La conjetura del 196

Tomemos un número natural cualquiera, por ejemplo el 75. Invirtamos ahora el orden de sus cifras y sumemos al propio 75 el número resultante:

75+57=132

Volvamos a hacer lo mismo con el 132:

132+231=363

Vaya, en dos pasos hemos llegado a un número capicúa. Probemos con otro mayor, el 145:

145+541=686

En este caso sólo hemos necesitado un paso. Otro ejemplo más, ahora con el 180:

180+081=261; 261+162=423; 423+324=747

Ahora hemos necesitado tres pasos. Un último ejemplo, esta vez con el 196:

196+691=887; 887+788=1675; 1675+5761=7436; 7436+6347=13783 \ldots

Parece que con el 196 la cosa se alarga más que con los anteriores. ¿Cuánto? Ahora lo veremos.

Los números de Lychrel

Los llamados números de Lychrel son los números naturales en base 10 que no llegan a dar un número capicúa como resultado del proceso iterativo descrito en los ejemplos anteriores. Su nombre de debe a Wade VanLandingham, y es una especie de anagrama de Cheryl, el nombre de su novia.

Analizando un poco el tema, es sencillo ver que todos los números de una cifra llegan a un capicúa en un número corto de pasos, por lo que ninguno de ellos es un número de Lychrel. Con los números de dos cifras pasa algo parecido, llegan a un capicúa en pocos pasos, aunque hay algunos casos extraños en los que hace falta un inusual número de repeticiones para llegar al capicúa, como el 89, que necesita 24 iteraciones, dando como resultado el número capicúa

8813200023188

En lo que respecta a un gran número de iteraciones tenemos más ejemplos, como el 10911, que necesita de 55 pasos para llegar al capicúa

4668731596684224866951378664

o el que has 2005 tenía el récord, 1186060307891929990, que tarda la friolera de 261 iteraciones para llegar al número capicúa

44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544

Casi nada.
196Bueno, y la pregunta es: ¿hay algún número de Lychrel? Es decir, ¿hay algún número que no dé un capicúa con este método? Pues…no se sabe. Esto es, no se conoce la existencia de ningún número de Lychrel, pero tampoco se ha demostrado que no existan. Lo que sí tenemos son candidatos a números de Lychrel, es decir, números para los cuales no se han encontrado un capicúa después de muchas iteraciones, pero para los que no se sabe si se encontrará o no. Y el más pequeño de todos ellos es el 196. No es el único, pero el hecho de ser el menor de todos los candidatos a número de Lychrel le hace ser especial. Tanto que el proceso descrito antes, repetir la operación de sumar a cada número obtenido el resultado de invertir el número de sus cifras, se denomina algoritmo 196.

La historia de la búsqueda del capicúa asociado a 196 ha estado ligada, como no podía ser de otra manera, a los ordenadores. John Walker comenzó esta búsqueda en 1987 con un programa creado por él. Después de 3 años de funcionamiento y 2415836 iteraciones el programa había llegado a un número de un millón de dígitos…sin encontrar un capicúa. Walker publicó sus resultados por si alguien quería coger el testigo, hecho que no llegó hasta 1995, año en el que Tim Irvin tomó estos datos y llegó hasta un número de dos millones de dígitos…y el capicúa seguía sin aparecer. Jason Doucette llegó a los 12’5 millones de dígitos en el año 2000 y Wade VanLandingham consiguió llegar después de 724756966 iteraciones hasta un número de 300 millones de dígitos…y ni rastro del capicúa. Por ello, las sospechas de que el número 196 es el primer número de Lychrel son bastante fuertes, pero seguimos sin saber con seguridad si lo es o no. Por cierto, para quien quiera echarle un vistazo aquí os dejo las primeras 200 iteraciones.

Hemos comentado antes que el 196 no es el único candidato a número de Lychrel que se conoce. De hecho hay unos cuantos. Aquí podéis ver los primeros de todos los que se conocen:

\begin{matrix} 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1495, 1497, 1585, \\ 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997, 2494, 2496, 2584, 2586, 2674 \end{matrix}

Hasta tienen un apartado en la Enciclopedia de las Sucesiones, concretamente éste.

