Pierre de Fermat, jurista francés del siglo XVII y apasionado de las Matemáticas, es conocido como el padre de la teoría de números. Sus contribuciones matemáticas se pueden encontrar en varios campos, como Estadística y Análisis, pero fue la teoría de números la rama que más le cautivó. Sus contribuciones abarcan los números perfectos, los números amigos, los números de Fermat (su gran batacazo), el pequeño teorema de Fermat (generalizado más tarde por Euler)…
Gran parte de culpa de este interés de Fermat por la teoría de números la tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría que llegó a sus manos. A través de ese libro Fermat comenzó a estudiar propiedades de los números, y en este libro nos dejó su afirmación más enigmática y a la vez la que más quebraderos de cabeza ha provocado en toda la comunidad matemática desde su época hasta nuestros días. Por ser la afirmación de Fermat que más se ha tardado en demostrar se denomina último teorema de Fermat.
Concretando: al ver un apartado en el que se hablaba del teorema de Pitágoras escribió Fermat lo siguiente:
Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla
Es decir, Fermat afirmó que mientras que la ecuación sí tienes soluciones enteras positivas, para
más grande no existen tres enteros positivos
tal que
Esto es, esa ecuación no tiene soluciones enteras positivas si n > 2. Y nos dice que tiene una demostración maravillosa para este hecho…¡¡pero que no le cabe en el margen del libro!! ¡¡Por dios!! ¡¡Qué maldita manía la del amigo Pierre de no publicar casi ninguno de los resultados a los que llegaba!! Y aún así: ¿no tenía un papel a mano en el que escribirla, aunque sólo fuera para su propio disfrute personal?.
Bueno, tranquilicémonos. Si a mediados del siglo XVII Fermat tenía una demostración de este resultado, y teniendo en cuenta los genios de las Matemáticas que aparecieron después (Euler, Cauchy, Gauss, Lagrange…) no debería ser demasiado complicado encontrarla…¿o sí?. Pues sí. Nada menos que 350 años tuvieron que pasar hasta que Andrew Wiles consiguiera demostrar este resultado deduciéndolo como corolario de otro resultado mucho más complicado (conjetura de Shimura-Taniyama-Weil) y que, en principio, no tenía nada que ver con el resultado propuesto por Fermat. Teniendo en cuenta que Fermat no disponía de todas las herramientas que usó Wiles, que la demostración ocupa más de 100 páginas y que en 350 años ningún matemático fue capaz ni tan siquiera de acercarse a una demostración del caso general del problema (sólo se consiguió demostrar casos particulares del mismo) lo más lógico es pensar que aunque Fermat pensaba que poseía esa demostración maravillosa en realidad estaba equivocado, ya que cuesta entender que en tanto tiempo y con tantos matemáticos brillantes dedicados en mayor o menor medida al tema ninguno llegara a la demostración de este hecho.
Y claro, 350 años dan para mucho. Muchas anécdotas e historias en torno a esta afirmación: miles (sí, miles) de demostraciones falsas propuestas para su estudio, piques entre matemáticos para ver quién llegaba antes a la prueba definitiva, desesperación de genios como Euler o la participación de una de las (por desgracia) pocas mujeres con contribuciones importantes en Matemáticas a lo largo de la historia. Su nombre era Sophie Germain, y para evitar que los matemáticos varones de la época la ignoraran tuvo que adoptar un seudónimo: monsieur Leblanc.
Pero bueno, al fin en 1993 Andrew Wiles presenta su demostración del teorema y se acaba la historia, final feliz y todos contentos…pues no. Parece que este resultado perseguía de una u otra forma a quien intentaba abordarlo. Wiles presenta su demostración en edad para recibir la medalla Fields (sólo se entrega a matemáticos hasta 40 años). Pero en el correspondiente período de revisión se encuentra un error que Wiles, junto a Richard Taylor, tarda en resolver cerca de 2 años…pasando en ese tiempo la edad máxima para recibir el premio. Aún encontrando la demostración la maldición del último teorema de Fermat continuaba de cierta manera, aunque más tarde se reconoció la labor de Wiles con el premio Wolfskehl, consistente en una cantidad en metálico dejada por el matemático del mismo nombre en su testamento y la evidente admiración de toda la comunidad matemática.
Por cierto, fue tal la trascendencia de la demostración que el señor Wiles apareció en portada del New York Times por este hecho. Encontrar la demostración de un resultado que ha permanecido abierto durante 350 años no se consigue todos los días.
