El teorema de Van Aubel, un sorprendente resultado geométrico

Hace unas semanas, en una de mis múltiples incursiones por las entrañas del internet matemático, me topé con un resultado geométrico del que no había oído hablar. Dicho teorema respondía al nombre de teorema de Van Aubel y su enunciado es cuanto menos sorprendente. Ahí va:

Teorema de Van Aubel: Dado un cuadrilátero cualquiera en un plano, a partir de cada lado dibujamos un cuadrado apoyado en él. Entonces los segmentos que unen los centros de cuadrados situados en lados opuestos tienen la misma longitud y además son perpendiculares.

El hecho de que el cuadrilátero inicial no tenga ningún tipo de restricción es uno de los detalles que otorgan a este resultado la capacidad de dejar con la boca abierta a cualquiera que no lo conozca. Aquí tenéis una imagen para que podáis visualizarlo:

No me negareis que es ciertamente sorprendente, al menos en primera instancia, ¿verdad? Pero podemos ir más lejos…

…Repetimos: no hay ninguna restricción sobre el cuadrilátero inicial. Por ejemplo, podría ser no convexo y el teorema de Van Aubel seguiría cumpliéndose:

Y los lados podrían cortarse entre ellos y el teorema se seguiría cumpliendo:

¿Os suena este resultado? Seguro que muchos de vosotros le habréis encontrado parecido con el desafío que propuse para la serie de desafíos RSME-El País. Pues sí, claro que se parecen. De hecho encontrar este teorema de Van Aubel fue lo que me sugirió plantear este desafío. Por si alguien no se acuerda lo voy a recordar aquí:

Partiendo de un triángulo cualquiera de vértices ABC, tomamos dos de sus lados, AB y AC por ejemplo, y dibujamos cuadrados apoyados en ellos. Llamamos I y J a los centros de los dos cuadrados y H al punto medio del lado del triángulo donde no hemos apoyado ningún cuadrado (el BC en este caso).

El desafío de esta semana consiste en demostrar que los segmentos HI y HJ tienen la misma longitud y que además forman un ángulo de 90º. La situación inicial puede verse en esta figura:

En este enlace podéis ver un vídeo con la solución de desafío junto con algunos comentarios sobre las soluciones recibidas. Pero creo que puede ser interesante comentarla la solución presentada aquí. Vamos a ello:

Llamemos K al punto medio del lado AB y L al punto medio del lado AC, y dibujemos los triángulos HKJ y HLI. Representamos también el segmento KL en línea discontinua, como aparece en la Figura 1:

Como el segmento LH une los puntos medios de los lados AC y BC, entonces es paralelo al otro lado, el AB. Lo mismo ocurre con el segmento KL, que como une los puntos medios de los lados AB y AC será paralelo al otro lado, el BC. Esto nos dice que BHLK es un paralelogramo, por lo que, en particular, los segmentos KB y LH son iguales. Pero KB y JK también son iguales, por lo que obtenemos que JK=LH. El mismo razonamiento nos sirve para llegar a que ALHK es un paralelogramo, por lo que, en particular, los segmentos AL y KH son iguales. Pero AL y LI también lo son, por lo que ahora se obtiene que KH=LI.

Por otro lado, los triángulos KBH y LHC tienen sus lados iguales y paralelos, por lo que el ángulo BKH y el ángulo HLC son iguales.

Recapitulemos. Tenemos que los triángulo JKH y el HLI, pintados de rojo y verde respectivamente en la siguiente imagen (Figura 2)

tienen dos lados iguales (KJ=LH y KH=LI) y además también tienen igual el ángulo formado por esos lados (el ángulo JKH es 90º+BKH, y el HLI es 90º+HLC, que hemos visto antes que es igual a BKH). Con esto podemos concluir que ambos triángulos son iguales, y el hecho de que sean iguales nos asegura que los segmentos HI y HJ tienen la misma longitud.

Falta demostrar que estos dos segmentos forman un ángulo de 90º. Pero esto es sencillo: JK forma un ángulo de 90º con AK, que es paralelo a LH. Por tanto JK y LH forman un ángulo de 90º. Del mismo modo, LI forma un ángulo de 90º con AL, que es paralelo a KH. Por tanto LI y KH forman un ángulo de 90º. Como los triángulos son iguales, todo esto nos asegura que los segmentos HI y HJ forman un ángulo de 90º.

Aquí tenéis un applet de GeoGebra donde podéis ver que las longitudes son siempre iguales y que el ángulo es siempre 90º (podéis mover los puntos A, B y C):

¿Qué relación tiene esto con el teorema de Van Aubel? Pues muy sencillo: podemos usar el resultado que se pedía demostrar en el desafío para probar el teorema de Van Aubel. En este applet de GeoGebra, además de poder jugar con la forma del cuadrilátero y ver así que los dos segmentos tienen siempre la misma longitud, podéis ver una prueba de este teorema basada en la demostración del desafío seleccionando la casilla Demostración:

La demostración es muy parecida a la del propio desafío. La idea es dibujar una de las diagonales del cuadrilátero inicial, AC en este caso, y marcar su punto medio, Q. Entonces, a cada lado de esa diagonal podemos aplicar lo demostrado en el desafío 39, concluyendo así la demostración del teorema de Van Aubel.

Para terminar, quiero comentar que al parecer este resultado fue publicado por Van Aubel en 1878 en H. H. Van Aubel, Note concernant les centres des carrés construits sur les côtés d’un polygon quelconque, Nouv. Corresp. Math.,4(1878), 40-44. Por desgracia no he podido encontrar más información sobre él. Actualización: nuestro colaborador y comentarista fede nos ofrece información sobre Van Aubel en este comentario.

Fuentes y enlaces relacionados:

• My Favourite Math Party Trick en The Everything Seminar.
• Beautiful theorems of geometry as Van Aubel’s theorem (pdf) de Yutaka Nishiyama.

Este post es mi primera contribución con la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas cuya anfitriona es @EbeniTIC con su blog Que no te aburran las Mat@s.