Sexto desafío de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro (GyG), de Gaussianos y Libros Guijarro. El de hoy lo propone Adolfo Quirós, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid, entre otras muchas cosas. El problema en cuestión se titula ¿Cuántos doses hay en el denominador? y su enunciado es el siguiente:

Vamos a considerar, para los números enteros n \ge 0, las denominadas \textit{potencias divididas de 2}, que se definen así:

2^{[n]}:=\cfrac{2^n}{n!}

Vamos a escribir estas potencias divididas como fracciones irreducibles, es decir:

2^{[0]}=1; \; 2^{[1]}=2; \; 2^{[2]}=2; \; 2^{[3]}=\cfrac{4}{3}; \; 2^{[4]}=\cfrac{2}{3}; \; 2^{[5]}=\cfrac{4}{15}; \; 2^{[6]}=\cfrac{4}{45} \dots.

El desafío consiste en demostrar que:

  1. existen infinitos n \ge 0 para los que 2^{[n]}:=\cfrac{2}{a}, con a impar.

    y que

  2. dado cualquier entero r \ge 0, existe un n \ge 0 tal que 2^{[n]}:=\cfrac{2^s}{a}, con s \ge r y a impar.

Como siempre se pide tanto la solución del problema como el razonamiento que ha llevado a la misma. Las respuestas deben enviarse antes de que termine el domingo 23 de septiembre de 2012 a la dirección de correo electrónico desafiosgyg (arroba) gmail (punto) com.

El premio para el ganador de este desafío será el libro El metro del mundo, de Denis Guedj. Os dejo la descripción que aparece en Libros Guijarro:

Hace unos pocos años Denis Guedj sorprendió al lector español con un libro excepcional; El teorema del loro, con un significativo subtítulo, Novela para aprender matemáticas. Ahora nos vuelve a sorprender con El metro del mundo, otro libro excelente. En los albores de la Revolución Francesa se inició una operación de capital importancia: la instauración del sistema métrico decimal. Ofrecido por la República Francesa «a todos los hombres y a todos los tiempos», el metro se ha convertido, a los dos siglos de su creación, en el señor de la medida del mundo. La universalidad del sistema métrico radica en su definición. La cuarta parte del meridiano terrestre, es decir, la propia Tierra, se toma como unidad real, en tanto que como unidad usual se toma su diezmillonésima parte: el metro. ¡Que ya no haya «dos pesos y dos medidas»!, pedía el pueblo en 1789. Yendo mucho más allá del deseo que expresaba esta petición, sabios y políticos crearon un sistema absolutamente inédito, que iba a cambiar la relación de los hombres con la medida del mundo. Unificación de los pesos y medidas mediante el metro. Unificación del espacio mediante los departamentos, unificación del tiempo con el calendario, unificación de la lengua. La Declaración de los derechos del hombre y del ciudadano había hecho a los hombres iguales ante la ley; el sistema métrico los hizo iguales ante la medida de las cosas. Igualdad política, igualdad metrológica. La epopeya de la medición narra el encuentro singular entre filosofía, política y ciencias. Siguiendo el viaje a través de la Revolución desde los cuadernos de agravios hasta el golpe de Estado del 18 Brumario, El metro del mundo reconstruye la aventura intelectual y humana que fue la medición del meridiano entre Dunkerque y Barcelona por los astrónomos Fierre Méchain y Jean-Baptiste Delambre . Si hay una «mundialización» conseguida, ésta es la que el metro ha realizado en nuestros días.

Que se os dé bien.


Recordad que en principio los comentarios están abiertos para que habléis sobre el problema y, si acaso, deis alguna ayuda, pero nada más. Por favor, no publiquéis la solución, dejad que la gente se divierta con el problema. Gracias.

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