Hoy, día de la semana dedicado a problemas, os dejo otro junto con su solución para que lo analicemos:

Problema: Una bolsa contiene dos fichar de las que nada sabemos salvo que cualquiera de ellas puede ser blanca o negra. Adivinar sus colores sin sacarlas de la bolsa.

En principio, tal cual está planteado, la cosa parece imposible. Pero Lewis Carroll nos deja esta solución:

Solución: Sabemos que si una bolsa contiene 3 fichas, dos de ellas negra y la otra blanca, la probabilidad de sacar una negra es \textstyle{\frac{2}{3}}, y que cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad.

Llamemos N a bola negra y B a bola blanca. Las probabilidades de que la bolsa dada contenga NN, NB o BB son, respectivamente, \textstyle{\frac{1}{4}, \frac{1}{2}} y \textstyle{\frac{1}{4}}.

Añadimos una ficha negra.

Ahora las probabilidades de que la bolsa contenga NNN, NBN o BBN son, como antes, \textstyle{\frac{1}{4}, \frac{1}{2}} y \textstyle{\frac{1}{4}}.

Por la tanto la probabilidad de sacar una negra ahora es:

\cfrac{1}{4} \cdot 1 + \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2}{3} + \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{1}{3} = \cfrac{2}{3}

Por lo tanto la bolsa contiene ahora NNB (pues, como dijimos antes, cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad).

En consecuencia, como añadimos una ficha negra, al comenzar teníamos NB, es decir, una ficha negra y otra blanca.

Bien, ahora viene la pregunta: ¿significa esto que siempre que tengamos una bolsa con dos fichas cada una de las cuales puede ser blanca o negra en realidad tendremos exactamente una blanca y una negra? ¿No parece extraño? ¿Hay algún error en el razonamiento de Lewis Carroll? A mí, la verdad, no me cuadra demasiado el tema. Espero vuestras opiniones.

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