Nada más terminar 2023, desde Gaussianos quiero desearos que hayáis tenido unas muy Felices Fiestas y que este nuevo año 2024 sea muy feliz para todos vosotros. Vivimos épocas complicadas en muchos sentidos, pero eso no significa que no podamos conseguir que este 2024 sea un buen año para todos. Con las aportaciones de cada uno de nosotros, ese objetivo estará más cerca.

Como este año pasado año 2023 ha sido, sin lugar a dudas, el año de la inteligencia artificial, he querido ilustrar esta primera entrada de 2024 con una imagen creada con IA (el texto se lo he añadido yo después). Más concretamente, la imagen central es la interpretación que ha hecho el creador de imágenes de Bing de una banda de Möbius sobre un poliedro de caras de cristal transparente (después, la he ampliado hacia los laterales con la herramienta Uncrop de Clipdrop). Me he decantado por la que veis, pero la verdad es que podía haber tomado cualquiera de las que generó, porque todas quedaron bastante bien.

Bueno, vamos al tema. Como llevo haciendo en los últimos años, a continuación os dejo unas cuantas curiosidades del número 2024 recopiladas de distintas fuentes. Seguro que algunas ya las habéis visto en webs y redes sociales durante estos días, pero espero que podáis encontrar por aquí alguna que sea nueva e interesante para vosotros.

Comienzo con una que comparte con el recién terminado 2023: 2024 es un año harshad. Decimos que un número es un número harshad (o número de Niven) si puede dividirse de forma exacta entre la suma de sus dígitos, y 2024 lo es:

\cfrac{2024}{2+0+2+4}=\cfrac{2024}{8}=253

Estos números fueron definidos por D. R. Kaprekar (sí, el de la constante de Kaprekar), y su denominación proviene del sánscrito y significa algo así como «que da alegría». También se llaman números de Niven, debido a un trabajo de Ivan M. Niven de 1977 sobre ellos.

Como decía, el año pasado fue un año harshad (2023 es divisible entre 2+0+2+3=7), y también lo fue el anterior (2022 es divisible entre 2+2+0+2=6) y lo será el siguiente, pero no lo serán ni 2026 ni 2027. Tenéis más de estos números en la secuencia A005349 en la OEIS.

Claramente, es un número par y compuesto, al ser 2024=2^3 \cdot 11 \cdot 23. Además, es un número abundante, ya que la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto él mismo) es mayor que el número en cuestión:

\begin{matrix} \mbox{Divisores de } 2024: \, 1, 2, 4, 8, 11, 22, 23, 44, 46, 88, 92, 184, 253, 506, 1012, 2024 \\ \\  1+2+4+8+11+22+23+44+46+88+92+184+253+506+1012=2296 > 2024 \end{matrix}

También es un número odioso (al igual que 2023), ya que su expresión en binario tiene un número impar de unos:

2023=11111101000_{(2}

Por otra parte, es un número práctico, ya que todo número entero positivo menor que 2024 puedes escribirse como suma de divisores del propio 2024. Pero, por otro lado, es un número intocable, ya que 2024 no puede escribirse como suma de los divisores propio de ningún otro número entero positivo.

Al ser 2024=45^2-1, es un número de Cunningham, ya que puede escribirse como uno más o uno menos que una potencia:

C^+(b,k)=b^k+1 \qquad C^-(b,k)=b^k-1

Los números de Fermat y los números de Mersenne son casos concretos de los números de Cunningham.

Llevamos ya unas cuantas propiedades, pero todavía quedan:

  • Tras cuatros años consecutivos que sí lo eran, 2024 no es un número congruente (es decir, no es el área de ningún triángulo rectángulo de catetos racionales). El próximo año que corresponderá con un número congruente será 2029. Más información en la secuencia A003273 en la OEIS.
  • Al igual que 2023, el número 2024 es un número educado (en inglés, polite number), ya que puede expresarse como suma de dos o más enteros positivos consecutivos. En este caso, puede hacerse de tres formas:

    \begin{matrix} 2024=179+180+181+182+183+184+185+186+187+188+189 \\ \\ 2024=119+120+121+122+123+\ldots+130+131+132+133+134 \\ \\ 2024=77+78+79+80+81+82+\ldots+94+95+96+97+98+99 \end{matrix}

  • Junto al 2295, forma un pareja de números prometidos, ya que la suma de los divisores propios de cada uno de ellos es una unidad menos que el otro número.

