Prácticamente, toda persona que haya estado relacionada con las matemáticas en los primeros cursos universitarios se ha encontrado alguna vez con el siguiente resultado: la serie armónica es divergente. Los lectores más o menos habituales de este blog lo saben con total seguridad, teniendo en cuenta que hemos hablado de ello en alguna ocasión.

Hoy vamos a hablar sobre algunas modificaciones más o menos curiosas de dicha serie armónica y de qué ocurre con ellas en lo relativo a su convergencia, siendo las protagonistas del artículo las que podríamos denominar series de Kempner.

Para los que no sepan o no se acuerden de todo esto de la serie armónica, ahí va un breve recordatorio:

Se denomina serie armónica a la siguiente serie numérica:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ \dots}

se sabe que dicha serie es divergente, lo que, informalmente hablando, vendría a significar que la suma de los inversos de los enteros positivos es infinita.

Lo que queremos analizar en esta entrada es qué ocurre con la serie resultante de eliminar «algunos» términos de la serie armónica. Ese «algunos» debe ser, en realidad, «infinitos», ya que si le quitamos un número finito de términos nos seguiría quedando una serie divergente (una suma infinita).

Lo que vamos a hacer para comenzar es quitar unos términos muy concretos y muy particulares: quitamos todos los términos que contienen el dígito 9 en el denominador. Es decir, vamos a tomar la serie siguiente:

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\dots+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{11}+\dots\cfrac{1}{18}+\cfrac{1}{20}+\dots

¿Sabemos cómo será dicha serie? ¿Convergente? ¿Divergente? Pensadlo antes de seguir leyendo…

…bueno, pues resulta que (quizás, sorprendentemente) la serie resultante de quitar todos los términos con algún 9 en el denominador es convergente. Es decir, si quitamos de la serie armónica, cuya «suma» es infinito, solamente lo términos que tienen algún 9, nos queda una serie cuya «suma» ya no es infinito, sino un número concreto. Casi nada.

Esto lo demostró Aubrey John Kempner en 1914 en su artículo A Curious Convergent Series. De hecho, demostró más: ocurre lo mismo para cualquiera de los otros dígitos. Esto es, si quitamos todos los términos que contienen algún cero en el denominador, la serie resultante es convergente; si quitamos todos los que contienen algún 1, también, convergente; y así, con todos los dígitos de 0 a 9.

No me digáis que no es sorprendente: si quitamos solamente los términos cuyo denominador contiene cierto dígito, la suma pasa de ser infinita a ser finita, de valer infinito a valer un número. Aunque es verdad que estamos quitando más términos de los que parece (cuanto mayor sean los denominadores, más probable es que lleven el dígito que queremos quitar), me sigue chocando el resultado.

Lo que tiene sentido preguntarse ahora es cuánto vale cada una de estas sumas. Llamando K_i a la suma obtenida al quitar los términos cuyo denominador contiene el dígito i, el propio Kempner acotó K_9 por 90, pero actualmente se sabe que vale, aproximadamente, 22,92. De hecho, Robert Baillie encontró un procedimiento para calcular aproximaciones de los valores de estas series K_i (para más información, su artículo es Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit). Hasta donde yo sé, no se conocen expresiones cerradas para los valores de estas sumas. Os dejo una tabla con los valores de todas ellas redondeados a cinco decimales:

Tabla de valores de las series de Kempner

Por cierto, esto de la convergencia de K_9 ya fue propuesto como problema en Gaussianos hace ya bastante años, concretamente aquí.

Pero la cosa no se queda ahí, ni mucho menos. en 1916, Frank Irwin demuestra que la serie que queda al eliminar todos los términos cuyo denominador tiene al menos N veces el dígito 9 también es convergente (esto es, dejamos también los que tienen menos nueves que una cierta cantidad dada), y que lo mismo ocurre con el resto de dígitos. Y demostró todavía más: que ocurre lo mismo si eliminamos los términos cuyo denominador tiene a veces el dígito 9 y, a la vez, b veces el 8, c veces el 7, … i veces el 1 y j veces el 0. Magnífico, ¿verdad?. Por cierto, su artículo también se titula A Curious Convergente Series.

