Ayer hablábamos sobre algunas fracciones continuas interesantes entre las cuales se encontraban varias relacionadas con 
esto es, todos los numeradores son 1 y en los denominadores aparecen sumando los términos de la serie armónica en orden creciente.
La demostración de este hecho se debe a Thomas J Pickett y Ann Coleman, se publicó en diciembre de 2008 en American Mathematical Monthly y utiliza, entre otras cosas, la siguiente fracción continua que Euler encontró
y el siguiente producto infinito debido a Wallis:
Otra fracción continua más para
…Un momento, ahora que digo regular…uhmmm…Si dijimos en el post de ayer que cuando todos los numeradores eran igual a 1 se llamaba regular a la fracción continua, entonces ésta también sería una fracción continua regular de
Por cierto, gracias Juan Pablo por lo que tú ya sabes.
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Valora en Bitacoras.com: Ayer hablábamos sobre algunas fracciones continuas interesantes entre las cuales se encontraban varias relacionadas con . Bien, pues hay otra más que también tiene una pinta tremendamente curiosa y que además ha aparecido……
Vemos que los numeradores de la fracción contínua que Euler encontró para Pi/2 equivalen a los términos de la sucesión formada por la unidad junto con los oblongos positivos. También son los denominadores en la expansión de (1-x) ln(1-x) para n>=1.
Obviamente que esta es la de pi/2 y la de ayer la de pi. La de pi de esta forma empieza por 2 y no es regular.
El error es que en este caso no son enteros positivos los denominadores, con lo cual no es una fracción continua regular.
Una duda: Por un lado, sabemos la imposibilidad de «alcanzar» una longitud irracional a partir de regla y compás (o equivalentemente usando únicamente funciones algebraicas) en un número finito de pasos. Por otro, existen muchas formas de aproximar números irracionales tanto como queramos usando únicamente funciones algebraicas (una de ellas son estas «locas» fracciones continuas, otras las típicas series para generar PI o las conocidas series de McClaurin). Sin embargo, no recuerdo haber visto ejemplos geométricos («sucesiones dibujadas» podríamos llamar) o, al menos, yo no los recuerdo como tales. ¿Sabéis de «sucesiones dibujadas»? Por ejemplo, debería ser posible construir un… Lee más »