Seguiremos hablando del (para mí) genio Pierre de Fermat en próximos posts.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Maravilloso y recomendable libro de Simon Singh al respecto: “El Enigma de Fermat”. Seguro que lo conocéis.
El autor hace buena labor divulgativa y creo que está más especializado en Criptografía.
Enhorabuena por el blog. Siempre lleno de retos.
TENGO UNA INTERPRETACION PITAGORICA DEL U.T.F. EN LA CUAL ARMONIZO AMBOS TEOREMAS.
LES AGRADEZCO SUS COMENTARIOS.
http://www.raul-sierra.com.ve
SALUDOS CORDIALES.
¡Anda! Eso no lo sabía yo. Que calladito te lo tenías
.
Da alguna pista anda. Y, evidentemente, avísame por mail cuando esté listo.
Saludos y suerte
.
No te preocupes neok, si hay que esperar se espera, yo también estoy experimentando con blogsome y he tenido algunos problemillas, pero de momento todo va bien.
Voy puliendo un blog, espero tenerlo pronto listo.
Saludines
Es que el maldito control anti-spam que tienen en blogsome es penoso, y salta mucho.
Intentad no repetir comentarios cuando no os deje y esperar un poco, lo siento pero es la única opción.
Ya, luego iba a poner los enlaces, pero me saltaba que no podía postear. Lo intenté un buen rato y luego desistí.
Sabía que lo ibas a arreglar
, así que estaba todo controlado
. Voy a tener que aprender html no vale con eso de ver el código fuente y copiar y pegar
.
Gracias y saludos
Esto….o te has olvidado de algo o no he entendido el comentario: ¿dónde dices que has visto esa demostración?. No das ningún enlace cachondo
.
Edito: Vale, ya sé cuál era el problema. No estaba bien puesto el html y por eso no salían los enlaces. Ya te lo he editado. Un día de estos que hablemos te comento cómo tienes que poner los enlaces para que salgan bien.
Saludos
Por cierto, he visto en Ciencia.cl una interesante demostración (aunque no soy matemático, pero el que lo sea que dé su opinión).
En el mismo artículo, hay una que también sería interesante saber vuestra opinión.
¡Saludos!
Pues la verdad es que yo lo conocía (alguna vez lo había visto en la carrera o me habían hablado de este maravilloso Teorema).
Sería un putadón poner la demostración como único ejercicio en un examen. Son muchas páginas creo yo
A mí Fermat me empezó a sonar por el Ascendancy, videojuego de hace unos cuantos años que contaba con un arma llamada “lente de Fermat”.
Sobre el teorema, Fermat probablemente tuviera un flashazo de la demostración… inspiración divina le llaman
Yo no conocía el nombre de este teorema hasta hace poco, o se me había olvidado, pero lo que más me gusta es la afirmación chulesca de una persona que sabe una demostración y fanfarronea un poco diciendo que no le cabe, eso es de elogio, fuera cierto o falso, jejeje
No creo que fuera un farol. Pienso como tú, que efectivamente Fermat creía tener esa maravillosa demostración pero o estaba equivocado y no se dio cuenta o se dio cuenta pero no quiso decirlo.
Por cierto, muy ocurrente la leyenda urbana esa
.
¿El mayor farol de la historia de las matemáticas?
🙂
Yo también creo que el creía tener una demostración válida pero que se equivocó.
