Ayer hablábamos sobre algunas fracciones continuas interesantes entre las cuales se encontraban varias relacionadas con \pi. Bien, pues hay otra más que también tiene una pinta tremendamente curiosa y que además ha aparecido hace relativamente poco. Es la siguiente:

\cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1/2+\cfrac{1}{1/3+\cfrac{1}{1/4+\cfrac{1}{1/5+\ddots}}}}}

esto es, todos los numeradores son 1 y en los denominadores aparecen sumando los términos de la serie armónica en orden creciente.

La demostración de este hecho se debe a Thomas J Pickett y Ann Coleman, se publicó en diciembre de 2008 en American Mathematical Monthly y utiliza, entre otras cosas, la siguiente fracción continua que Euler encontró

\cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1\cdot 2}{1+\cfrac{2\cdot 3}{1+\cfrac{3 \cdot 4}{1+\cfrac{4 \cdot 5}{1+\ddots}}}}}

y el siguiente producto infinito debido a Wallis:

\cfrac{\pi}{2}=\cfrac{2}{1} \cdot \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{4}{3} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{6}{5} \cdot \cfrac{6}{7} \cdot \dots

Otra fracción continua más para \pi que una tendencia bastante regular

…Un momento, ahora que digo regular…uhmmm…Si dijimos en el post de ayer que cuando todos los numeradores eran igual a 1 se llamaba regular a la fracción continua, entonces ésta también sería una fracción continua regular de \pi. Pero en el anterior post comentamos que la fracción continua regular era única. ¿Qué es lo que falla? Es fácil, pero bueno, al menos os tengo un mínimo rato entretenidos buscando el detalle.

Por cierto, gracias Juan Pablo por lo que tú ya sabes.

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