Hasta ahora lo único que se ha hecho es utilizar programas de fuerza bruta con algunas modificaciones para que sean más eficientes. ¿Se llegará a un algoritmo que simplifique la búsqueda que consiga llegar a un capicúa con alguno de estos candidatos? ¿Se encontrará algún procedimiento matemático que demuestre que alguno de ellos es efectivamente un número de Lychrel? Quizá nunca lo sepamos.

Fuentes y enlaces relacionados:

  • Lychrel number en la Wikipedia inglesa.
  • Records en la página de Jason Doucette.
  • p196, web de Wade VanLandingham donde podréis encontrar muchos datos e información sobre este curioso número.
  • La imagen está tomada de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. En Números, uno nunca sabe cuándo está jugando y cuándo no…

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  2. A colación de este problema que presentas, se me viene a la cabeza otro algo similar que me propusieron cuando estaba en primero de bachiller. Se lo propuse a todos los catedráticos que pasaron por mis manos, tanto en bachiller como en la carrera de Peritaje Industrial, y ninguno fue capaz de solucionarlo.
    Estuve estudiándolo unos quince años y al final lo solucioné.
    Lo dejo en manos de todos Vdes. para ver si lo solucionan. Luego les daré lo que para mi parecen unas pautas lógicas para la solucionar los números de Lychrel, ya que yo ando muy ocupado con una investigación y no me sobra tiempo para cosas nuevas.
    El problema es el siguiente:
    Se toma un número de tres cifras que no sea capicúa, por ejemplo el 576 y se resta el menor del mayor una vez trastocadas sus tres cifras a inverso:
    675 – 576 = 99
    Este número obtenido se suma con su invertido:

    099 +990 = 1089

    Otro ejemplo:
    842 – 248 = 594
    594 + 495 = 1089

    ¿Porqué da siempre 1089?

    Quizás yo le haya dado demasiada importancia a este problema, pero aquí lo dejo, con el riesgo de hacer el ridículo, ¡que sin atreverse, nada se adelanta!

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    • Es debido a que al realizar la primera resta siempre obtienes un multiplo de 99 y se cumple que los multiplos de 99 siempre suman 1089 con sus inversos debido a que el inverso de 99•n resulta siempre ser 99•(11-n) y por tanto al sumarlos resulta dar 11•99 cuyo valor es efectivamente 1089

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  3. Pues me parece muy interesante lo de los números de Lychrel.
    Sería interesante hacer una demostración de ellos. Esta es una de las noticias buenas para despertar y tomarte el cafesito por la mañana.

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  4. Si haces la resta \left|abc_{(10} - cba_{(10}\right|, teniendo en cuenta a\neq c, te queda 99\left|a-c\right|, es decir, los múltiplos del uno al diez de 99. Además, si te das cuen, para 1\leq k \leq 9, si 99k = \alpha\beta\gamma_{(10}, entonces 99(11-k)=\gamma\beta\alpha_{(10}. Te puedes hacer la lista para comprobarlo, no cuesta mucho.

    Entonces, \alpha\beta\gamma_{(10}+\gamma\beta\alpha_{(10} = 99k + 99(11-k) = 99k + 99.11-99k = 1089.

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  5. Efectivamente, Antonio: Prueba con cualquier base de numeración y siempre te dará un resultado característico en esa base:
    Mira, por ejemplo, en base 7

    341(7 – 143(7 = 165(7
    165(7 + 561(7 = 1056(7

    En base 5 dará: 1034
    En base 6: 1045
    Etc…

    Siempre el central 2 menos que la base, el primero 10 y el último uno menos que la base

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  6. Me ha parecido muy interesante la entrada. Enhorabuena por el blog.

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  7. Me ha gustado mucho. Es del tipo de problemas sencillos de plantear y dificilísimos de resolver.

    Saludos.

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  8. Una cosa que me ha venido a la cabeza, bastante obvia pero que he querido comentar, es que si se encuentra un numero de Lyrchel (por ejemplo el 196), cualquier numero creado a partir de éste por ese proceso será también un numero de Lyrchel.

    Además, como la sucesión es siempre creciente, si se encontrara uno, se probaría que hay infinitos.

