Javier Cilleruelo nos habla sobre el problema de los conjuntos generalizados de Sidon

Como muchos de vosotros recordareis, hace poco tiempo (hablábamos de ello en diciembre del año pasado) tres matemáticos, Javier Cilleruelo, Carlos Vinuesa (españoles) e Imre Ruzsa (húngaro) resolvieron la conjetura de los conjuntos generalizados de Sidon. En el post que acabo de enlazar hablábamos sobre el tema, sobre el problema en cuestión, pero no se profundizaba demasiado en él ni en su demostración.

Tiempo después, a raíz de una cuestión que me comentó Samuel, un lector del blog y alumno de Javier Cilleruelo, me puse en contacto con Javier para ver si nos podía ayudar a profundizar en el tema. Y la verdad es que desde el principio Javier se ofreció amablemente a colaborar. Al final el tema ha quedado en una entrevista en la que se habla del problema de los conjuntos generalizados de Sidon y de algunas otras cosas. Aquí os la dejo.

Entrevista a Javier Cilleruelo

Javier Cilleruelo es Profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid. Junto a Imre Ruzsa y Carlos Vinuesa ha conseguido resolver la conjetura de los conjuntos generalizados de Sidon.

Gaussianos: Bueno, vamos con el tema. Cuéntanos un poco de la historia de este problema y de cuándo comenzaste a interesarte por él y por qué.

Javier Cilleruelo: El origen de este problema tiene lugar en una pregunta que el analista Simon Sidon hizo a Paul Erdös en 1932:

¿Cuál es el mayor número de elementos que puede tener un conjunto A en si todas las sumas de dos elementos de A son distintas? ¿Y si cada suma se repite, a lo sumo, g veces?

Aunque las motivaciones de Sidon tenían que ver con un problema del análisis, el problema cautivó a Erdös por su caracter aritmético y combinatorio. Fue Erdös quien bautizó con el nombre de conjuntos de Sidon a los conjuntos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas. En general, se denomina conjuntos g-Sidon a aquellos con la propiedad de que cada suma (contando a+a’ y a’+a como sumas distintas) se repite, a lo sumo, g veces. En particular, los conjuntos 2-Sidon son los conjuntos de Sidon. A los conjuntos g-Sidon también se les denomina conjuntos .

Una cota superior trivial para el mayor tamaño de un conjunto de g-Sidon en se puede conseguir de la manera siguiente:

El número total de sumas de dos elementos del conjunto es . Por otra parte, todas estas sumas son menores que . Como cada suma puede repetirse, a lo sumo, g veces tenemos que . De aquí se obtiene la estimación trivial .

En el caso particular de los conjuntos de Sidon se puede hacer algo mejor dándose cuenta de que en un conjunto de Sidon todas las diferencias son distintas. Si , entonces tendríamos que . Ahora se razona de manera similar: el número de diferencias no nulas es y todas ellas están en ; así que y de aquí obtenemos la estimación .

Erdös y Turán, en 1945, encontraron un argumento ingenioso (en lugar de tener en cuenta todas las diferencias como en el argumento anterior, tomaron sólo las diferencias pequeñas) para conseguir la estimación . Esta estimación, que todavía no se ha mejorado, está cerca de ser la mejor posible porque el propio Erdös había demostrado que en siempre podíamos encontrar un conjunto de Sidon con elementos. Es decir, el mayor tamaño de un conjunto de Sidon en es, asintóticamente, como .

Sin embargo, en el problema para los conjuntos g-Sidon no se había hecho ningún avance. El obstáculo principal era que en este caso no se podía transformar el problema de sumas en un problema de diferencias, es decir, no se podía sacar ventaja al contar diferencias, como hicieron Erdös y Turan en el caso de los conjuntos de Sidon. Es fácil construir un conjunto 4-Sidon que, sin embargo, tiene una diferencia que se repite muchísimas veces. No se sabía cómo mejorar la estimación trivial . En otra dirección, M. Kolountzakis había demostrado que en siempre hay un conjunto g-Sidon con elementos. Había todavía una gran diferencia entre la cota superior y la inferior.

