El último teorema de Fermat

Pierre de Fermat, jurista francés del siglo XVII y apasionado de las Matemáticas, es conocido como el padre de la teoría de números. Sus contribuciones matemáticas se pueden encontrar en varios campos, como Estadística y Análisis, pero fue la teoría de números la rama que más le cautivó. Sus contribuciones abarcan los números perfectos, los números amigos, los números de Fermat (su gran batacazo), el pequeño teorema de Fermat (generalizado más tarde por Euler)…

Gran parte de culpa de este interés de Fermat por la teoría de números la tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría que llegó a sus manos. A través de ese libro Fermat comenzó a estudiar propiedades de los números, y en este libro nos dejó su afirmación más enigmática y a la vez la que más quebraderos de cabeza ha provocado en toda la comunidad matemática desde su época hasta nuestros días. Por ser la afirmación de Fermat que más se ha tardado en demostrar se denomina último teorema de Fermat.

Concretando: al ver un apartado en el que se hablaba del teorema de Pitágoras escribió Fermat lo siguiente:

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla

Es decir, Fermat afirmó que mientras que la ecuación sí tienes soluciones enteras positivas, para más grande no existen tres enteros positivos tal que

Esto es, esa ecuación no tiene soluciones enteras positivas si n > 2. Y nos dice que tiene una demostración maravillosa para este hecho…¡¡pero que no le cabe en el margen del libro!! ¡¡Por dios!! ¡¡Qué maldita manía la del amigo Pierre de no publicar casi ninguno de los resultados a los que llegaba!! Y aún así: ¿no tenía un papel a mano en el que escribirla, aunque sólo fuera para su propio disfrute personal?.

Bueno, tranquilicémonos. Si a mediados del siglo XVII Fermat tenía una demostración de este resultado, y teniendo en cuenta los genios de las Matemáticas que aparecieron después (Euler, Cauchy, Gauss, Lagrange…) no debería ser demasiado complicado encontrarla…¿o sí?. Pues sí. Nada menos que 350 años tuvieron que pasar hasta que Andrew Wiles consiguiera demostrar este resultado deduciéndolo como corolario de otro resultado mucho más complicado (conjetura de Shimura-Taniyama-Weil) y que, en principio, no tenía nada que ver con el resultado propuesto por Fermat. Teniendo en cuenta que Fermat no disponía de todas las herramientas que usó Wiles, que la demostración ocupa más de 100 páginas y que en 350 años ningún matemático fue capaz ni tan siquiera de acercarse a una demostración del caso general del problema (sólo se consiguió demostrar casos particulares del mismo) lo más lógico es pensar que aunque Fermat pensaba que poseía esa demostración maravillosa en realidad estaba equivocado, ya que cuesta entender que en tanto tiempo y con tantos matemáticos brillantes dedicados en mayor o menor medida al tema ninguno llegara a la demostración de este hecho.

Y claro, 350 años dan para mucho. Muchas anécdotas e historias en torno a esta afirmación: miles (sí, miles) de demostraciones falsas propuestas para su estudio, piques entre matemáticos para ver quién llegaba antes a la prueba definitiva, desesperación de genios como Euler o la participación de una de las (por desgracia) pocas mujeres con contribuciones importantes en Matemáticas a lo largo de la historia. Su nombre era Sophie Germain, y para evitar que los matemáticos varones de la época la ignoraran tuvo que adoptar un seudónimo: monsieur Leblanc.

Pero bueno, al fin en 1993 Andrew Wiles presenta su demostración del teorema y se acaba la historia, final feliz y todos contentos…pues no. Parece que este resultado perseguía de una u otra forma a quien intentaba abordarlo. Wiles presenta su demostración en edad para recibir la medalla Fields (sólo se entrega a matemáticos hasta 40 años). Pero en el correspondiente período de revisión se encuentra un error que Wiles, junto a Richard Taylor, tarda en resolver cerca de 2 años…pasando en ese tiempo la edad máxima para recibir el premio. Aún encontrando la demostración la maldición del último teorema de Fermat continuaba de cierta manera, aunque más tarde se reconoció la labor de Wiles con el premio Wolfskehl, consistente en una cantidad en metálico dejada por el matemático del mismo nombre en su testamento y la evidente admiración de toda la comunidad matemática.

Por cierto, fue tal la trascendencia de la demostración que el señor Wiles apareció en portada del New York Times por este hecho. Encontrar la demostración de un resultado que ha permanecido abierto durante 350 años no se consigue todos los días.

Seguiremos hablando del (para mí) genio Pierre de Fermat en próximos posts.