también los 3 comentarios que le anteceden) Gracias.
Está el post «Graves confusiones sobre el número Pi».
smart, estás hablando de las transformadas de Fourier y Laplace, ¿no?
Hola Omar-p y gaussianos. Muchas gracias por vuestro interés, realmente me complace. No, no tiene que ver con la transformada de fourier o laplace. Estas se utilizan para la resolución de otro tipo de problemas y con ellas pasamos a otros dominios diferentes (en el caso de las de fourier pasaríamos al dominio de la frecuencia, otro tema que también es interesantísimo – ¿sabiais que la caracola de nuestro oido es una especie de analizador de espectro de fourier?). No, en este caso pasamos al dominio de la fase. Este es un tema que suele dar para un trimestre de… Lee más »
[…] vimos en el artículo sobre coordenadas polares todo número complejo puede representarse como el punto en el plano y a partir de dicha […]
[…] Coordenadas polares: otra forma de ver el plano complejo […]
Gracias smart…esta pagina me a ayudado a entender mejor el porque de estos numeros. Estoy en el cuarto año de una secundaria y en ella me estan enseñando electrotecnia..ufff.
no se le puede perder pisada porque sino te la llevas.
Está bueno que haya gente que escriba estos comentarios, sabiendo que lo unico que recibiran a cambio es el agradecimiento.
[…] Hemos dicho que vamos a utilizar cálculo integral de dos variables. Concretamente calcularemos una integral doble (en dos variables) y deduciremos de ese cálculo cuánto vale la integral buscada. Para el cálculo de dicha integral doble serán esenciales las coordenadas polares. […]
Qué propiedades se pueden estudiar para representar una curva en polares?
Conozco las simetrías: respecto el polo, respecto el eje polar y respecto angle=pi/2
Como sería el sistema para 3 ejes (x,y,z)?
[…] Coordenadas polares: otra forma de ver el plano complejo El teorema de la curva de Jordan Calendario Matemáticos Célebres Calcular las raíces n-ésimas de z […]
Hola!para empezar, comparto my opinion con la de smart…añadiendo que yo tan solo tengo 16 años…aunque no dejo de encontrar lugares como este que me ayudan a poner a prueba my ingenio…y lo agradezco.Para seguir, solo queria hacer una pregunta, y es que no consigo comprender porque se representan los numeros complejos en un sistema de ejes cartesinos como un vector y no como un punto.Agradeceria mucho ua respuesta, añado, que pueda entender cursando 1º de Bachillerato.Gracias!
[…] de todo número complejo se puede calcular su módulo, , y su argumento principal, (como vimos en este artículo), el logaritmo complejo se define de la siguiente […]
que tal, buenísimo el blog. Eh extraído muchos de sus aportes. Muy contento me siento que existan blog como estos, nos ayuda a compartir mucha información.
[…] Recordaremos cómo obtener la forma polar de los números complejos. Para ello hablaremos del argumento y del argumento principal. Esta forma de expresar los números complejos se basa en el uso de las conocidas coordenadas polares, de suma utilidad como podrán leer aquí. […]
yo tengo una duda sobre la forma correcta de aplicar los ángulos en un sistema cartesiano, es saber si estos siempre deben partir del eje X o también pueden partir del eje Y, esto porque casi todos los que he vista siempre se colocan del lado de X.
por otro lado, veo que los puntos cardinales se escriben al contrario de como deben leerse. ejemplo para decir 50° noroeste, lo han escrito O 50° N.
podría alguien explicármelo?
muchas gracias por su respuesta