Cuenta la leyenda que algún valiente alumno de mi facultad alguna vez ha puesto aquello de “tengo una solución maravillosa para este problema pero el margen de este exámen es demasiado angosto como para contenerla. (Aunque tiene pinta de ser una leyenda urbana)
[…] Bah, algo sin demasiada importancia. Una igualdad como otra cualquiera que digo yo que será cierta…¿Seguro?. Comprobémoslo. Por ejemplo, vayámonos a Wiris y hagamos la raíz de índice 12 de 178212 + 184112. ¿Cuál es el resultado?. Pues sí, 1922. Esto, evidentemente, demuestra que la igualdad es cierta…¿Seguro?. Pues no, esa igualdad no es cierta (hay una forma de demostrarlo en solamente un reglón y sin necesidad de realizar ningún cálculo…¿se le ocurre a alguien?). Y no es cierta por lo siguiente: el último teorema de Fermat fue demostrado en ese mismo año, 1995, y como ya vimos en… Lee más »
[…] 1 en El último teorema de Fermat […]
[…] 2 en El último teorema de Fermat […]
[…] 3 en El último teorema de Fermat […]
[…] 1.- Ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado. 2.- Todo número primo de la forma 4n + 1 se puede poner como suma de dos cuadrados de una y sólo una forma. 3.- El caso n = 4 del último teorema de Fermat. […]
[…] Es una historia de leyenda, algo soñado por, probablemente, todos los estudiantes de alguna carrera de ciencias. ¿Quién no ha deseado alguna vez resolver un problema que no tenía solución hasta ese momento?. Grandes genios como Andrew Wiles con el último teorema de Fermat o Grigori Perelman con la conjetura de Poincaré lo consiguieron. Pero la historia que os he planteado tiene un matiz que la hace distinta a estos dos casos: vosotros ni siquiera sabíais de antemano que esas ecuaciones no tenían solución. Matiz que le da más importancia si cabe al asunto. […]
[…] Ya vimos en este post sobre el último teorema de Fermat que para n mayor que 2 la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas. Pero sabemos que para el caso n = 2 sí que las hay, de hecho hay infinitas. La proposición del libro Arithmetica de Diofanto que inspiró esta afirmación de Fermat fue precisamente esta, considerada como uno de los problemas más antiguos de las matemáticas Escribir un cuadrado como suma de dos cuadrados […]
[…] La entrada de estos objetos en Europa se sitúa sobre el siglo XIV. Sus curiosas e interesnates características atrajeron la atención de muchos matemáticos importantes como , Pascal, Leibnitz, Euler… […]
Mi profesora de matematicas esta loca!
ingreso a 3er año del polimodal, y cierta vez en un trabajo practico hace unos meses, coloco un ejercicio:
2^4+3^4=x^4
obviamente nadie en el curso pudo resolver este problema, ni siquiera yo a pesar de las expectativas de mis compañeros a los que siempre les pase las respuestas :), cuando pedimos a la profe la respuesta solo dijo que se equivoco, el ejercicio debia ser
2^2+3^2=x^2
te parece que el resultado es entero? es x^2 = 13, luego x no es entero?
Habría estado bien que lo hubieras resuelto jajajaja
A ver si eres ciiirdo 😛
Ese resultado no es entero [E]
El resultado de la 2da = 32 y el de la primera simplificando queda con:
(2^7)^4=x^2
128^4=x^2
ahora calculamos 128^4=268.435.456
128×128
01024
02560
+12800
16384 ahora para ahorrar tiempo
elevamos 16384 al cuadrado, y nos da
268.435.456 luego le sacamos raiz,
Es muy facil 16384 es el resultado ya que la raiz de a^4 = a^2 porque la raiz de «a^4» es cuadrada y por lo tanto raiz de a^4 = a^4/2 = a^2 ,es muy simple jeje yo hize todo eso para demostrar que estaba bien.
Salu2
Perdon por mi primera estupida respuesta pero no9 lo entendi hata 15 minutos despues
hahahaha tiene q ser mayor q 2 no mayo e igual ajajajjaa
aweonao!!
YA HIJOS MIOS ACA LES TENGO LA SOLUCION Y SON 2 MAS ENCIMA
1782^12 + 1841^12 = 1922^12
3987^12 + 4365^12 = 4472^12
CUALQUIER COSA LE DICEN A PAPA LO RESOLVI HACE VARIOS AÑOS PERO NADIE ME CREIA
CUIDENSE
ADIOS!!
Cristian son diferentes los primeros 10 digitos mas significativos coinciden , pero los restantes nop.
Seguramente lo intentaste en una calculadora antigua , pero necesitas ver todos los digitos (mas de 42 digitos).
