Siempre me ha gustado la expresión «Matando moscas a cañonazos». Me parece que describe muy bien las situaciones en las que se suele utilizar y es aplicable en muchas ocasiones en cualquier ámbito de nuestra vida. ¿En matemáticas también? Claro, en matemáticas también, evidentemente. En este post vimos un buen ejemplo que usaba el último teorema de Fermat para demostrar algo muy simple, y hoy vamos a ver otro aún más sangrante.

Sin paños calientes, veamos el enunciado del teorema que vamos a demostrar:

Teorema:

El número 5!/2 es par.

Sencillo, ¿verdad?, tanto su planteamiento como su demostración. ¿Se os ocurre alguna manera de demostrarlo que pueda entrar dentro de matar moscas a cañonazos? Pensad…aunque seguro que no encontráis una como la siguiente:

Demostración:

Sabemos que el grupo de las permutaciones de los primeros n enteros positivos, S_n, tiene n! elementos, y que A_n, el subgrupo formado por las permutaciones pares también llamado grupo alternado, tiene la mitad de las permutaciones de S_n, por lo que el orden de A_n es n!/2. Por tanto, para n=5 tendremos que el orden de A_5 es 5!/2.

Sabemos también que A_5 es un grupo no abeliano. Y además también sabemos que A_5 es un grupo simple (es decir, un grupo que no tiene subgrupos normales propios). Estos dos hechos, ser simple y no abeliano, implican que A_5 no es resoluble.

Pero por otro lado tenemos el teorema de Feit-Thompson, uno de los trabajos matemáticos de mayor extensión entre los publicados hasta la fecha (el paper final tenía 255 páginas, aunque no llegue al nivel de la demostración más larga del mundo) demostrado por Walter Feit y John Griggs Thompson a principios de la década de los 60 del siglo XX. Este teorema dice que todo grupo finito de orden impar es resoluble.

Ya está todo. Si 5!/2 fuera impar, tendríamos que A_5 es resoluble, por aplicación directa del teorema de Feit-Thompson. Pero sabemos que en realidad A_5 no es resoluble, por ser no abeliano y simple. Por tanto, el orden de A_5, esto es, 5!/2, es obligatoriamente un número par.

Hala, demostrado…pero claramente a cañonazo limpio. Con lo fácil que sería calcular directamente el número

\cfrac{5!}{2}=\cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2}=60

que, evidentemente, es un número par…

A ver a quién se le ocurre, o quién conoce, alguna otra demostración a la que se le pueda aplicar la expresión matando moscas a cañonazos.

La idea de esta entrada está tomada de este post de Le Gauss.

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