Cuando uno estudia en profundidad una figura tan simple como el triángulo se da cuenta de que en realidad esa simplicidad reside solamente en su manera de representarla. En lo relacionado con las propiedades que tiene, con las características que posee o con las curiosas e interesantes relaciones que se puede encontrar en su interior el tema no es ni mucho menos simple, más bien al contrario. La riqueza y variedad que puede encontrarse en el estudio de un, como decía, simple triángulo parece no tener límites.

Lo que os traigo hoy es una de esas cosas simples que en realidad no lo son tanto. Una curiosa propiedad que cumple todo triángulo y en la que posiblemente ni siquiera hayáis reparado. Hoy os presento la conocida como línea de Simson.

La línea de Simson

La construcción de esta línea comienza con un triángulo ABC. Dibujamos entonces la circunferencia circunscrita al triángulo y tomamos un punto cualquiera de ella, que en la figura es el punto P. Ahora representamos las rectas que pasan por P y que son perpendiculares a cada una de las rectas a las que pertenecen los lados del triángulo y marcamos los puntos de corte, que en la figura son los puntos p_1, p_2 y p_3.
La línea de Simson
Bien, pues la curiosa propiedad es la siguiente:

Los puntos p_1, p_2 y p_3 descritos así están alineados.

Es decir, esos tres puntos pertenecen a la misma recta. Esta recta es la que se denomina línea de Simson.

La demostración de este hecho no es demasiado difícil. Podéis ver una en este post de Apuntes Matemáticos. Dedicadle un rato y pensadla un poco, haceos vosotros mismos el dibujo (qué importantes que son los dibujos) paso a paso y veréis como es relativamente sencilla.

Y ahora, como no podía ser de otra forma, os dejo un applet de GeoGebra donde podemos ver cómo cualquier punto P de la circunferencia circunscrita (se puede mover en toda la circunferencia) cumple que los tres puntos de intersección de sus perpendiculares a rectas a las que pertenecen los lados del triángulo están en la misma recta (la línea de Simson) y que todo punto Q que no esté en dicha circunferencia no lo cumple (también podéis mover Q):

Y para terminar, comentar que, como ocurre en muchas otras ocasiones, la línea de Simson no se debe al matemático escocés Robert Simson, como indica su nombre, sino a otro matemático escocés cuyo nombre es William Wallace (no, no creo que sea el personaje en el que está basado el protagonista de Braveheart).
Robert Simson
De hecho, el resultado general del que se deriva la aparición de la línea de Simson es el conocido como teorema de Wallace-Simson y nos dice que en realidad la propiedad descrita anteriormente se cumple también a la inversa, es decir:

Teorema: (de Wallace-Simson)

Dado un triángulo ABC y un punto P interior o exterior a dicho triángulo, se cumple que las proyecciones desde P a cada uno de los lados del triángulo son colineales (están en la misma recta) si y sólo si P pertenece a la circunferencia circunscrita al triángulo.

No sé la razón, pero al parecer hubo un momento de la historia en el que se atribuyó este resultado a Robert Simson, cuando en realidad quien lo demostró fue Wallace.

Por cierto, Robert Simson también demostró el siguiente resultado (fue el primero en hacerlo):

Si F_n es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci, entonces:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{F_{n+1}}{F_n}= \phi}

Es decir, que cuanto más avanzamos en la sucesión de Fibonacci los cocientes de términos consecutivos de dicha sucesión se acercan cada vez más a

\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}

¿A que esta cualidad de los términos de la sucesión de Fibonacci os suena más?

Con esta entrada participo en la VIII Edición del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Juan Martínez-Tébar en su blog Los matemáticos no son gente seria.

La foto de Robert Simson la he tomado de aquí.

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