Respecto al ultimo comentario de CHRISTIAN FREIRE Efectivamente al hacer con la calculadora 1782^12 + 1841^12 por un lado y 1922^12 por otro sale el mismo resultado pero eso no quiene decir que sean iguales, pues solo aparecen las 11 primeras cifras de su escritura decimal; ahora bien, si escribimos 1922^12 – (1782^12 + 1841^12 ) sale como resultado 7E29 lo que indica que no son iguales, y , probando con la calculadora de windows ( que opera con mas cifras a la vez ) dice que esa diferencia vale 700212234530608691501223040959 ; por lo tanto, 1782^12+1841^12 y 1922^12 son diferentes… Lee más »
mas claro aun; en el primer caso, 1782^12 es par porque 1872 es par; 1841^12 es impar porque 1841 es impar; asi pues, la suma de estos 2 numeros esforzosamente un numero impar; ahora bien, 1922^12 es par, por lo que no puede ser igual a 1782^12+1841^12. En el 2º caso un razonamiento parecido no puede utilizarse porque da la casualidad quela ultima cifra de )3987^12 + 4365^12)y de 4472^12 es la misma; [ en efecto, 3987 es congru a 7 modulo 10; por lo que 3987^12 es congru a 7^12 modulo 10, y sabemos que 7^2 es congru a… Lee más »
era para burlarme eso salio en 2 capitulos de los simpsons ANDREW WILES demostro que nos posible…son como 200 paginas y lo hizo el año 1995 busca en el gogle esos numeros y saldra en los simpsons
un saludo
No hace falta Google, en este mismo blog lo podéis encontrar:
El último teorema de Fermat y los Simpsons
En internet están incluso los programas con los que David los obtuvo
http://www.mathsci.appstate.edu/~sjg/futurama/nearmiss.html
[…] británico Sir Andrew Wiles es el siguiente en la lista. Su gran mérito, la resolución del Último Teorema de Fermat, uno de los problemas matemáticos más difíciles, en 1995. La primera -y única- mujer es Judit […]
[…] último teorema de Fermat (UTF) dice lo […]
[…] Per a més informació:- Gaussianos […]
[…] Per a més informació: – Gaussianos […]
[…] els grans problemes de les matemàtiques, entre ells alguns dels Problemes del Mil·leni i el darrer teorema de Fermat. El seu mètode va aportar principis matemàtics generals que van permetre enfocar millor, i sovint […]
[…] de la geometría analítica, etc. Pero la mayoría de nosotros lo conocemos por el denominado último Teorema de Fermat y la historia que le […]
Parece ser un contraejemplo el siguiente:
1782^12 + 1841^12 = 1922^12
escribiendo en la calculadora científica, lo siguiente:
( 1782^12 + 1841^12 ) ^(1/12) = obtenemos 1922
Pero sabemos que es falso, ya que par + impar = impar
y en la igualdad se lee que par + impar = par
Saludos
me gusta
Que el amigo Pierre pudo estar equivocado cuando dijo «tener una demostración maravillosa» es posible, no sólo para él sino para cualquiera. Y es una explicación simple. Sin embargo, no es la única plausible. Muchos de «los grandes» pertenecieron a alguna sociedad secreta o tuvieron inclinación hacia los temas del ocultismo. Descartes, por ejemplo, fue rosacruz; Newton fue alquimista; hay una lista extensa aunque incompleta (dadas las persecuciones) de personalidades que abrazaron disciplinas ajenas a la ciencia racional aceptada. En las sociedades secretas iniciáticas se comparten ritos secretos iniciáticos y doctrinas secretas. Estas últimas son conocimientos que no se divulgan… Lee más »
observad mi facebook y encontrareis la verdadera solucion la que fermat afirmaba tener
[…] 2016 por la Norwegian Academy of Science and Letters “por su impresionante demostración del último teorema de Fermat mediante la conjetura de modularidad de curvas elípticas semiestables, iniciando una nueva era en […]
[…] Abel 2016 por la Norwegian Academy of Science and Letters “por su impresionante demostración del último teorema de Fermat mediante la conjetura de modularidad de curvas elípticas semiestables, iniciando una nueva era en […]
[…] Abel 2016 por la Norwegian Academy of Science and Letters “por su impresionante demostración del último teorema de Fermat mediante la conjetura de modularidad de curvas elípticas semiestables, iniciando una nueva era en […]
Profe: referente al ultimo teorema de Fermat, estuve checando unos detalles dados con las termas pitagóricas que se expresan sobre los resultados dados para números enteros y en el caso de los números decimales.( es decir, los números irracionales), dado que se expresa en una imagen dada por los triángulos escalenos, en el cual expresa de que entre las partes intermedias dadas en la hipotenusa, se expresan los números irracionales, y llegando hasta la parte mas cercana a uno de los catetos..tiende a presentarse los números enteros, esto logre en parte comprender de como se relaciona dicho teorema…..hasta el momento… Lee más »
En vez de X, Y, Z, utilizaré A, B y C. Procedamos para n =3. Supongamos que siendo A, B y C enteros positivos, A³ + B³ = C³. Al despejar C, tenemos: C = ∛ A³ + B³ C = A∛1 + (B/A)³. …………………..(*) Se presentan tres casos: 1. Que (B/A) sea igual a un número natural M 2. Que (B/A) sea un racional no periódico, es decir con desarrollo decimal finito. y 3. Que (B/A) sea un racional periódico, es decir con desarrollo decimal infinito. a)Si (B/A) es igual a un natural M, tenemos que C = A∛1… Lee más »
El símbolo de raíz siempre sale acortado. Esto puede ser una fuente de confusión cuando en el inciso b) quedó escrito que C = (A/10^L)∛(10^3L) + (d1d2d3…dL)³. Mas claro, tal vez hubiese sido escribir:
C = (A/10^L)((10^3L) + (d1d2d3…dL)³))^(1/3).