    (si, uno de esos casos en que ante un problema se te aparecen infinidad de propiedades interesantes y/o curiosas, y obviamente ninguna de ellas te ayuda a resolverlo)

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  9. Creo que tiene razón Carlos al afirmar que 8899 es un número de LYCHREL. Sin recurrir a dudosos teoremas basta con comprobar que todos los números que se obtienen en las iteraciones impares empiezan con 1 y teminan en 7 y que en las pares empiezan con 9 y terminan en 8 por lo que nunca llegarán a ser capicúas. La conjetura, pues, parece falsa.

    ¿Le compensa a alguien aplicar el método de la fuerza bruta al número 8899 para comprobar que después de millones de iteraciones se siguen repitiendo las cifras extremas en cada par de pasos?

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  10. No hacen falta millones, en la itineración 46 acaba y empieza en 8. La 100 en 3 y 2 respectivamente. La 1000 en 1 y 2, etc….

    Me da a mi que no se cumple.

    Salu2

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  11. Mellon

    Debes revisar numero de entrada, programa o refutar el teorema 8899

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  12. Yo no digo que sea o no sea verdad que el 8899 sea un numero de Lychrel. Si no que no se cumple que todas las itineraciones del 8899 empiecen y acaben en 1 y 7 o 9 y 8.

    Salu2

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  13. Como autor de la “demostración” de que 8899 es número de Lychrel reconozco que Mellor está en lo cierto respecto del comienzo y fin de los resultados de las iteraciones; sin embargo, se abre la posibilidad de hallar candidatos demostrables en calidad de números de Lychrel.

    De otra parte, la Conjetura de Sara evita dedicarse a obtener millones de iteraciones… el inconveniente radica en demostrarla.

    Carlos

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  14. Mellon

    Carlos reconoce su error y la Conjetura de Sara dice que 8899 se debe capicuar, a lo sumo, en 2400 iteraciones si no es número de Lychrel. Te pido el favor de poner a funcionar tu programa e informar si dicho número se palindromiza en menos de 2401 iteraciones.

    De hecho la Conjetura de Sara clasifica a 196 como número de Lychrel, por no palindromizarse en menos de 53 iteraciones.

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  15. Ya lo puse. 100.000 iteraciones y nada. No se “palindromiza”. Pero me dan mas confianza, para afirmar que es un número de Lychrel, mis 100.000 iteraciones que los argumentos de ese documento y todas sus “conjeturas”….

    Salu2

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  16. Mellon

    Te doy millones de gracias y te pido respetuosamente el último favor.

    ¿Entre los números que cumplen con la Conjetura Capicúa existe alguno que se palindromice en más iteraciones que las previstas por la Conjetura de Sara?

    Ninguna conjetura da confianza hasta que sea demostrada o refutada y parece que la Conjetura de Sara es cosa bastante seria; a mi no me dan confianza ni siquiera mil millones de iteraciones… prefiero estudiar las conjeturas y en este caso la fuerza bruta ayuda en la labor.

    Respeto a Carlos y lo felicito por reconocer el error en cuanto a su presunta demostración; no hay humano libre de cometer errores.

    Espero que me disculpes por no disponer de un programa como el tuyo.

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  17. El documento NÚMEROS DE LYCHREL, EXISTENCIA DEMOSTRADA, con el fin de evitar discusiones innecesarias, será reemplazado por NÚMEROS DE LYCHREL Y CONJETURA DE SARA.

    Sin embargo, 8899 queda como firme candidato a número de Lychrel… hasta que alguien, mediante argumentos matemáticos, o mediante la fuerza bruta, demuestre lo contrario…

    Gracias, JJGJJG, Mellon y Javier… el primero aporta los números gallardos que aparecerán en el documento de reemplazo ¡Felicitaciones JJGJJG por su aporte!

    Carlos

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  18. Hola, qué tal?… soy egresada de la Facultad de Ingeniería Industrial, y aficionada a las matemáticas….

    Han notado que algunos de los números de la lista de Lychrel, tienen como diferencia 196… por no decir que quizá tienen mucho q ver… por ejemplo:

    788-592 = 196
    986 – 790 = 196

    No he realizado la prueba xq estoy con prisa… pero si eso no se han dado cuenta… porfas… déjenme patentarlo =).

    Adios! un gustaso… me encantaría conocer gente apasionada a este tema… sumenme, ya seríamos n+1

    Ooohh.. acabo de leer recíen los comentarios… chispas!!!

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