Este problema siempre me había intrigado desde que Antonio Córdoba, mi director de tesis, me hablara de los conjuntos de Sidon. Años después se lo propuse a Carlos Trujillo como problema de tesis. Conseguimos mejorar ambas cotas. Recuerdo que le enviamos el artículo a Imre Ruzsa y él nos contestó diciendo que también había conseguido mejorar la cota superior. Su demostración era distinta y más elegante, por lo que le propusimos escribir un trabajo conjunto con nuestros resultados que salió publicado en Journal of Number Theory.

Ese trabajo tuvo bastante influencia en el área. A partir de entonces, diferentes matemáticos fueron mejorando ambas cotas afinando los métodos que habíamos utilizado en nuestro trabajo. Ben Green, el mismo que años después demostraría, junto con Terence Tao, que la sucesión de los primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas, en su tesis doctoral, dirigida por el medalla Fields Tim Gowers, también se ocupó de este problema y consiguió mejorar la cota superior hasta con una mejora sustancial de nuestro método.

El trabajo de Ben Green mostraba, además, que el método estaba agotado y que había que buscar nuevas ideas si se quería avanzar en el problema.

Años después, organicé junto a Oriol Serra y Marc Noy un Doccourse en el CRM de Barcelona donde propusimos trabajos de investigación a los participantes. Uno de ellos era mi estudiante Carlos Vinuesa, y le propuse volver sobre este problema. Para la cota inferior le sugerí pegar conjuntos g-Sidon en (las sumas hay que entenderlas en ), como ya habíamos hecho en el artículo con Ruzsa y Trujillo, y utilizar métodos probabilísticos para conseguir una densidad óptima. Para la cota superior le propuse utilizar unas ideas de un trabajo de A. Schinzel donde relacionaba este problema discreto con un problema continuo de convoluciones de funciones. Ambas estrategias funcionaron y logramos mejorar ambas cotas. El trabajo apareció publicado en Combinatorics, probability and computing.

Imre Ruzsa leyó nuestro trabajo y nos escribió diciendo que él sabía construir conjuntos g-Sidon en con casi elementos (nosotros sólo sabíamos construir conjuntos con elementos). Inmediatamente los tres nos dimos cuenta de que eso era lo que faltaba para hacer coincidir la cota superior y la inferior en el problema de los conjuntos g-Sidon, al menos asintóticamente. Efectivamente, después de dos meses de trabajo, combinando todas las herramientas que teníamos llegamos a demostrar el siguiente resultado, que ha apareció publicado en Advances of Mathematics:

Teorema: Para todo existen dos constantes tales que cuando n es suficientemente grande, tenemos que

Además, y eso es lo importante:

donde se puede expresar en términos de convoluciones de funciones.

G: Como ya se comentaba en el anterior artículo, no has estado solo en este trabajo. De hecho has contado con dos colaboradores: Imre Ruzsa y Carlos Vinuesa. Háblanos un poco de ellos.

JC: No hay nadie que entienda los enteros mejor que Ruzsa. Es extremadamente ingenioso y habilidoso con las construcciones. Cuando lees un artículo suyo siempre aprendes algo profundo, a la vez que te preguntas cómo se le pudo ocurrir a él esa demostración. Su demostración del teorema de Freiman, ahora llamado de Freiman-Ruzsa, marcó el inicio de Additive Combinatorics, un área especialmente activa en los últimos años.

Carlos Vinuesa es muy brillante y estoy seguro de que obtendrá muchos más resultados de primera magnitud. En la actualidad está en Cambridge, haciendo una estancia posdoctoral con Ben Green. Lamento no poder colaborar ahora con él, porque era un placer hacerlo, pero ahora le corresponde aprender de matemáticos de primera fila como Ben Green. Además de ser un excelente matemático, es también un mago prodigioso. En 2010 ganó el premio Mago del Año, el premio nacional de magia de mayor prestigio. Además de ser muy habilidoso es también muy creativo. Exactamente igual que con las matemáticas.

G: Teniendo en cuenta que os encontrabais en lugares distintos, supongo que la colaboración no sería demasiado fácil. ¿Cómo habéis coordinado vuestro trabajo?

