Hoy os traigo un problema que me mandó Geromín hace un tiempo por mail (perdón por la espera). La cuestión es la siguiente:
Encontrar las soluciones de la ecuación diofántica
tal que dichas soluciones son los coeficientes
y
de la ecuación de segundo grado siguiente:
Concretamente queremos encontrar una forma de determinar qué soluciones de la ecuación diofántica provienen de las soluciones de una ecuación de segundo grado sin tener que ir probando una a una.
A ver quién puede echarle un cable.
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Ehm… pues no entiendo el enunciado.
«Encontrar valores para X e Y que sean coeficientes de un polinomio.»
¡¿cualesquiera no?!
Si no se pide nada al polinomio…
Es decir, ¿qué polinomio de todos éstos no vale? (y porqué)
Si X e Y han de ser los coeficientes del polinomio, digamos , , por las ecuaciones de Cardano, tenemos que las raíces del polinomio, y han de cumplir , . Volvemos a la ecuación diofántica y tenemos la ecuación , que despejando da . El caso no cumple la ecuación anterior, luego podemos dividir, y usando la división de polinomios, se obtiene . De aquí, ha de ser un divisor de 671, cuya descomposición en factores primos es . Por tanto, hay ocho posibilidades: , , y . Con estos valores ya se pueden calcular los valores asociados v,… Lee más »
u y v no tienen por qué ser enteros. b y c son los que deben ser enteros, las raices del polinomio podrían no serlo.
Si es
e 
enteros y cumpliendo la relación 
, los polinomios posibles son:
cuyas raíces son siempre
vaya, que esas son todas las raíces posibles, que son soluciones de ese polinomio con coeficientes enteros que cumplen la ecuación diofántica.
Si nos dan una de esas raíces, por ejemplo x=55 forzosamente b=60 es decir, se cumple la relación
Pero, puestos a sacar todas las soluciones (al estilo de lo que ha hecho @cullero), ¿no es mejor enumerar
directamente?.
Por ejemplo, si se quieren soluciones reales, tomar
y obtener 
.
No se, es que no entiendo qué hay que obtener exactamente… 🙁
Información Bitacoras.com…
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Aclaro algo que no había puesto: las soluciones del polinomio también deben ser enteras. El tema es encontrar un procedimiento para encontrar las soluciones de la ecuación diofántica que cumplan esa condición sin tener que ir probando una a una.
solo se requieren tres condiciones para dar solucion al problema planteado:
en la ecuacion cuaratica , que b sea par, que b cuadrada sea mayor que cuatro c ,
que tres veces b mas menos raiz cuadrada de b cuadrada menos cuatro c sea igual o menor a seiscientos treinta y cinco
U… @cullero lo ha clavado ¿no? (parece que esas son las únicas soluciones).
La solución general de la ecuación diofántica es
, 
, con 
.
Y para cada
, resulta que estos valores 
corresponden a las soluciones de la ecuación en 
(cuyo discriminante es
).
Es decir que todas las soluciones (enteras) de la ecuación diofántica se corresponden con las soluciones de una cierta ecuación cuadrática con coeficientes enteros.
No pretendo enmendarle la plana a Diamond, sólo explicar el problema con mayor extensión: Tengamos la ecuación diofántica 6A + B = 635 Despejando A: 635 – B A = ———— 6 Con lo que tendríamos: B 5 11 17 23 29 35 ….. —-¡——-¡——-¡———¡——-¡——-¡——–¡——- A 105 104 103 102 101 100 ……. a estos pares de soluciones de la diofántica le impongo la condición de ser Suma y Producto de dos enteros. De esta forma el par (5, 105) me dará lugar a X2 + 5X + 105 = 0 cuyas raices son imaginarias El par (11. 104) me… Lee más »
Perdon:
En las ecuaciones de segundo grado que propongo he puesto como signo de b más cuando debe ser menos. X2 – 5X + 105 = 0
Y así en todas ellas.
Disculpas….
A mi me sale que hay tantas posibilidades a explorar como divisores tiene 2·2·11·61 y ninguna más. A mi juicio eso resuelve el problema aunque no sé si es lo suficientmente sistemático como para ser aceptable (yo creo que no se puede sistematizar más). He encontrado que X = 660 cumple las condiciones del enunciado: es entero y puesto en esa ecuación de segundo grado como parámetro b y haciendo además que c = 635 – 6·X se producen soluciones enteras.
No costará mucho encontrar el resto si es que hay más, lo dejo para luego.
He encontrado sólo una más, X =60
Ugh?
@cullero ya sacó todas las soluciones (se pueden ver aquí).
«@cullero ya sacó todas las soluciones»
No lo había estudiado, parecía haber un problema. Yo he probado con otro procedimiento y, ahora que veo las soluciones, lo he acabado de completar: por una cuestión de signos hay que ir tanteando con el cuádruple de los casos que yo decía.
Les agradezco a todos el interés que han mostrado y demostrado en echarme una mano con este tema. Cullero ha estado brillantisimo al igual que los demás. Lo que yo realmente necesito es poder dirimir, a la vista de los dos primeros pares (S1,P1), si es posible al menos una solución al problema. La solución al problema es que algún par de los posibles que han van surgiendo sean enteros que convengan como Suma y Producto que den lugar a una ecuación de segundo grado con raices enteras. (S2,P2) = (S1+6 , P1-1) (S3,P3) = (S1+6*2 , P1-2) … ……… Lee más »
Les agradezco a todos el interés que han mostrado y demostrado en echarme una mano con este tema. Cullero ha estado brillantisimo al igual que los demás. Lo que yo realmente necesito es poder dirimir, a la vista de los dos primeros pares (S1,P1), si es posible al menos una solución al problema. La solución al problema es que algún par de los posibles que van surgiendo sean enteros que convengan como Suma y Producto que den lugar a una ecuación de segundo grado con raices enteras. (S2,P2) = (S1+6 , P1-1) (S3,P3) = (S1+6*2 , P1-2) … …… (Sn,Pn)… Lee más »
debo felicitarlos por las tantas cosas que se han dicho, como me encantan las matemàticas , aunque mas me interesa la geometrìa, sigan asì ojala este blog dure años, !siglos tal vez!