En relación con potencias y sumas de potencias, tenemos un par de ellas que son bastante curiosas:

  • 2024 es una potencia apocalíptica, ya que 2^{2024} contiene la cadena 666 entre sus dígitos:

    2^{2024}=1926243667084634 \ldots 0030053\mathbf{666}06165 \ldots 655114031497216

  • 2024 puede escribirse como suma de los cubos de ocho números consecutivos:

    2024=2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3

  • Además, 2024 puede escribirse como suma de los cuadrados de los primeros once enteros positivos pares:

    2^2+4^2+6^2+8^2+10^2+12^2+14^2+16^2+18^2+20^2+22^2=2024

Vamos ahora con las relacionadas con las ternas pitagóricas, que sabéis que por aquí gustan muchos:

El número 2024 no es hipotenusa de ninguna terna pitagórica. El año anterior sí lo fue, (de dos, exactamente) y el próximo también lo será.

Ahora, 2024 es miembro de nada menos que veintidós ternas pitagóricas, siendo el cateto más grande en cuatro de ellas y el más pequeño en las dieciocho restantes. De esas veintidós ternas, son primitivas (esto es, no hay ningún factor común a sus tres elementos) las cuatro que veis a continuación:

\begin{matrix}(1407,2024,2465) \\ (2024,8343,8585) \\ (2024,63993,64025) \\ (2024,1024143,1024145) \end{matrix}

En esta entrada de MatesCercanas, tenéis todas las ternas, y en otras sus entradas tenéis más curiosidades de 2024. En Gaussianos, tenéis más sobre ternas pitagóricas.

Pero aún hay más. ¿Por qué he llamado número poliédrico a este 2024? Por las dos propiedades siguientes:

Un número triangular representa un número de puntos que se pueden disponer formando un triángulo equilátero. El n-ésimo número triangular, T_n, tendrá n puntos en cada uno de los lados del triángulo. La fórmula que genera estos números, para n \geq 1, es:

T_n=\cfrac{n(n+1)}{2}

Bien, pues se tiene que 2024 es la suma de todos los números triangulares desde n=1 hasta n=22, lo que lo convierte en un número tetraédrico (o número piramidal triangular)

2024=T_1+T_2+T_3+T_4+ \ldots +T_{20}+T_{21}+T_{22}

Estos números tetraédricos puedes generarse mediante el siguiente número combinatorio:

a(n)={n+2 \choose 3}

Para n=22, obtenemos nuestro 2024. El siguiente número tetraédrico es el 2300, por lo que (creo que) ya no veremos ninguno más en lo que nos queda de vida.

Que sea un número tetraédrico implica, entre otras cosas, que se pueden disponer 2024 bolas en forma de tetraedro con T_{22} bolas en la base, T_{21} bolas encima de las anteriores, y así sucesivamente. Os dejo un bonito gif que Ignacio Larrosa nos dejó el otro día en el grupo de Telegram Retos Matemáticos:

Tetraedro con 2024 esferas

Por otro lado, 2024 es un número dodecaédrico, lo que quiere decir que podemos disponer 2024 bolas formado un dodecaedro (de manera similar al tetraedro en el caso de los números tetraédricos). Dicho números pueden generarse mediante el siguiente número combinatorio:

D(n)={3n \choose 3}

El 2024 aparece para n=8. En este caso, no he encontrado una imagen que nos ayude a visualizar esta situación. Si alguien tiene o encuentra alguna, estaré muy agradecido si nos la deja en los comentarios. Estos números, como no podía ser de otra forma, también aparecen en la OEIS: secuencia A006566.

Y un par de configuraciones más que me han gustado y que dan como resultado 2024:

\begin{matrix} (20+24)+(20+24) \cdot (20+24)+(20+24)=2024 \\ \\ (10+(9+8 \cdot 7) \cdot 6) \cdot 5+4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=2024 \end{matrix}

Para terminar, os dejo este enlace de la página de Inder J. Taneja con muchas más curiosidades numéricas de 2024 y de 24: Mathematical Aspects of 24 and 2024.

Y si conoces más propiedades numéricas curiosas y/o interesantes de este nuevo año que comienza, no dudes en dejárnoslas en los comentarios de esta entrada. Muchas gracias a todos.


Fuentes:


Curiosidades de otros años publicadas en el blog:

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