El triángulo de Pascal y las ternas pitagóricas

El triángulo de Pascal es uno de esos objetos matemáticos que, cuanto más exprimes, más jugo te dan. Es el «aloe vera matemático»: cuanto más se estudia, más propiedades se le encuentran.

Por otro lado, las ternas pitagóricas son esos tripletes de números con un aura especial, con un aire casi místico, que posee todo triángulo rectángulo de lados enteros.

¿Habrá alguna intersección no vacía de cierto interés entre estos dos elementos? Lo analizamos a continuación.

Antes de nada, vamos a presentar los dos elementos que vamos a relacionar en esta entrada, por si hay alguien que no recuerda alguno de ellos. Por un lado, tenemos el triángulo de Pascal (también conocido como triángulo de Tartaglia), que es el triángulo numérico siguiente (es un triángulo infinito, pero aquí representamos hasta su novena fila):

La construcción de este triángulo es muy sencilla:

• Se comienza con un 1 en la primera fila.
• En la segunda, se colocan dos unos, dejando que el de la fila anterior quede en medio de ellos.
• Para la tercera, colocamos dos unos en los laterales y, en el hueco central que hay bajo los dos unos de arriba, escribimos su suma, esto es, 2.
• Las demás filas se construyen igual: dos unos en los laterales y, en cada hueco central bajo dos números de la anterior, colocamos la suma de dichos números.

Y por otro lado, tenemos las ternas pitagóricas, que son tripletes de números enteros positivos que cumplen el teorema de Pitágoras, es decir:

Tenéis más información sobre ellas en Cómo construir triángulos pitagóricos, en Generando ternas pitagóricas, en Una interesante relación entre los números de Fibonacci y las ternas pitagóricas y en unos cuantos artículos más de Gaussianos (podéis usar el buscador de la barra lateral para encontrarlos).

La cuestión concreta que planteamos en esta entrada, y que relaciona los dos elementos presentados, es la siguiente:

¿Hay alguna fila del triángulo de Pascal en el que tres números consecutivos de la misma formen una terna pitagórica?

Realicemos una inspección rápida de las filas del triángulo de Pascal que aparecen en la imagen anterior (a partir de la cuarta fila, ya que en las anteriores no tiene mucho sentido). Tenemos, por ejemplo, que \( 1^2+4^2 \) no es igual que \( 6^2 \), que \( 1^2+5^2 \) no es \( 10^2 \), que \( 6^2+15^2 \) no da lo mismo que \( 20^2 \)… Podéis comprobar todas las opciones que hay a la vista en la imagen y veréis que en ningún caso encontraréis una terna pitagórica con números consecutivos de la misma fila.

Quizás haya alguna en una fila posterior, ¿quién sabe? Os animo a que, antes de seguir leyendo, construyáis unas cuantas filas más del triángulo de Pascal y busquéis en ellas alguna terna pitagórica de números consecutivos.

SPOILER

No la vais a encontrar. Bueno, en realidad, no la vais a encontrar a menos que realicéis muchos cálculos, concretamente hasta la fila 63. En ella, encontramos los siguientes números consecutivos:

\[ (209769429934732479,279692573246309972,349615716557887465) \]

Se puede comprobar (con alguna calculadora potente, a ser posible) que:

\[ 209769429934732479^2+279692573246309972^2=349615716557887465^2 \]

En este punto, es interesante saber que, comenzando en \( n=0 \), cada número \( k \) de la fila \( n \) es igual al número combinatorio \( n \choose k \). Por ejemplo, los elementos de la fila correspondiente a \( n=3 \), que son
\[ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \]
son, exactamente, los valores de \( 3 \choose k \), para \( k \) de 0 a 3:
\[ {3 \choose 0}=1 \qquad {3 \choose 1}=3 \qquad {3 \choose 2}=3 \qquad {3 \choose 3}=1 \]

Escribiendo entonces la fila 63, que es la que corresponde a \( n=62 \), en forma de números combinatorios, ¿cuál sería el triplete de números que corresponde con la terna pitagórica anterior? Pues éste:
\[ \left ( {62 \choose 26},{62 \choose 27},{62 \choose 28} \right ) \]
Esto es, se cumple lo siguiente para dichos números:
\[ {62 \choose 26}^2+{62 \choose 27}^2={62 \choose 28}^2 \]
La pregunta que os estaréis haciendo ahora es bastante evidente: ¿hay alguna otra terna pitagórica de este tipo dentro del triángulo de Pascal? Y en ese caso, ¿en qué fila está situada?

Bien, pues os informo de que no sois los únicos que os habéis hecho esta pregunta. Por ejemplo, en MathOverflow se la hicieron hace poco más de un año. De ahí es de donde saqué la idea de escribir esta entrada, y fue también ahí donde encontré que Florian Luca también se lo había preguntado.

Lo más viejos del lugar puede que recuerden a Florian Luca como colaborador de nuestro admirado y recordado Javier Cilleruelo en el trabajo Todo entero positivo es suma de tres capicúas, un precioso resultado que, además, tiene demostración constructiva.

Bien, pues Florian Luca se debió hacer la pregunta de manera tan intensa que acabó demostrando el siguiente resultado:

¿Dos ternas? En realidad, sabiendo que \( {n \choose k}={n \choose {n-k}} \), ambas ternas son exactamente la misma.

Por tanto, lo que demostró Florian Luca es que solamente puede encontrarse una terna pitagórica formada por números consecutivos de la misma fila:
\[ {62 \choose 26}^2+{62 \choose 27}^2={62 \choose 28}^2 \]
Se puede acceder gratuitamente al trabajo de Luca en el siguiente enlace: Consecutive Binomial Coefficients in Pythagorean Triples and Squares in the Fibonacci Sequence. Su demostración no es especialmente complicada, pero hay que fijarse bien en los detalles para poder seguirla de manera adecuada. Merece la pena que le echéis un vistazo e intentéis seguir todos sus razonamientos.

Un precioso resultado que relaciona dos entes matemáticos míticos: el triángulo de Pascal y las ternas pitagóricas. Os animo a que, en los comentarios, nos habléis de otros resultados interesantes relacionados con ellos (o con cualquier otro objeto matemático de vuestro interés) que creáis que merecen la pena ser conocidos.