Si estás pensando en poner un suelo nuevo o en cambiar los baldosines del baño (y también porque no todos los días se avanza en un tema que todo el mundo puede comprender y que mucha gente podría hasta atacar), puede que esta noticia te resulte interesante: se ha descubierto un nuevo pentágono que tesela el plano. Para que te quede claro qué tiene que ver esto con la estética de tu vivienda vamos a explicar un poco de qué va este nuevo descubrimiento.

Antes de nada, creo que es interesante comentar qué es eso de teselar:

Un polígono tesela el plano si podemos rellenar completamente el plano (es decir, sin que queden huecos) con copias de dicho polígono que no se superpongan entre sí.

Vais entendiendo por qué esto de teselar tiene que ver como vuestro suelo o vuestras paredes, ¿no? Bien, sigamos.

En lo que sigue, cuando hablemos de polígonos vamos a referirnos siempre a polígonos convexos, que es al tipo de polígonos al que pertenece el nuevo pentágono descubierto. Es interesante recordar que un polígono convexo es un polígono que cumple que cualquier segmento que una dos puntos de dicho polígono queda totalmente contenido dentro de él:

Comencemos desde el principio: ¿con qué polígonos podemos teselar el plano? Aunque en principio se podría pensar que son muchos, y de muchos tipos y características, una primera exploración quizás nos lleve a concluir que en realidad no son tantos.

Si nos ceñimos a polígonos regulares (es decir, a polígonos cuyos lados son iguales y cuyos ángulos interiores tienen la misma medida), sólo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular son capaces de teselar el plano. Ni el pentágono regular, ni el heptágono regular, ni ningún otro polígono regular puede aspirar a rellenar completamente el plano de la forma comentada. Es decir, en el caso de los polígonos regulares la cosa está completamente resuelta.

Ahora, ¿qué ocurre con los no regulares? Pues la cosa está así:

  • Todo triángulo tesela el plano, independientemente de la medida de sus lados y de sus ángulos.
  • Todo polígono de cuatro lados tesela el plano, sea cual sea también la medida de sus lados y de sus ángulos.
  • Los hexágonos que pueden teselar el plano están clasificados en tres clases, que son las siguientes:

    Dichas clases cumplen las siguientes condiciones:

    1. A+B+C=360^\circ y a=d.
    2. A+B+D=360^\circ y a=d,c=e.
    3. A=C=E=120^\circ y a=b,c=d,e=f.
  • Ningún polígono (recordad, convexo) de 7 o más lados puede teselar el plano.

¿Y qué ocurre con el pentágono? Pues muy sencillo: el caso del pentágono es el único que sigue abierto. Es decir, no hay una clasificación exhaustiva de los tipos de pentágonos que pueden teselar el plano.

Hasta hace nada se conocían 14 tipos de pentágonos con los que podíamos recubrir un plano de la manera descrita. Los primeros que se descubrieron datan de 1918, y su descubridor fue el matemático alemán Karl Reinhardt. Descubrió 5 clases de pentágonos que teselaban el plano, y durante un tiempo se creía que no había ninguno más…

…hasta que en 1968 R. B. Kershner encontró tres tipos más. El estudio de este tema debió continuar, porque en 1975 Richard James encontraba un nuevo tipo.

Y en este punto llega la parte curiosa del estudio de los pentágonos teseladores. Marjorie Rice, una ama de casa de unos 50 años que había leído sobre el tema en la columna de Martin Gardner en Scientific American, se interesó por el asunto y encontró cuatro tipos más, desarrollando su propio método y su propia notación. Y la cosa terminó en 1985, cuando Rolf Stein encontró el tipo de pentágono telesador número 14 (podéis ver las características de estos 14 tipos en este enlace).

Hasta hoy. La noticia es el descubrimiento de un nuevo pentágono, que no entraría en ninguno de los 14 tipos conocidos, con el que podemos teselar el plano. En concreto, éste es nuestro nuevo pentágono

con el que podríamos construir teselaciones tan bonitas como ésta:

Y los protagonistas de este descubrimiento son Casey Mann, Jennifer McLoud y David Von Derau, de la Universidad de Washington Bothell. Mediante una búsqueda por ordenador, han encontrado un nuevo pentágono teselador esencialmente distinto a todos los conocidos hasta ahora. Al parecer, todavía no hay publicación por su parte al respecto, pero seguro que pronto tendremos su trabajo publicado para poder echarle un vistazo.

Después de este hallazgo, la clasificación de los tipos de pentágonos teseladores quedaría así (el último encontrado es el de abajo a la derecha):

¿Y sabéis qué es lo más interesante de todo? Que el problema continúa abierto. Sí, se ha descubierto un pentágono nuevo con esas características, pero no se ha demostrado que no haya más. De hecho, las sospechas apuntan a que esta clasificación todavía está incompleta, a que hay más tipos de pentágonos esencialmente distintos a estos 15 que también pueden teselar el plano. Así que ya sabéis, a trabajar.


Fuentes y enlaces relacionados:


Por cierto, ya aprovecho para haceros una petición. Si alguien encuentra por ahí el siguiente paper de Béla Bollobás

  • Filling the plane with congruent convex hexagons without overlapping, Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Mathematica, 6 (1963), 117–123

le agradecería que dejara el link en un comentario o que me lo mande por mail. Muchas gracias.

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