Longitud en relación con el rectángulo

Vamos con el problema de esta semana, más geométrica que de costumbre:

Dado un rectángulo ABCD, extendemos el lado AB hasta un punto E para que se cumpla que BE=BC. Dibujamos ahora la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AE (cuyo centro es O, el punto medio de dicho segmento) y extendemos después el lado BC del rectángulo inicial hasta que corte a la circunferencia como se muestra en la figura:

La cuestión a responder es la siguiente: ¿qué relación hay entre la longitud del segmento BF así construido con el rectángulo inicial?

Que se os dé bien.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comments

  1. AFE, forman un triángulo rectángulo (no me acuerdo que Teorema es)

    por el teorema de la altura ab * be = BF * BF

    como BE = BC

    ab * bc = BF * BF

    BF es la raíz cuadrada del área de ese rectángulo.

    ¿Está bien?

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  2. Pues el segmento es la raíz cuadrada del área del rectángulo, ya que tal y como hemos hecho la construcción resulta que BF es la media geométrica de AB y BE=BC.

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  3. Creía que en vez de un problema se estaba demostrando el teorema de la altura

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  4. De paso aprovechamos para cuadrar el rectángulo

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  5. La distancia  OF es igual al radio de la circunferencia, es decir

     OF = \frac {AF}{2} = \frac {AB + BE}{2} = \frac {AB + BC}{2}

    y ademas es la hipotenusa del triangulo  OBF

    El lado  OB (que es un cateto del triangulo  OBF ) es

     OB = AB - \frac {AF}{2} = AB - \frac {AB + BC}{2} = \frac {AB - BC}{2}

    Tomando como que el area del rectangulo es  S = AB \cdot BC

    y, con pitagoras:

     BF = \sqrt {OF^2 - OB^2} = \sqrt {(\frac {AB  + BC}{2})^2 - (\frac {AB  -  BC}{2})^2}= \frac {\sqrt{(AB + BC)^2 - (AB - BC)^2} }{2} = \frac {\sqrt{4 AB \cdot BC}}{2} =\sqrt{AB \cdot BC} = \sqrt {S}

    Por lo tanto el lado BF es la raiz cuadrada del area del rectangulo.

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  6. El angulo AFE es recto por el lugar geometrico de Thales… Por geometria analitica da lo mismo. 🙂

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  7. Según el teorema de Pitágoras que todos conocemos:

    AE^2 = AF ^2 + EF ^2

    Pero hay uno menos conocido, que es el Teorema inverso de Pitágoras, por lo que la altura al cuadrado, es igual a la suma inversa de los cuadrados de los catetos:

    BF^2 = AF ^2 ║ EF ^2

    La operacion ║ representa la suma inversa, que se define como:

    x ║ y = 1/(1/x+1/y)

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  8. El lado BF es el lado de un cuadrado de la misma área que el rectángulo.

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  9. La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $\frac{FB}{AB}=\frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
    Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!

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  10. Va de nuevo:
    La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $frac{FB}{AB}=frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
    Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!

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  11. La realidad es que no puedo escribir esto de manera elegante, lástima

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  12. Juan Pablo, es que tras el primer símbolo $ hay que poner ‘latex’. Y los códigos latex empiezan por ‘\’. Veamos ahora:

    =========================
    Va de nuevo:
    La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que  \frac{FB}{AB}=\frac{BE}{FB}, de aquí que (FB)^2=AB\cdot{BE} y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que (FB)^2 = AB \cdot BC = Área rectángulo ABCD.

    Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!
    =========================

    Y hablando de cuadrar el rectángulo, asi calculamos el lado del cuadrado equivalente … ¿pero como lo cuadramos «físicamente»? Quiero decir, cortanto en trozos y volviendolos a unir de otra forma. ¿Cuántos trozos hacen falta y como son?

    Depende de la proporción entre los lados, claro.

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  13. ¡Dejémonos de «caralladas»! . Efectivamente es el problema: Determinar el área del cuadrado equivalente a la del rectángulo de lados a y b. Propondría la cuadratura del círculo con mucha aproximación – a ver quién se aproxima más- solucionando cor regla y compás. ¡Atención! , la regla no está graduada

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  14. Lo de Ignacio Larrosa sobre la disección física del rectángulo para la confección del cuadrado es una «pasada»y un incentivo para engancharse a Gaussianos. Mi enhorabuena.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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