Cuando hablamos de «números grandes», podemos encontrar entre nosotros ideas y percepciones distintas. ¿El número 1000 es un «número grande»? Pues depende de a quién le preguntes y también de con qué esté relacionado. Pero en esta entrada vamos a hablar de número objetivamente grandes, números que son grandes para cualquiera. Más concretamente, vamos a hablar de una curiosa forma de «escribir» números enormes con muy poquitos símbolos.

Seguro que los más viejos del lugar recuerda que en este blog ya hemos hablado de este tema. A comienzos del año 2010 presentamos la notación de Knuth, relacionada con el conocido como número de Graham. Simplificando mucho, esta notación representa ciertos exponentes con flechas, consiguiendo expresar números muy grandes con pocos números y pocas flechas. Os recomiendo que le echéis un vistazo a esos dos enlaces si queréis saber más sobre ella.

La notación que traemos hoy es capaz de representar números incluso mayores con muy pocos símbolos. Es conocida con el nombre de notación de Steinhaus-Moser, ya que en su creación están involucrados Hugo Steinhaus y Leo Moser; y también es conocida como notación poligonal, por estar relacionada con polígonos.

Veamos de qué va la cosa. Creo que está más o menos claro que, de entre las operaciones a las que estamos más habituados, es la potencia la que nos da números más grandes. Por ejemplo, 4^4 es mayor que 4+4 y 4 \cdot 4. Bien, pues por ahí va el tema. Vamos a definir «n en un triángulo» como n^n:

=n^n

Por ejemplo, «2 en un triángulo», que podríamos representar como T(2), es 2^2=4.

Ahora definimos «n en un cuadrado» como «n dentro de n triángulos anidados»:

=n dentro de n triángulos anidados

Siguiendo con el ejemplo anterior, «2 en un cuadrado», que vamos a escribir como C(2), sería «2 dentro de dos triángulos anidados». Lo calculamos:

C(2)=T(T(2))=T(2^2)=T(4)=4^4=256

¿Cuál vendría ahora? Exacto, el pentágono: definimos «n en un pentágono» como «n dentro de n cuadrados anidados»:

=n dentro de n cuadrados anidados

Calculemos ahora qué número sería «2 en un pentágono», que escribiremos como P(2). Para ello, evidentemente, necesitaremos las definiciones anteriores:

P(2)=C(C(2))=C(T(T(2)))=C(T(2^2))=C(T(4))=C(256)=\ldots

y esto es «256 metido en 256 triángulos» que habría que deshacer de uno en uno. El primer triángulo daría 256^{256}, que ya es un número enorme; al deshacer el segundo triángulo obtendríamos ese número elevado a sí mismo; y así sucesivamente…Vamos, una auténtica bestialidad de número.

Bien, pues así podríamos seguir con la notación poligonal:

  • «n en un hexágono» sería «n dentro de n pentágonos anidados».
  • «n en un heptágono» sería «n dentro de n hexágonos anidados».

Como podéis ver, con esta notación poligonal de Steinhaus-Moser podemos crear números bestialmente grandes con muy poquitos símbolos, dejando además a la notación de Knuth a la altura del betún.

Con esta notación también se puede definir el conocido como número de Moser. La cosa sería así:

– Llamamos mega al número que hemos intentado calcular antes, a «2 en un pentágono».
– Llamamos megágono al polígono regular (no es necesario que sea regular, pero siempre queda más bonito) que tiene mega lados (una barbaridad).
– Con esto, definimos el número de Moser como «2 en un megágono». Os podéis imaginar la tremenda magnitud del número de Moser…

…perdón, corrijo: no os podéis imaginar, ni de lejos, la magnitud del número de Moser. De verdad, ni de lejos. Es una barbaridad de número totalmente inimaginable para nuestra mente. Y, con todo y con eso, se sabe que el número de Moser es muchísimo menor que el número de Graham que citaba al principio de esta entrada. Pero muchísimo, muchísimo, muchísimo menor, una magnitud inimaginable de menor. Se me acaban las palabras para hablar de números de estas características.

¿Por qué hablo sobre esta notación ahora? Pues, en primer lugar, porque me parece muy curiosa, muy ingeniosa y muy original. Y, en segundo lugar, porque hace un par de días vi una charla de Eduardo Saenz de Cabezón dentro del Curso de Actualización en Matemáticas de la Universidad de La Rioja (en el que, por cierto, participé yo dando una charla hace unos años) en la que, entre otras cosas, habla sobre esta notación poligonal. Cierto es que yo ya la conocía antes de ver el vídeo, pero no es menos cierto que la tenía totalmente olvidada.

Por cierto, la conferencia es muy interesante. Habla sobre computabilidad, recursividad y sobre los busy beavers. Dura prácticamente una hora, pero os aseguro que el estilo de Eduardo hace que no se haga larga, que se pase en un suspiro. De verdad, muy recomendable. Aquí la tenéis:


Esta entrada participa en la Edición X.2 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.


Imagen principal tomada de aquí.

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