La superficie de un balón de fútbol de los habituales está formado por pentágonos y hexágonos regulares. ¿Qué responderías si te preguntan cuántos de cada tipo forma esa capa exterior? Posiblemente, la respuesta más habitual sería depende (del tipo o del tamaño del balón, por ejemplo). Pues en realidad eso es, en general, cierto para los hexágonos, pero no lo es para los pentágonos.

Aunque al inflarlo toma una forma más esférica (aunque no llega a serlo al 100%), un balón de fútbol de los que todos hemos tenido cerca es, en realidad, un poliedro, concretamente un icosaedro truncado (del cual, por cierto, ya habíamos hablado aquí en un contexto parecido al de hoy). Este poliedro se obtiene cortando en cada vértice de un icosaedro a una altura de un tercio de la arista.

Este icosaedro truncado, uno de los sólidos arquimedianos, consta de 20 hexágonos y 12 pentágonos, todos regulares. Además, es un ejemplo de fullereno, nombre que se le da a los poliedros formados por pentágonos y hexágonos dispuestos de manera que en cada vértice concurren tres polígonos. Por cierto, el nombre de fullereno viene del arquitecto Richard Bucminster Fuller.

Al ser en realidad un poliedro convexo, un fullereno (en concreto, un balón de fútbol), cumple la conocidísima fórmula de Euler, que dice lo siguiente:

En un poliedro convexo, si llamamos C a su número de caras, A a su número de aristas y V a su número de vértices, se cumple que:

C-A+V=2

Imaginemos que el fullereno tiene P pentágonos y H hexágonos regulares, P+H caras en total.

El número de aristas se podría calcular así: como por cada pentágono tenemos 5 aristas y por cada hexágono hay 6, tendríamos 5P+6H aristas. Pero cada arista pertenece a dos polígonos, por lo que en realidad tenemos la mitad de ese número: \frac{5P+6H}{2} aristas.

¿Y cuántos vértices? Pues, de manera análoga, tendríamos 5P+6H vértices. Pero en cada uno de ellos concurren tres polígonos, por lo que hay que dividir ese número entre 3. Entonces, en total tenemos \frac{5P+6H}{3} vértices.

Con estos datos, obliguemos ahora a nuestro fullereno a que cumpla la fórmula de Euler:

\begin{matrix} C-A+V=P+H-\cfrac{5P+6H}{2}+\cfrac{5P+6H}{3}= \\ \\ =\cfrac{6P+6H-15P-18H+10P+12H}{6}=\cfrac{P}{6}=2 \Longrightarrow \mathbf{P=12} \end{matrix}

Esto es, en cualquier fullereno siempre habrá 12 pentágonos, independientemente del número de hexágonos que tenga. Evidentemente, el número de hexágonos no puede ser cualquiera, pero sí puede variar. El caso extremo (por abajo) sería el dodecaedro, que tiene 12 pentágonos y 0 hexágonos; y, aparte del propio balón de fútbol (12 pentágonos y 20 hexágonos), podríamos formar, por ejemplo, un fullereno con sus 12 pentágonos y 260 hexágonos. Aquí tenéis los dos:

Por tanto, ya podemos responder a la pregunta del título: un balón de fútbol tiene exactamente 12 pentágonos, y si lo construimos siempre con una estructura análoga no podrá tener ni más ni menos de 12.

Fuentes:

  • An Even Dozen, artículo de Futility Closet en el que vi este tema y me animó a escribirlo también por aquí.
  • Euler y un balón de fútbol, artículo de José Ignacio Royo Prieto y Martín Saralegi Aranguren.
  • Fullereno en la Wikipedia en español (de donde he sacado las imágenes de los fullerenos de 20 y 260 hexágonos).

La imagen principal la he tomado de aquí, y la del balón desgastado, de aquí.

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