Sobre eliminación de un dígito, tenemos también un trabajo con resultados chulísimos de hace bien poco, 2020. Se trata del artículo A short note on a curious convergent series, de Rajib Mukherjee y Nilandri Sarkar, en el que demuestran dos cosas:

  • Si eliminamos de la serie armónica los términos cuyo denominador tiene el dígito 9 en las posiciones 2, 4, 6, etc. (esto es, en las posiciones pares, contadas de izquierda a derecha), la serie resultante es convergente (y de hecho, acotada por 171).

    Ésta es parecida a la primera de Kempner, pero se eliminan «muchos menos» términos. Por ejemplo, el de denominador 19 se elimina, pero el de denominador 91 no. Bueno, pues también sale convergente.

  • Pero van aún más allá: dado un entero positivo p > 1, si eliminamos los términos cuyo denominador tiene un dígito concreto (¡cualquiera que elijamos de 0 a 9!) en las posiciones p,2p,3p, \ldots, la serie resultante también sale convergente, y además su suma está acotada por el valor 90p-9.

Una pasada.

La cosa no termina ahí. En 2008, Thomas Schmelzer y, de nuevo, Robert Baillie demuestran que la serie resultante de eliminar los términos cuyo denominador contenga una cadena de dígitos concreta (42, 12345, 314159,…) también en convergente. En su artículo Summing a Curious, Slowly convergente Series, dan también algoritmos para calcular el valor de estas sumas, y el de otras relacionadas, con gran precisión. Incluso demuestran que si la cadena eliminada tiene n cifras, la suma es, aproximadamente, 10^n \ln{(10)}. Por ejemplo, la suma de los términos cuyo denominador no contiene cifras pares es, aproximadamente, 3,171765, y el de los términos cuyo denominador no contiene la cadena «314159» es, aproximadamente, 2302582,33386.

Hay muchísima más información sobre todo este tema y muchos trabajos en los que se estudian en profundidad todas estas series y otras relacionadas. Os dejo, a modo de final, dos que os van a dejar todavía más sorprendidos de lo que estaréis ahora:

  • Hemos denotado por K_9 a la serie de Kempner en la que se eliminan los términos cuyo denominador tiene algún 9:

    K_9=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\dots+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{11}+\dots\cfrac{1}{18}+\cfrac{1}{20}+\dots

    Tomemos ahora esta otra serie:

    I_{9,1}=\cfrac{1}{9}+\cfrac{1}{19}+\cfrac{1}{29}+\cfrac{1}{39}+\ldots

    cuyos términos son los que contienen un único 9 en el denominador. Esta serie también es convergente (es uno de los casos de las series cuya convergencia demostró Irwin, por eso la he llamado I).

    Pregunta: ¿cuál de las dos tiene mayor suma? Pues, sorprendentemente, la suma de la de Irwin es mayor que la suma de la de Kempner:

    \begin{matrix} K_9 \approx 22,92068 \\ \\ I_{9,1} \approx 23,04429 \end{matrix}

    Nunca lo habría dicho.

  • Y atentos a éste. En su trabajo Some Convergent Subseries of the Harmonic Series (de 1978), A. D. Wadhwa demuestra una cosa que, al menos a mí, me han dejado con la boca abierta. Sea s_n la serie derivada de la armónica en la que solamente tenemos los elementos cuyo denominador tiene exactamente n ceros. Por ejemplo, por la tabla que veíamos unos párrafos más arriba, se tiene que s_0 \approx 23,10345, y por tanto es convergente. Wadhwa demuestra que la sucesión \{ s_n \}_{n\in\mathbb{N}} es estrictamente decreciente y, además, ¡que s_n > 19,28, para todo n\in\mathbb{N}! Es decir: si sumamos «solamente» los términos cuyo denominador tiene una cierta cantidad concreta de ceros (la que queráis: un cero, cinco ceros, ochocientos millones de ceros…), la suma siempre será mayor que \mathbf{19,28}. Por ejemplo, la suma de los términos que tienen exactamente 100 ceros en el denominador es, aproximadamente, 23,02585. Sí, sólo los que tiene 100 ceros:

    s_{100}=\cfrac{1}{10^{100}}+\cfrac{1}{2 \cdot 10^{100}}+\cfrac{1}{3 \cdot 10^{100}}+\ldots \approx 23,02585

    Todavía no salgo de mi asombro.

Aparte de los trabajos que os he ido dejando en el artículo, ahí va alguno más que he consultado para escribirlo:

Otras variantes clásicas de la serie armónica que han aparecido en Gaussianos:

Print Friendly, PDF & Email

¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉


4 5 votes
Article Rating
Comparte: