Un error no tiene por qué ser algo malo, al menos en matemáticas. Al igual que cometer errores es, muchas veces, necesario para aprender, un error puede llevarnos a hacernos buenas preguntas que, en ocasiones, pueden derivar en interesantes problemas. Y éste es el caso que trataremos en este artículo, en el que buscaremos triángulos con igual área y perímetro.
Como es evidente tras la lectura del párrafo anterior, este problema (re)surgió un cierto momento tras un error cometido por Lee Markowitz al calcular el área de una figura geométrica, tal y como nos cuenta en su artículo AREA = PERIMETER, que es la fuente pricipal de esta entrada.
Al parecer, Markowitz estaba dando clase de geometría a un alumno y, en cierto momento, tenía que calcular el área lateral de un prisma triangular cuya base era un triángulo rectángulo de lados 6, 8 y 10. Es evidente que, en este caso, el área de cada una de las bases es:
Markowitz se confundió, y en vez de calcular el área del triángulo calculó su perímetro, que es:
Al obtener el mismo resultado con ambos cálculos, Markowitz no apreció su error en un principio. Pero cuando se dio cuenta de ello, comenzó a pensar en si éste era un triángulo único en este sentido o, en caso contrario, en qué características debería tener un triángulo para cumplir esta condición.
Vamos a comenzar con el caso más cercano al ejemplo que se encontró Markowitz: un triángulo rectángulo cuyos lados son números naturales. Tenemos entonces que nuestro triángulo, cuyos lados llamaremos (de menor a mayor), cumple las siguientes condiciones:
son números naturales
- Como el triángulo es rectángulo, se cumple que
- Y como queremos que el área sea igual al perímetro, se tiene que
Despejamos de la tercera condición, sustituimos en la segunda y operamos:
Como , tenemos que:
Sumando 8 a ambos lados, es sencillo expresar la parte izquierda como un producto de factores:
Y ahora usamos que tanto como
son números naturales. Analicemos caso a caso (es evidente que ambos deben ser mayores que 4):
. De aquí,
, obteniendo el triángulo rectángulo
.
. De aquí,
, obteniendo el triángulo rectángulo
, que era el que tenía Markowitz.
y
no sería un número natural.
, y sale el
, que es igual a uno de los anteriores.
y
no sería un número natural.
y
no sería un número natural.
y
no sería un número natural.
, y sale el
, que es igual a uno de los anteriores.
, por lo que
no sería un número natural.
La conclusión a la que llegamos es la siguiente:
Si dejamos ahora que sean racionales, y despejamos
de
, llegamos a:
Si (racional), tanto el numerador como el denominador son positivos, por lo que
será racional positivo y, en consecuencia, también lo será
. De aquí, obtenemos que:
Volvamos entonces al triángulo con lados naturales y permitamos ahora que nuestro triángulo no tenga por qué ser rectángulo. Ahora no tendríamos que , y tampoco que
, ya que no podríamos calcular su área de esa forma. ¿Tenemos alguna otra expresión que nos calcule el área de un triángulo rectángulo y que relacione los lados del mismo de manera fácilmente abordable? ¡Claro! La fórmula de Herón:
siendo (la semisuma de los lados del triángulo). Tenemos entonces que
son números naturales y que
La idea ahora sería operar y simplificar un poco esta ecuación y después analizarla detalladamente para encontrar todas sus posibles soluciones. Como este estudio es bastante engorroso si se hace con la ecuación tal cual la tenemos, vamos a trabajar con ella un poco. Como , dividiendo entre
a ambos lados tenemos que:
Tomemos ahora . Entonces,
, y la ecuación queda así:
(1)
Sin pérdida de generalidad, supongamos (como hemos hecho en todo el desarrollo) que y, por tanto,
. Veamos que
no puede ser mayor o igual que 4. Por un lado, si
, entonces se tiene que
. De aquí,
.
Por otro lado, . Uniendo ambas cosas:
que entra en contradicción con la igualdad (1) anterior.
Sabiendo que deben ser números enteros positivos (¿sabrías demostrarlo?), tenemos entonces que
puede tomar los valores 1, 2 y 3. Analicemos caso por caso:
: De (1), es sencillo llegar a
. Si
, tenemos que
, por tanto descartamos todos esos valores. Con
y con
también llegamos a situaciones imposibles, por lo que los únicos valores posibles para
son
. Con
, queda
. Usando ahora que:
(2)
tenemos que, en este caso, nuestro triángulo es
.
Con
, es
, y usando (2) tenemos un nuevo triángulo de los nuestros:
.
Y con
,
, y usando (2) de nnuevo llegamos a un nuevo triángulo:
.
: De (1), llegamos ahora a
. Si
, tenemos que
, hecho que no puede darse. Para
también obtenemos casos imposibles, por lo que los únicos valores posibles para
en este caso son
. Si
, se tiene que
, de donde, usando (2), obtenemos este triángulo:
.
Por otro lado, si
, es
, y con (2) obtenemos el triángulo
.
: De (1), en este caso podemos llegar a
. Sabemos que
(ya que es mayor o igual que
), y además debe ser
(ya que
no es un factor de 52). Si
, tenemos que
, y por tanto
, lo cual es imposible. Por tanto, en este caso no hay valores de
posibles, por lo que no obtenemos ningún nuevo triángulo de «nuestro» tipo.
En consecuencia, la cosa queda así:
Comentábamos al principio que este problema lo había tratado Lee Markowitz en su artículo Area=Perimeter. Dicho artículo es de 1981, pero ni mucho menos es el primero dedicado a este tema. De hecho, ya se trató a mediados del siglo XIX, y se sabe que W.A. Whitworth y D. Biddle lo demostraron en 1904. De sus trabajos, solamente sé que aparecieron en el volumen 5 de Mathematical Questions froms the Educational Times de dicho año 1904, pero no he podido encontrar los documentos. Si alguien los localiza, le agraceremos que nos los comunique en los comentarios.
Por otra parte, se han estudiado generalizaciones de este problema considerando múltiplos del perímetro. Para , se sabe que hay 18 triángulos, mientras que para
hay 45. Tenéis más información, y hasta un algoritmo de cálculo de dichos triángulos, justo debajo, en los enlaces del final de este artículo.
Fuentes y más información:
- AREA = PERIMETER, de Lee Markowitz.
- Heronian triangle, en la Wikipedia en inglés.
- Another Approach to Solving A = mP for Triangles, de varios autores.
- Pythagorean Triples and the Problem A = mP for Triangles, de Lubomir P. Markov.
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