Y en el último párrafo, hubiese sido mejor escribir:
Por tanto, C = (A/10^L)((10^3L) + (d1d2d3…dL)³)^(1/3) = (A³ + B³))^(1/3), es un irracional.
c) Si (B/A) es un racional periódico, es decir con desarrollo decimal infinito, tenemos lo siguiente. Se definen las siguientes expresiones: A = ∛1+(0,d1d2d3dL…)³, donde lo que está entre paréntesis es un racional con desarrollo decimal infinito y d1d2d3dL es el período que contiene L dígitos, dL ≠ 0. B = ∛1+(0,d1d2d3dLd1d2d3dL…d1d2d3dL)³, donde lo que está entre paréntesis es un racional con desarrollo decimal finito que contiene M veces el período d1d2d3dL, M ≥ 1. Se define, además, la diferencia D. D = A – B, de modo que D + B = A. Se definen los conjuntos infinitos D(M)… Lee más »
Con el mismo método utilizado para n = 3, se pueden demostrar los casos en los que n = 4, n = 5, y para todo n primo mayor que 5. Con lo cual quedaría demostrado para todo n ≥ 3.
Cuando (B/A) es un racional no entero, con período, lo que se plantea es la existencia de 2 conjuntos infinitos cuyos elementos correspondientes son tales que su suma siempre es igual a (∛(0, d1d2d3dL…)³+ 1), donde 0, d1d2d3dL… es el racional no entero con desarrollo decimal infinito y cuyo período es d1d2d3dL. Uno de los conjuntos lo hemos llamado B(M) y el otro D(M). Se define B = ∛1+(0,d1d2d3dLd1d2d3dL…d1d2d3dL)³, donde en la base del radicando aparece M veces el período d1d2d3dL. Entonces, los elementos del conjunto B(M), son los diferentes valores de B que se forman cuando M=1, 2, 3,… Lee más »
Podemos acercar tanto como querramos a un irracional a la expresión (∛(0, d1d2d3dL…)³+ 1). En esa idea se basa la demostración.
En otras palabras, si (B/A) es un racional no entero con período, podemos acercar tanto como deseemos a un irracional, a la expresión ∛1 + (B/A)³. En esa idea se basa la demostración.
Alba, la demostración del UTF está en la pàgina 13 de «El Libro De Los Números Cuadrados» de Leonardo de Pisa traducido por Paul Ver Eecke. Dicho sea de paso, era obvio que la respuesta debía estar en la obra de quién había escrito «todo» sobre los números cuadrados y que son el nudo de la cuestión. Luego, el descenso infinito descubierto por Fermat es la tabla de potencias. Si preparas una, verás cómo los números «descienden» desde el infinito a medida que aumentas de exponente. El gran matemático y estudioso del trabajo de Fermat -Edouard Lucas, también Francés- nos… Lee más »
Juan Manuel, mi intento es una ocurrencia propia. Y solo lo hago para convencerme de que sí es posible una demostración mucho mas sencilla que las que he visto hasta ahora. En todo caso, gracias.
ALBA
Con el galimatìas del profesor Wiles ya es suficiente, no hace falta que agregues otro.
Lo que Fermat descubrió es el Teorema Fundamental de la Aritmética.
La suma de dos números es igual a la raíz de su cuadrado.
Es decir, a+b es igual a la raíz de c2. ¿se entiende?. Y su explicación se encuentra al derivar el 5to caso de factoreo.
Siempre estuvo frente a nuestras narices, por eso le resultó maravilloso.
Sds.