La «otra» conjetura de Goldbach

Estoy seguro de que la gran mayoría de las personas que lleguen a leer este artículo sabían ya de la existencia de la archiconocida conjetura de Goldbach. Incluso estoy convencido de que muchos también habrán oído/leído sobre la llamada conjetura débil de Goldbach, demostrada por Harald Helfgott en 2013…

…pero hoy no estamos aquí para hablar de ellas, sino de otra conjetura de Goldbach mucho menos conocida: la «otra» conjetura de Goldbach.

Hasta donde se sabe actualmente (al menos, hasta donde yo sé), esta conjetura sale a la luz por primera vez en una carta que Christian Goldbach envía a Euler el 18 de noviembre de 1752 (por tanto, con posterioridad a la carta en la que presentaba su conjetura más famosa, que data de 1742). En el último párrafo de la misma, Goldbach nos deja su «otra» conjetura:

Esto es, Goldbach conjeturaba que todo número entero positivo impar era igual a siendo un entero no negativo y un número primo o el 1.

Como en todas las conjeturas numéricas de este tipo, es interesante probar con números pequeños a modo de ejemplo. Os dejo unos cuantos:

Podéis probar vosotros mismos con otros números, o buscar formas alternativas para los que os he dado yo, ya que para muchos de ellos hay varias formas de expresarlos como hemos comentado. Por ejemplo, aquí tenéis otra forma para el 9:

De hecho, el número de formas en las que podemos realizar esta representación forma la secuencia A046921 en la OEIS.

Bueno, volvamos al tema. Como no podía ser de otra forma, Euler se interesa por esta conjetura (es un auténtico ejercicio de investigación buscar algún tema de ciencia en general y matemáticas en particular que no interesara a este monstruo…) y poco menos de un mes después, el 16 de diciembre de 1752, envía una carta-respuesta a Goldbach anunciándole que había comprobado que su conjetura era cierta hasta el número 1000. Más tarde, concretamente el 3 de abril de 1753, Euler envía una nueva carta a Goldbach donde le confirma que su conjetura era cierta hasta el número 2500. Además, Euler también comenta que conforme aumenta el número impar, el número de representaciones tiende también a aumentar.

Tuvo que pasar más de un siglo para que se conociera un nuevo avance sustancial en el estudio de esta conjetura. Y fue el matemático alemán Moritz Stern quien lo hizo, y bien gordo.

En 1856, Stern «se carga» la conjetura. Con la ayuda de sus estudiantes, consigue estudiar la conjetura hasta el número 9000 y encuentra dos contraejemplos: el 5777 y el 5993. Se acabó lo que se daba: la «otra» conjetura de Goldbach solamente duró unos 100 años.

Pero, como pasa casi siempre en matemáticas, el final de un problema es el comienzo de otros. Hasta donde yo sé, esos dos números (5777 y 5993) son los únicos contraejemplos de la «otra» conjetura de Goldbach que se conocen en la actualidad. En relación con esto, hay una pregunta interesante para la cual todavía no tenemos respuesta:

¿Existen infinitos contraejemplos para esta conjetura de Goldbach? ¿O, por el contrario, hay un número finito de ellos?

Gracias al trabajo de Stern en relación con esta conjetura, los números primos que no pueden escribirse como suma del doble de un cuadrado y otro primo se denominan primos de Stern (en este caso, ya no consideramos al 1 como primo). Los primeros primos de Stern son los siguientes:

Buenos, los primeros y los únicos que se conocen (el 5777 y el 5993 tampoco pueden expresarse de esa forma, como hemos comentado ya, pero no son primos). Poco más se sabe de ellos, salvo que si existe algún otro primo de Stern, éste debe ser mayor que . Por ello, y por algunas otras razones, se estima que hay un número finito de primos de Stern.

Y, para terminar, una curiosidad. Moritz Stern no es un personaje nuevo para este blog, ya habíamos hablado de él hace un tiempo. ¿Alguien se acuerda? ¡Correcto! Es uno de los protagonistas del árbol de Stern-Brocot. Si no sabéis qué es, os recomiendo que le echéis un vistazo.

Volví a recordar esta conjetura poco conocida de Goldbach después de leer este artículo en Fermat’s Library.

Esta entrada participa en la Edición 9.4 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza este humilde blog.

La imagen principal del artículo la he tomado de aquí, y la de Stern de aquí.