Hoy, día de la semana dedicado a problemas, os dejo otro junto con su solución para que lo analicemos:
Problema: Una bolsa contiene dos fichar de las que nada sabemos salvo que cualquiera de ellas puede ser blanca o negra. Adivinar sus colores sin sacarlas de la bolsa.
En principio, tal cual está planteado, la cosa parece imposible. Pero Lewis Carroll nos deja esta solución:
Solución: Sabemos que si una bolsa contiene 3 fichas, dos de ellas negra y la otra blanca, la probabilidad de sacar una negra es
, y que cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad.
Llamemos
a bola negra y
a bola blanca. Las probabilidades de que la bolsa dada contenga
,
o
son, respectivamente,
y
.
Añadimos una ficha negra.
Ahora las probabilidades de que la bolsa contenga
o
son, como antes,
Por la tanto la probabilidad de sacar una negra ahora es:
Por lo tanto la bolsa contiene ahora
(pues, como dijimos antes, cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad).
En consecuencia, como añadimos una ficha negra, al comenzar teníamos
Bien, ahora viene la pregunta: ¿significa esto que siempre que tengamos una bolsa con dos fichas cada una de las cuales puede ser blanca o negra en realidad tendremos exactamente una blanca y una negra? ¿No parece extraño? ¿Hay algún error en el razonamiento de Lewis Carroll? A mí, la verdad, no me cuadra demasiado el tema. Espero vuestras opiniones.
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Yo creo que el problema no tiene solución única, pueden ser las dos negras, las dos blancas o una de cada. El fallo que le veo a la solución de Lewis es que está suponiendo de antemano muchas cosas, como que esas dos fichas provienen de 3 fichas, y que esas fichas eran NNB. Haciendo lo mismo que Lewis, podemos suponer que si tiene 3 fichas blancas, la probabilidad de sacar una blanca es 1, y al añadir una blanca la probabilidad de sacar una blanca es 1, y como hemos añadido una blanca, antes había dos blancas. Y podemos… Lee más »
Acabo de empezar 2º de Matemáticas y aún no he tocado el cálculo de probabilidades, así que lo analizaré «intuitivamente» 😛 Creo que el fallo está en la parte en negrita «cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad». En este caso eso es cierto en el caso de que conozcamos de antemano el valor de las 3 fichas. En los casos NNN, NBB y BBB (y permutaciones) es claro que la probabilidad de sacar N es distinta de 2/3. Sin embargo, como en el caso que propone Carroll, desconocemos el valor de dos de las fichas, tenemos NXY,… Lee más »
Claramente, este el problema de Monty Hall al revés. La probabilidad no la define un estado, si no la información o falta de ella (incertidumbre) que tenemos sobre el estado. Lógicamente, si veo 3 bolas, se los colores con probabilidad 1, sean cuales sean. En el segundo caso, conoces exactamente 2 de las bolas, luego las probabilidades cambian, lógicamente. La «creencia», que así se llama a la probabilidad de un estado, depende de lo que hayamos visto. No es mas que probabilidades condicionales y regla de Bayes. Me extraña que Carroll no viese este error siendo que vivió 100 años… Lee más »
El primer caso es el cálculo de probabilidades sabiendo que en la bolsa hay dos N y una B. Cuando dice que «cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad», se refiere a cualquier otro estado de cosas en que se conozca el color de las tres fichas de dentro de la bolsa. El segundo caso es el cálculo de probabilidades sabiendo que una ficha es con seguridad N y sin saber nada de las otras dos. Por tanto es un cálculo que parte de una menor información disponible sobre el interior de la bolsa. Da la casualidad que… Lee más »
Imagino que el quid de la cuestión es el siguiente: 2/3 es la «probabilidad de sacar negra» (N) si «la bolsa contiene NNB» (NNB) ( P(N|NNB) = 2/3 ). mientras que el otro caso es: P(N|N??) = P(N|NNB) * P(NNB) + P(N|NNN) * P(NNN) + P(N|NBB) * P(NBB) = 2/3 El hecho de que P(N|N??) = P(N|NNB) es meramente casual y la inferencia P(N|N??) = P(N|NNB) N?? = NNB es la que no es correcta ya que el resultado no se deriva del estado en que se encuentra la bolsa (NNN, NBN o NBB) sino de las probabilidades de sus… Lee más »
Hola, dos cosas: 1) si inicialmente no se conoce nada sobre el contenido de la bolsa, no me queda claro que la configuración de probabilidades tenga que ser . Para mí BN y NB es el mismo caso, y por tanto la configuración de probabilidades sería uniforme (1/3 en cada caso: 2 negras, 1 negra, 0 negras). De todos modos esto no es relevante para resolver la paradoja. 2) si se sabe que la bolsa con 3 bolas contiene al menos una bola negra entonces vale que la probabilidad de sacar bola negra es 2/3. Sin embargo el error está… Lee más »
La verdad ,temo quedar como un estupido con la respuesta pero quizas la conclusion se refiera al estado dual de las cosas,es decir al hecho de que tenemos dos colores.
Nopse, la verdad es que la probabilidad y sus calculos me son esquivos.
Por cierto,excelente pagina,es muy interesante.
