A menos de 24 horas del final de 2025, desde Gaussianos espero que hayáis tenido unas muy Felices Fiestas y que el 2026 que entrará muy pronto sea para vosotros un magnífico año. Si cada uno de nosotros nos lo proponemos y aportamos nuestro pequeño granito de arena, será mucho más probable que consigamos que los próximos 365 días sean inolvidables.
Como suelo hacer desde ya algunos años, hoy toca recopilación de curiosidades numéricas del número en cuestión. Posiblemente, muchas ya las habréis visto en redes sociales o en otros blogs, pero espero dejaros alguna desconocida para vosotros y que sea de vuestro interés.
Para empezar, la que da título a esta entrada (no, no era un error): 2026 es un número feliz. Los números felices son los enteros positivos que cumplen que la sucesiva suma de cuadrados de sus cifras acaba en 1 (secuencia A007770 en la OEIS). Lo vemos para 2026:
\[ \begin{matrix} 2^2+0^2+2^2+6^2=44 \\ 4^2+4^2=32 \\ 3^2+2^2=13 \\ 1^2+3^2=10 \\ 1^2+0^2=1 \end{matrix} \]
Aunque no son especialmente escaso, se tiene que el anterior Año Feliz que tuvimos fue 2019 (qué poético, ¿verdad?) y el siguiente será 2030, así que aprovechemos este 2026 y exprimámoslo todo lo que podamos.
Por otra parte, resulta que este 2026 NO es un número de Harshad, ya que no es divisible por la suma de sus cifras (2026 no es divisible entre 2+0+2+6=10). Veníamos de una racha de cuatro años seguimos que sí lo eran y 2026 la rompe. Por cierto, 2027 tampoco lo será y habrá que esperar a 2028 para que aparezca un nuevo número de este tipo. Tenéis más información sobre ellos en la secuencia A005349 en la OEIS.
Número par y compuesto, ya que
\[ 2026=2 \cdot 1013 \]
es un número deficiente, al ser la suma de sus divisores propios menor que el propio número:
\[ \mbox{Divisores de 2026: } 1,2,1013 \Longrightarrow 1+2+1013=1016 < 2026 \]
También es un número malvado (evil number), ya que su expansión binaria tiene un número par de unos:
\[ 2026=11111101010_{(2} \]
De nuevo (como ocurrió en 2024 y 2025), 2026 no es un número congruente (es decir, no es el área de ningún triángulo rectángulo de catetos racionales). De 2020 a 2023 lo fueron todos y en 2024 entramos en una serie de cinco que no lo son. El próximo número congruente que viviremos será 2029. Más información en la secuencia A003273 en la OEIS.
Por otro lado, 2026 vuelve a ser un número educado (como los dos anteriores), al poder expresarse como suma de dos o más enteros positivos consecutivos. Lo interesante de 2026 en este caso es que existe una única forma de expresarlo así, que es la siguiente:
\[ 2026=505+506+507+508 \]
Como ya comentamos el pasado año, los únicos números «no educados» son las potencias de 2, por lo que casi todos los enteros positivos son educados. Y esto es por lo siguiente:
El número de formas en las que un entero positivo \( N \) puede expresarse como suma de dos o más enteros positivos consecutivos coincide con el número de divisores impares mayores que 1 que tenga \( N \).
Sabiendo esto, es evidente que las potencias de 2 no puedan expresarse así (ya que no tienen ningún divisor impar mayor que 1) y también que 2026 sólo pueda expresarse así de una forma (ya que tiene un único divisor impar mayor que 1: 1013). Por cierto, el próximo año «no educado» no llegará entonces hasta \( 2048=2^{11} \). Será el único que tendremos oportunidad de vivir quienes hayamos nacido (o nazcan) antes de dicho año, porque no habrá más hasta \( 2^{12}=4096 \).
En lo relativo a su factorización, 2026 es semiprimo, al ser el producto de dos números primos. El anterior semiprimo que vivimos fue hace bien poco, el 2021. Se da la circunstancia de que 2026 es, además, uno menos de un número primo (ya que 2027 es primo). Por tanto, tenemos que 2026 es un semiprimo de la forma «primo-1», números que no son tan habituales (por ejemplo, el anterior de este tipo fue el 1906, y el siguiente será el 2038.
Relacionado con esto, otro dato curioso es que 2026 es un semiprimo que es igual a la suma del 215º primo (1319) y el 215º semiprimo (707). Estos números no son especialmente habituales, siendo el 2026 el único así en el siglo XXI. Tenéis más información sobre ellos en la secuencia A382264 de la OEIS.
Sobre potencias, el número 2026 también tiene algunas propiedades dignas de ser mencionadas:
Otra de las propiedades destacable (y, en este caso, bastante rara) de este número es que 2026 es un productor de primos de orden 4. Estos números cumplen la siguiente propiedad:
Para 2026, los números obtenidos son los siguientes:
\[ \begin{array}{l} 2026+1= 2027 \\ 2 \cdot 026+1=53 \\ 20 \cdot 26+1=521 \\ 202 \cdot 6+1=1213 \end{array} \]
siendo primos todos ellos.
