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Los círculos tritangentes

Los bisectores de los ángulos de un triángulo \triangle ABC se cortan en cuatro puntos I, I_1, I_2, I_3, que son los únicos puntos equidistantes de las tres rectas en que están los lados del triángulo.

Esos puntos son los centros de los círculos tritangentes, es decir del círculo inscrito en el triángulo y de los tres círculos exinscritos, que son los cuatro círculos tangentes a las tres rectas AB, AC, BC.

A estos círculos se los denomina también equicírculos (al menos en inglés se les llama equicircles).
equicirculos

Usamos las siguientes letras para designar distancias en la figura:

a = BC, b=AC, c=AB, sa=AB0=AC0,
sb = BA0 = BC0, sc = CA0 = CB0,
t=AB1 = AC1,

u = CA1= CB1, v = BA1 = BC1, y
r = I C0 , ra= I1 C1 , rb = I2 C2, rc = I3 A3, que son los radios de los círculos tritangentes.

Además designamos con s el semiperímetro, s=\frac{a+b+c}{2}, y con K el área de \triangle ABC.

Entonces, como 2(s_a+s_b+s_c) = a+b+c = 2s y s_b + s_c = a, tenemos que s_a = s - a y también s_b = s-b y s_c = s-c.

Y como a=u+v y t=b+u=c+v, 2t = b+u+c+v = 2s, y por tanto t=s, \ u=s-b= s_b, \ v= s-c=s_c.

El área K de \triangle ABC es la suma de las áreas de los triángulos \triangle ABI, \triangle BCI, y \triangle ACI, cuya base son los lados y cuya altura es el radio r del círculo inscrito. Por tanto K = sr.

Como \triangle AIC_0 y \triangle AI_1C_1 son semejantes, \frac{s_a}{r}=\frac{s}{r_a}, y por tanto K = sr = s_ar_a = s_br_b = s_cr_c.

El ángulo \angle IBI_1 entre los bisectores BI y BI_1 es recto, y por tanto \angle IBC_0 y \angle I_1BC_1 son complementarios.

Entonces los triángulos rectángulos \triangle IBC_0 y \triangle I_1BC_1 son semejantes y \frac{s_c}{r_a} = \frac{r}{s_b}, es decir rr_a = s_bs_c.

Entonces, como K = sr = s_ar_a, \ \ K^2 = srs_ar_a = ss_as_bs_c, que es la fórmula de Herón para el área del triángulo.

De ésta y de las fórmulas anteriores para el área, obtenemos inmediatamente K^2 = rr_ar_br_c, es decir el área del triángulo es la raíz cuadrada del producto de los radios de los círculos tritangentes.

Como ss_as_bs_c = rr_ar_br_c y rr_a = s_bs_c, etc, también ss_a = r_br_c, etc.

Tenemos que s_a + s_b + s_c = (s-a) + ( s-b) + (s-c) = s. Entonces \frac{s}{r} = \frac{s_a}{r} + \frac{s_b}{r} + \frac{s_c}{r}.

Y como \frac{s_a}{r}=\frac{s}{r_a}, etc, resulta que \frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}.

De las identidades anteriores obtenemos \frac{1}{r_a} = \frac{r}{s_bs_c} , \ \ \frac{1}{r_b} = \frac{r}{s_as_c} = \frac{r_a}{ss_c} , \ \ \frac{1}{r_c} = \frac{r}{s_as_b} = \frac{r_a}{ss_b} y \frac{1}{r} = \frac{r_a}{s_bs_c}.

Y por tanto tenemos las siguientes fórmulas que nos dan los radios de los equicírculos a partir de los lados:
\displaystyle{\frac{1}{r^2} = \frac{1}{s_as_b} + \frac{1}{s_as_c} + \frac{1}{s_bs_c}} , \quad \displaystyle{\frac{1}{r_a^2} = \frac{1}{s_bs_c} - \frac{1}{ss_b} - \frac{1}{ss_c}}, etc.

Si h_a, h_b, h_c son las alturas de \triangle ABC, de las fórmulas K = sr = \frac{ah_a}{2}, etc, se obtiene enseguida
\frac{1}{h_a} +\frac{1}{h_b} +\frac{1}{h_c} = \frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} +\frac{1}{r_b} +\frac{1}{r_c}.

Tampoco es difícil demostrar, usando la fórmula del área en función de dos lados y del seno del ángulo que forman (y el teorema del seno), que si R es el radio de la circunferencia circunscrita a \triangle ABC, 4R = r_a + r_b + r_c - r.

Hay más resultados relacionados con los círculos tritangentes, y el más notable quizá sea el teorema descubierto por Feuerbach, que dice que esos cuatro círculos son tangentes al círculo de 9 puntos, que por eso es llamado circunferencia de Feuerbach.

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