JC: Carlos Vinuesa fue una temporada a Budapest, donde está Ruzsa, para trabajar sobre el problema. Cuando volvió a Madrid terminamos el artículo intercambiando con Ruzsa, por correo electrónico, las diferentes versiones que íbamos haciendo.

G: Aunque seguro que hay muchísimos detalles importantes en este trabajo, ¿podrías decir cuál fue la clave para llegar a la solución?

JC: La parte más difícil era conseguir la cota inferior. Hubo dos ideas claves que eran completamente nuevas: la utilización del método probabilístico para pegar los conjuntos g-Sidon modulares y la construcción, mediante unión de parábolas modulares, de conjuntos g-Sidon modulares de densidad óptima. La construcción de conjuntos g-Sidon en con casi elementos fue, en cualquier caso, la última pieza del puzle.

G: Aunque no tiene por qué ser una condición indispensable para la investigación en matemáticas, siempre es interesante encontrar aplicaciones de los resultados obtenidos. ¿Puedes decirnos qué aplicaciones podría tener este trabajo?

JC: Las técnicas utilizadas servirán para otros problemas pero no se me ocurre ninguna aplicación inmediata fuera de las matemáticas.

G: Dicen que en cierto modo las matemáticas hechas por alguien expresan cosas de esa persona. ¿De alguna forma te sientes identificado con este trabajo?

JC: La verdad es que sí y por muchas razones. Siempre me han atraido los problemas con enunciado sencillo y que sin embargo son difíciles de responder. Eso no quiere decir que las herramientas que haya que utilizar para resolverlos no sean difíciles y sofisticadas. A veces requieren crear nuevas herramientas y teorías. Hay quienes, sin embargo, una vez creada la nueva teoría, se entretienen a sacar punta a la misma olvidándose de cuál era el problema original. No digo que eso no sea lícito, simplemente que yo soy incapaz de entusiasmarme con problemas llenos de lenguaje, no encuentro la motivación suficiente.

Otro de los aspectos que me ha gustado de este trabajo es la multitud de técnicas tan variadas que hemos tenido que utilizar: combinatorias, algebraicas, analíticas, probabilísticas…

G: Bien, vamos a salirnos ahora del tema en cuestión para entrar en temas más generales. Creo que la mayoría de la gente tiene una visión equivocada sobre qué es investigar en matemáticas. ¿Podrías contarnos en qué consiste la labor de investigador en matemáticas? ¿Cómo se empieza en la investigación y cómo se llega a ser investigador? ¿Qué labor realizas con tus estudiantes de doctorado?

JC: De hecho hay mucha gente que se sorprende de que se investigue en matemáticas. Los investigadores en matemáticas nos dedicamos a resolver problemas para intentar entender mejor las propias matemáticas, que es el lenguaje del resto de las ciencias. Por supuesto, los problemas de investigación son problemas que anteriormente no se sabían resolver, aunque a veces nuevas demostraciones más sencillas y elegantes de resultados conocidos ilustran más que resultados nuevos.

La investigación empieza cuando uno crea estrategias nuevas para él para resolver un problema. A Antonio Córdoba, que fue profesor mío en la asignatura de Teoría de Números, le gustaba proponernos de vez en cuando problemas bonitos que se salían de la rutina de la asignatura. Recuerdo que en una ocasión nos propuso encontrar cuadrados mágicos (matrices 3×3 donde la suma de las elementos de cada fila, de cada columna y de cada diagonal suman lo mismo) formados exclusivamente por números primos. Recuerdo que me dediqué con intensidad a ese problema durante un fin de semana. No pude demostrar que había infinitos cuadrados mágicos formados exclusivamente de primos, que era el problema gordo, pero finalmente encontré una estrategia que me permitió encontrar unos cuantos. Por supuesto que esa estrategia que a mí me parecía novedosa era bien conocida, pero yo disfruté del placer de encontrarla. En ese momento empezó la investigación para mÍ. La existencia de infinitos cuadrados mágicos formados exclusivamente por números primos es ahora un sencillo corolario del teorema de Green-Tao que he comentado anteriormente.