Esta definición se puede extender a cualquier cantidad de cifras, y el número de k cifras será productor de primos si produce exactamente k primos. Esta propiedad es bastante rara: solamente hay 68 números productores de primos por debajo de 1000 y 208 por debajo de \( 5 \cdot 10^{14} \). Tenéis más información en la secuencia A089395 de la OEIS.
Otra de las propiedades más interesantes de 2026 tiene que ver con el conocido juego de las Torres de Hanoi. Bueno, en realidad con una modificación del mismo llamada Torres de Hanoi Magnéticas (Magnetic Tower of Hanoi (MToH)) que creo Uri Levy en 2009. En ella, las piezas son de dos colores y llevan un imán en cada uno de ellos, de manera que dos colores iguales se repelen. El objetivo es el mismo, llevar la torre de un poste a otro, pero los movimientos son un poco distintos, tanto por la restricción de que un color no puede caer encima del mismo color (se repelerían) como por la siguiente regla: cada pieza que movamos debe ser girada. Esto es, si la pieza era, por ejemplo, roja y negra y tenía el rojo en la parte superior, al moverla debe quedar el rojo en la parte inferior. Además, se puede jugar con colocar colores también en las bases de cada poste.
Tenéis más información sobre este juego en The Magnetic Tower of Hanoi y en Magnetic Towers of Hanoi and their Optimal Solutions, ambos en arXiv, así como en The Magnetic Tower of Hanoi (web del autor).
¿Y qué tiene que ver 2026 con este juego? Pues lo siguiente: 2026 es el mínimo número de movimientos necesarios para resolver el juego MToH para 8 piezas en el caso en el que hay libertad en las bases de los postes (se etiqueta este caso como [Neutro, Netro, Neutro]). De nuevo, tenéis más información en la secuencia A183118 en la OEIS.
Es habitual que relacione cada año con las ternas pitagóricas, y éste no va a ser una excepción:
Y vamos ahora con las dos últimas, dos que ya he publicado en redes sociales estos días y que me gustan especialmente. La primera de ellas es la siguiente:
\[ 2026=2^{11}-2 \cdot 11 \]
Esto no sería más que una mera anécdota si no estuviera relacionado con un objeto matemático realmente icónico: el triángulo de Pascal. En concreto, la relación es la siguiente:
Como decíamos, esto tiene que ver con que, como ya se sabe, la suma de todos los elementos de cada fila \( n \) del triángulo de Pascal es igual a \( 2^n \). Todo lo representé en la siguiente imagen:
Os dejo el enlace de Twitter y de Instagram, por si queréis verla en dichas redes.
Y la segunda tiene que ver con cuadrados mágicos. El año pasado ya relacioné 2025 con estos elementos, pero este año la relación es mucho más especial:
Dicho cuadrado mágico es el siguiente:
Pero este cuadrado mágico tiene mucho más escondido en él, ya que muchas agrupaciones simétricas de los elementos del cuadrado vuelven a sumar 2026. Aquí tenéis unas cuantas:
Hay muchas más que, seguro, podréis encontrar. Por cierto, estoy convencido de que a muchos de vosotros os ha recordado a otro cuadrado mágico muy famoso, ¿verdad? Y no me extraña, ya que, esencialmente, son el mismo. No me negaréis que es maravilloso.
Os dejo también los enlaces a las publicaciones de Twitter y de Instagram en las que hablé de él por si os apetece ayudar a difundirlas.
Y cuando se habla de cuadrados mágicos, no se puede dejar de citar la web de Inder J. Taneja. En este caso, nos deja esta entrada sobre 26 y 2026:
Espero que os haya gustado la recopilación de curiosidades numéricas del número 2026. Os invito, como siempre, a que nos contéis en los comentarios de esta entrada las que conozcáis y no aparezcan en esta lista.
Fuentes:
Curiosidades de otros años publicadas en el blog:
- Feliz Año (número de Ulam) 2012.
- Feliz Navidad y próspero Año Nuevo 2013.
- Feliz Navidad y Feliz Año (número práctico) 2016.
- ¡¡Feliz Navidad y Feliz Año Primo 2017!!.
- ¡¡Feliz Navidad y Feliz Año Autobiográfico 2020!!.
- ¡¡Felices Fiestas y Feliz Año Semiprimo 2021!!
- ¡¡Felices Fiestas y Feliz Año Esfénico 2022!!
- ¡¡Felices Fiestas y Feliz Año Harshad 2023!!
- ¡¡Felices Fiestas y Feliz Año Poliédrico 2024!!
- ¡¡Felices Fiestas y Feliz Año Cuadrado 2025!!
La bonita imagen que ilustra este artículo, inspirada en el estilo Escher, ha sido creada con Manus y expandida hacia los laterales con la herramienta Uncrop de Pixelcut.
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