En cuanto a lo planteado por ^DiAmOnD^, Toro Sentado lo ha explicado perfectamente, y también M en su punto 2). Añadir más a esto, creo que sería ruido. Y el punto 1) de M, pues depende, pero si no me dicen nada más al plantearme el problema yo tengo que suponer que la probabilidad es 1/4, 1/2, y 1/4 para NN, BN y BB. Es que si nos dicen que una persona elige entre tres opciones: tomar dos negras, tomar dos blancas, o tomar una blanca y otra negra y meterlas en una bolsa, pues entonces sí, es 1/3 para… Lee más »
Hola, el problema pide que adivinemos, perdón, pero en estadística y probabilidad como mucho se infiere, pero…¿adivinar? ¿Qué solución puede tener el problema? Pues tan sencillo como sus tres posibles casos: BB, NN, BN (el NB es el mismo que el BN); así que si alguien es un genio que «me adivine» el color de las fichas en la bolsa, ya pueden hacer todos los cálculos que quieran, porque si lo «adivinan» es de pura casualidad. Es como el típico experimento de lanzar una moneda bien construida e ir anotando los casos que se suceden durante los respectivos lanzamientos, por… Lee más »
La trampa está claramente en la frase «cualquier otro estado de cosas no daría esa probabilidad». Es sólo cierta si planteamos los posibles grupos de bolas negras y blancas… pero no es algo cierto en general, es decir, si la probabilidad no es debida a los grupos de bolas (el que haya 2 negras y una blanca) el hecho de haber esa probabilidad no implica que haya 2 negras y una blanca. Por ejemplo: tiramos un dado y si sale mayor que 2 (probabilidad 2/3) metemos 3 bolas negras, en caso contrario metemos 3 bolas blancas. La probabilidad en este… Lee más »
Yo creoque lo que demuestra Lewis Carroll no es que siempre hay una blanca y una negra, sino que esta es la posibilidad más probable.
yo creo que la trampa esta cunado empieza a definir la probabilidad de que la bolsa contenga NN, NB o BB.
Es decir, imaginen una bolsa vacia y empiezen a cargarla. Suena logico q NN sera 1/4 NB 1/2 y BB 1/4, pero no es cierto, quien dice que cuando la estabamos cargando teniamos fuera infinitas bolitas balncas y negras.
No veo la necesidad de un razonamiento tan «intrincado». Yo lo veo simplemente como (perdonad si son obviedades): 1. Existen unas fichas. 2. Estas fichas tienen una cualidad llamada Color. 3. Color puede tomar los valores blanco o negro. 4. La probabilidad de que Color tome cualquiera de los dos valores es la misma, de 1/2 para cada posible valor que pueda tomar la variable. La probabilidad de que ambas fichas sean del mismo color es: (1/2)*(1/2) = 1/4 La probabilidad de que sean de diferente color: La primera que saquemos blanca y la segunda negra: (1/2)*(1/2)=1/4 La primera que… Lee más »
Hola, es la primera vez que leo tu blog y me encanta. Me gustaría «mojarme» y dar mi interpretación. Aunque ya no recuerdo las fórmulas de estadística, sí sé que hay una diferencia entre la probabilidad de un suceso dado y la probabilidad del mismo suceso cuando se conocen datos anteriores al mismo. Me da la impresión de que ese es el paso que Carroll está obviando. Desde la primera frase, en que Carroll dice que «la probabilidad de sacar una bola negra de una bolsa de 3 bolas es », ya lo dice conociendo a priori los colores de… Lee más »
voy a pecar de simple, pero yo ahí simplemente veo que la probabilidad de sacar una bola negra de una bolsa al azar de 4 (cuatro) bolsas que contienene las combinaciones NNN, NNB, NNB, NBB, es 2/3 y coincide (aquí está la trampa) con la probabilidad de sacar una bola al azar y que esta sea negra de una bolta tipo NNB
(si meto la pata, lo siento, pero hoy estoy muy espeso)
Hola a todos. Les tengo una consulta que no me deja tranquilo. Llamamos L{U,V} al conjunto de las aplicaciones lineales de U en V. Cuando son de dimensión finita se cumple que: dimL{U.V}=dimU*dimV. Esto es un hecho elemental. Sin embargo para probarlo he notado que hacen uso la la función delta, volviendo la prueba engorrosa. ¿Existe una prueba más sencilla?. Gracias de antemano…
Lo peor de todo es que las 2 bolas pueden ser blancas hasta que al introducir nuestra mano y tomar una notamos que es negra.
Adentro hay un gato medio muerto medio vivo con un tatoo que dice «Schrödinger» en el pecho.
Creo que la experiencia demuestra lo contrario. Al tener 2 bolas que pueden ser de cualquier color, las probabilidades son NN: 0.25 BB: 0.25 y NB: 0.5. Es decir evaluando viendo las 2 bolas al mismo tiempo. Por lo tanto no hay un estado con probabilidad 1 tal que se pueda asegurar algun estado. Carroll hace una estrategia de agregar una bola negra, que me parece correcta, pero lo que el calcula es el valor esperado; es decir el valor mas probable para que una bola sea negra. Este valor esperado (que en una nube de puntos seria la media)… Lee más »