Cada director de tesis tiene sus propias estrategias. Yo sugiero problemas a mis estudiantes, no muy difíciles al principio, y utilizo esos problemas como pretexto para que aprendan diversas técnicas. Hay quienes prefieren el proceso contrario. Ahora mismo estoy trabajando con tres estudiantes: Ana Zumalacárregui, mi estudiante de doctorado que ya tiene su primera publicación; Juanjo Rué, un especialista en combinatoria de Barcelona que ha venido al ICMAT a hacer un posdoc conmigo porque quería aprender también teoría de números; y Paulius Sarka, un estudiante lituano que está realizando una estancia de investigación de tres meses en el Departamento de Matemáticas de la UAM. Les propongo problemas y nos reunimos una vez a la semana para discutir las dificultades que van apareciendo. Otras veces son ellos los que sugieren problemas.

Tener estudiantes de posgrado o posdoctorales da mucho trabajo, pero es muy gratificante, sobre todo si además de tener mucho potencial matemático tienen una gran calidad humana. En ese sentido yo siempre he tenido mucha suerte.

G: ¿Cómo ves las matemáticas de alto nivel en España? ¿Hay buenos investigadores? ¿Podría decirse que somos una potencia mundial o por contra en realidad estamos algo atrás respecto a muchos países?

JC: Algunas veces escucho discursos pesimistas al respecto que yo no comparto. Creo que España ocupa un lugar muy digno, teniendo en cuenta que no tenemos la larga tradición matemática de otros países como Francia, Alemania o Inglaterra. Salvo por algún caso excepcional, la investigación de alto nivel en España empezó en los años 80, pero hemos ido muy rápido desde entonces. Hay muchos investigadores y algunos son realmente buenos.

G: Aparte de todo esto, ¿qué otros resultados matemáticos importantes han sido demostrados por españoles (o han contado con la colaboración de matemáticos españoles)?

JC: Precisamente estos días ha saltado a los medios de comunicación que Javier Fernandez de Bobadilla y María Pe Pereira han demostrado una conjetura sobre singularidades que John Nash había planteado hace 50 años. Aunque siempre debemos ser cautelosos ante el anuncio de un resultado que todavía no ha pasado por el proceso de revisión por pares que todo resultado científico tiene que sufrir, la trayectoria científica de los autores y las primeras opiniones de expertos en la materia, ofrecen una garantía casi absoluta de que, efectivamente, estos dos matemáticos españoles, del ICMAT y del Instituto Jussieu de París respectivamente, han dado con la respuesta a este importante problema.

Pero no escasean resultados de primera magnitud obtenidos por matemáticos españoles. Sólo citaré algunos recientes que conozco por lo que pido disculpas de antemano por las omisiones, que sólo se deberán a mi ignorancia. Hace menos de un año Francisco Santos, de la universidad de Cantabria, dio un contraejemplo a la conjetura de Hirsch, planteada hace 50 años. Era uno de los problemas más importantes en programación matemática y combinatoria de poliedros. Marc Noy y Omer Giménez, de la UPC, publicaron en Journal of the American Mathematical Society una estimación asintótica para el número de grafos planos etiquetados con n vértices. Además de resolver este problema clásico, su método ha sido usado desde entonces para contar muchas clases de grafos. Simeon Ball, también de la UPC, ha resuelto recientemente una conjetura de Serre considerada uno de los problemas más importantes en la geometría de cuerpos finitos.

Antonio Córdoba, Diego Córdoba y Francisco Gancedo acaban de publicar un artículo en el último número de Annals of Mathematics, considerada la mejor revista de matemáticas del mundo. Pero publicar en esta revista ya no es algo excepcional en las matemáticas de alto nivel en España. Por ejemplo, entre los próximos artículos que publicará esta revista aparecen los nombres de Jesús Munárriz, Joan Verdera, Joaquím Ortega-Cerdá, Alfonso Montes-Rodríguez y Andrei Jaikin.

Completa revisión del problema de los conjuntos generalizados de Sidon la que nos ha hecho Javier Cilleruelo, completada con cuestiones relacionadas con la investigación en matemáticas en general y su caso particular. Espero que os haya parecido interesante.

Con este artículo contribuyo por tercera vez en la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, de la que Gaussianos es el anfitrión.