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Los círculos tritangentes
Los bisectores de los ángulos de un triángulo se cortan en cuatro puntos
, que son los únicos puntos equidistantes de las tres rectas en que están los lados del triángulo.
Esos puntos son los centros de los círculos tritangentes, es decir del círculo inscrito en el triángulo y de los tres círculos exinscritos, que son los cuatro círculos tangentes a las tres rectas .
A estos círculos se los denomina también equicírculos (al menos en inglés se les llama equicircles).
Usamos las siguientes letras para designar distancias en la figura:
a = BC, b=AC, c=AB, sa=AB0=AC0,
sb = BA0 = BC0, sc = CA0 = CB0,
t=AB1 = AC1,
u = CA1= CB1, v = BA1 = BC1, y
r = I C0 , ra= I1 C1 , rb = I2 C2, rc = I3 A3, que son los radios de los círculos tritangentes.
Además designamos con el semiperímetro,
, y con
el área de
.
Entonces, como y
, tenemos que
y también
y
.
Y como y
,
, y por tanto
.
El área de
es la suma de las áreas de los triángulos
, y
, cuya base son los lados y cuya altura es el radio
del círculo inscrito. Por tanto
.
Como y
son semejantes,
, y por tanto
.
El ángulo entre los bisectores
y
es recto, y por tanto
y
son complementarios.
Entonces los triángulos rectángulos y
son semejantes y
, es decir
.
Entonces, como , que es la fórmula de Herón para el área del triángulo.
De ésta y de las fórmulas anteriores para el área, obtenemos inmediatamente , es decir el área del triángulo es la raíz cuadrada del producto de los radios de los círculos tritangentes.
Como y
, etc, también
, etc.
Tenemos que . Entonces
.
Y como , etc, resulta que
.
De las identidades anteriores obtenemos
y
.
Y por tanto tenemos las siguientes fórmulas que nos dan los radios de los equicírculos a partir de los lados:
, etc.
Si son las alturas de
, de las fórmulas
, etc, se obtiene enseguida
.
Tampoco es difícil demostrar, usando la fórmula del área en función de dos lados y del seno del ángulo que forman (y el teorema del seno), que si es el radio de la circunferencia circunscrita a
,
.
Hay más resultados relacionados con los círculos tritangentes, y el más notable quizá sea el teorema descubierto por Feuerbach, que dice que esos cuatro círculos son tangentes al círculo de 9 puntos, que por eso es llamado circunferencia de Feuerbach.
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Creo que hay un «STRONG» o un «B» que no está cerrado en HTML
Cierto. Ya está arreglado :).
chicos, a ver si me ayudais a demostrar matematicamente esto…(pincha en el link) http://fisicamatematic.bitacoras.com/ o tambien la colocare como si fuera mi web(mi nombre aparecera azul)
@ Miguel Hola, miguel, no creo que este sea el lugar más adecuado para hacer tu pregunta. Espero no parecer antipático con esto, te lo digo como consejo y de buena manera. En todo caso ¿Conoces la definición de derivada?. Es el «límite de una tangente». Usa esa definición, o sea … . Obviamente tu f(x) es la potencia n-ésima de x. Trata de usar eso. Yo usaría el teorema del binomio de Newton.Otra opción tal vez sea hacer una pequeña inducción (prueba para n=0 y demuestra que si asumes la propiedad cierta para n, entonces lo será para n+1).… Lee más »
[…] Obtenemos entonces el radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos de tangencia de tres circunferencias mutuamente tangentes de radios , usando las fórmulas que dan el radio de los equicírculos a partir de los lados. […]