Esta semana os traigo un problema que ha surgido a partir de una consulta Jesús, un lector de Gaussianos, a través de nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com. El tema proviene de nuestra segunda demostración sobre la irracionalidad de 
Si
, demostrar la siguiente igualdad:
Repito, hay que mostrar explícitamente todos los pasos que se den. Ya que la cosa no es complicada vamos a intentar hacerla bien. Así que paciencia y al lío.
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Para
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Buenos Días
Podría ser perfectamente un ejercicio rutinario de cualquier curso elemental de cálculo integral. La solución consiste en usar el método de integración por partes dos veces y arreglar la expresión para que nos quede la formula recursiva mostrada. Un poco trabajoso pero conceptualmente sencillo.
Un Saludo
Tal y como señala Antonio, los cálculos son muy fáciles, se integra dos veces por partes y se usa el «truco» de sumar y restar uno en una de las integrales para que nos salga la fórmula. De todos modos, lo escribo.
![I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^ncos(\alpha x)\, dx=(1-x^2)^n {sen(\alpha x) \over \alpha}\Big ]_{-1}^{1}+{2n\over \alpha}\int_{-1}^{1}x(1-x^2)^{n-1}sen(\alpha x)dx](https://s0.wp.com/latex.php?latex=I_n%28%5Calpha%29%3D%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B1%7D+%281-x%5E2%29%5Encos%28%5Calpha+x%29%5C%2C+dx%3D%281-x%5E2%29%5En+%7Bsen%28%5Calpha+x%29+%5Cover+%5Calpha%7D%5CBig+%5D_%7B-1%7D%5E%7B1%7D%2B%7B2n%5Cover+%5Calpha%7D%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B1%7Dx%281-x%5E2%29%5E%7Bn-1%7Dsen%28%5Calpha+x%29dx&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^ncos(\alpha x)\, dx=(1-x^2)^n {sen(\alpha x) \over \alpha}\Big ]_{-1}^{1}+{2n\over \alpha}\int_{-1}^{1}x(1-x^2)^{n-1}sen(\alpha x)dx")
Es evidente que el primer término se anula, y lo mismo va a suceder con el primer término de la segunda integral (así que no lo escribiré). Integrando otra vez por partes.
Ahora, sumando y restando uno dentro de la integral, obtendremos:
Pues por fácil que sea yo no me ví con ganas (y empecé por «Un Día Ví Un Viejo Vestido De Uniforme»), asi que, ¡bien hecho Zenobia!.
Hola a todos. Tengo una pequeña consulta(mas bien dos y no pequeñas jeje) y agradecería que me ayuden a responderla. La primera me llevo a la segunda
1.Son isomorfos los cuerpos Q(2^1/2) y Q(5^1/2)?
Y si lo fueran , me pregunto lo siguiente:
2.Dado un cuerpo k, una extensión K, k[x,n] polinomios de grado n y a,b(de K) raíces de algunos de estos polinomios(osea son trascendentes en polinomios del mismo grado). Se cumple que k(a) y k(b) son isomorfos???
Saludos 🙂
En el punto 2, la hipótesis debía ser que los grados de los polinomios mínimos de a y b coinciden
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