La conjetura de Casas-Alvero, contada por Eduardo Casas-Alvero

Hace unas semanas recibía un mail de Dani, un lector de Gaussianos, que me hablaba sobre la posibilidad de publicar en el blog un problema que él me proponía. La naturaleza del mismo me llamó la atención lo suficiente como para publicarlo: ¡era un problema abierto!, es decir, un problema del que todavía no se conoce la solución. Evidentemente en el enunciado no se hacía referencia a esta característica del problema. Simplemente se pedía demostrar un cierto resultado o encontrar un contraejemplo. Podéis ver el problema y los comentarios sobre el mismo haciendo click en este enlace.

La idea era provocar la curiosidad de la gente por el problema sin saber que todavía no se había resuelto, para ver si alguien daba con alguna idea interesante para una posible demostración. Esto, que puede parecer un objetivo inalcanzable, en realidad no era tan descabellado, ya que este problema no es de hace demasiado tiempo, por lo que podría existir algún camino sencillo para llegar a su demostración que todavía no se hubiera explorado.

La cuestión es que el problema se conoce como conjetura de Casas-Alvero y la propuso un matemático español, Eduardo Casas-Alvero, de la Universidad de Barcelona. En los comentarios del artículo podéis ver que hay gente que publica intentos de demostración, pero que por desgracia no llegan a nada, a todos se les encuentra algún pero. Días después de la publicación del problema, hernan descubre el pastel…y me destroza un artículo, en el que tenía pensado contar la naturaleza del problema y dar algún detalle más.

Pero la cosa no podía quedar así, este tema no podía quedar en escribir un comentario diciendo que el problema era una conjetura y dar cuatro datos sobre ella. Por ello me puse en contacto con el matemático que la propuso, Eduardo Casas-Alvero. Y la verdad es que en cierto modo es emocionante hablar con una persona que da nombre a una conjetura tan joven y que ha interesado a tanta gente.

Eduardo se mostró dispuesto a colaborar en todo momento. Lo que yo le pedía era que me hablara sobre el nacimiento de la conjetura (sobre cómo y cuándo surgió), de los avances que se han hecho sobre la misma desde que la propuso y del estado actual de la misma. En los siguientes párrafos podéis ver las respuestas a todas estas cuestiones relatadas por el propio Eduardo Casas-Alvero.

La conjetura de Casas-Alvero

• La ahora llamada conjetura de Casas-Alvero surgió como pregunta hacia 1998-99. Yo (Eduardo) acababa de obtener unos resultados sobre curvas polares (que luego aparecieron en Journal of Algebra 240(1), 2001) y estaba intentando establecer a partir de ellos un criterio de irreducibilidad para series de potencias en dos variables con coeficientes complejos. En determinado momento necesité usar que un polinomio en una variable que comparte raíces con todas sus derivadas de grado positivo es potencia de uno lineal. Al principio me pareció un hecho que no debía de ser difícil, de modo que lo dejé de lado para dedicarme a lo que parecían ser partes más serias de la demostración del criterio. Con todos los cabos más o menos atados volví al problema en una variable para descubrir que no era nada fácil. Estuve un tiempo intentando diversos tipos de argumentos y todo lo que conseguí fueron varias retorcidas maneras de obtener las fórmulas de Cardano, pero ninguna demostración de lo que quería. Luego empecé a preguntar a los colegas: primero a los de mi universidad, más tarde en congresos y visitas a otras universidades, en mis conferencias… Todo lo que obtuve fueron entretenidas discusiones, pero ningún avance, hasta que Lalo González-Vega (U. de Cantabria) me escuchó la pregunta y junto con Gema M. Díaz-Toca probó que el resultado era cierto para polinomios de grado menor o igual que ocho (Maple conference 2006. Proceedings of the conference, Waterloo, Ontario, Canada, July 23-26, 2006, pages 81-98, Waterloo, 2006. Maplesoft, la primera publicación sobre el tema, que yo sepa).

  En 2007, Hans-Christian Graf von Bothmer, Oliver Labs, Josef Schicho, y Christiaan van de Woestijne publicaron en Journal of Algebra la demostración del hecho para polinomios cuyo grado es potencia de primo o el doble de potencia de primo; puede verse en http://arxiv.org/abs/math/0605090 . Recientemente (2010) Jan Draisma (Eindhoven) y Johan P. de Jong, han obtenido una demostración más simple que extiende el resultado a polinomios de grado y , para p primo; han escrito además artículos de divulgación y un curioso applet sobre el problema (que puede verse en esta web).

  Por mi parte he vuelto al problema un par de veces en estos años sin resultados (encontré una demostración preciosa, con polígonos curvilíneos e inversiones del plano, pero totalmente falsa). El criterio de irreduciblidad para series sigue pendiente y no descarto volver a trabajar en él (y en la conjetura si no puedo evitarla) en cuanto tenga algo de tiempo.

Bien, pues como podéis ver seguimos sin solución de la conjetura de Casas-Alvero. Lo que no significa que no podáis encontrarla. Desistir sería lo peor que podríais hacer, nunca se sabe cuándo podemos tener la idea clave que a nadie se le había ocurrido…y si no que se lo digan a Dantzig. No dudéis en comentarnos cualquier avance que hagáis/conozcáis sobre la demostración de esta conjetura.

Esta entrada es mi quinta y última colaboración para la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, que por primera vez organizo yo mismo.