Vamos con el problema de esta semana, más geométrica que de costumbre:
Dado un rectángulo
, extendemos el lado
hasta un punto
para que se cumpla que
. Dibujamos ahora la circunferencia cuyo diámetro es el segmento
(cuyo centro es
, el punto medio de dicho segmento) y extendemos después el lado
del rectángulo inicial hasta que corte a la circunferencia como se muestra en la figura:
La cuestión a responder es la siguiente: ¿qué relación hay entre la longitud del segmento
así construido con el rectángulo inicial?
Que se os dé bien.
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AFE, forman un triángulo rectángulo (no me acuerdo que Teorema es)
por el teorema de la altura ab * be = BF * BF
como BE = BC
ab * bc = BF * BF
BF es la raíz cuadrada del área de ese rectángulo.
¿Está bien?
Sí, está bien, creo.
Otra visión: BF es media geométrica de los lados.
Representación gráfica de la media aritmética (A), geométrica (G) y armónica (H) de los dos lados (a=AB y b=BE=BC):
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:MathematicalMeans.svg
Es el teorema del arco capaz.
Pues el segmento es la raíz cuadrada del área del rectángulo, ya que tal y como hemos hecho la construcción resulta que BF es la media geométrica de AB y BE=BC.
Creía que en vez de un problema se estaba demostrando el teorema de la altura
Este es el procedimiento clásico para hallar la media geométrica, o medio proporcional, de dos segmentos:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Medias0.html
Ahí se comparan además las medias armónica, geométrica, aritmética y cuadrática.
De paso aprovechamos para cuadrar el rectángulo
La distancia
es igual al radio de la circunferencia, es decir
y ademas es la hipotenusa del triangulo
El lado
(que es un cateto del triangulo 
) es
Tomando como que el area del rectangulo es
y, con pitagoras:
Por lo tanto el lado BF es la raiz cuadrada del area del rectangulo.
Información Bitacoras.com…
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El angulo AFE es recto por el lugar geometrico de Thales… Por geometria analitica da lo mismo. 🙂
Según el teorema de Pitágoras que todos conocemos:
AE^2 = AF ^2 + EF ^2
Pero hay uno menos conocido, que es el Teorema inverso de Pitágoras, por lo que la altura al cuadrado, es igual a la suma inversa de los cuadrados de los catetos:
BF^2 = AF ^2 ║ EF ^2
La operacion ║ representa la suma inversa, que se define como:
x ║ y = 1/(1/x+1/y)
Por cierto, saqué el problema de aquí.
El lado BF es el lado de un cuadrado de la misma área que el rectángulo.
La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $\frac{FB}{AB}=\frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!
Va de nuevo:
La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que $frac{FB}{AB}=frac{BE}{FB}$, de aquí que $(FB)^2=AB\cdot{BE}$ y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que $(FB)^2=AB\cdot{BC}=Área rectángulo ABCD$
Por lo que tenemos el modo de cuadrar un rectángulo!!!
La realidad es que no puedo escribir esto de manera elegante, lástima
Juan Pablo, es que tras el primer símbolo $ hay que poner ‘latex’. Y los códigos latex empiezan por ‘\’. Veamos ahora: ========================= Va de nuevo: La longitud del segmento FB es la media geométrica entre la medida del segmento AB y el segmento BE; por otro lado, dado que el ángulo AFE es recto por estar inscripto en una semicircunferencia, tenemos que los triángulos AFB y FBE son semejantes. Así se satisface que , de aquí que y dada la equivalencia de los segmentos BE y BC, reescribiendo tenemos que = Área rectángulo ABCD. Por lo que tenemos el… Lee más »
Aqui se ve como cuadrar un rectángulo por disección, cortándolo en![2 + [\sqrt{q-1} ]^+](https://s0.wp.com/latex.php?latex=2+%2B+%5B%5Csqrt%7Bq-1%7D+%5D%5E%2B&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "2 + [\sqrt{q-1} ]^+")
, donde ![[x]^+](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Bx%5D%5E%2B&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "[x]^+")
representa el menor entero ≥ x, y q > 1 es el cociente entre los lados del rectángulo. Para 
entero, no da la disección mínima (y obvia).
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Rectangulo2Cuadrado.html
¡Dejémonos de «caralladas»! . Efectivamente es el problema: Determinar el área del cuadrado equivalente a la del rectángulo de lados a y b. Propondría la cuadratura del círculo con mucha aproximación – a ver quién se aproxima más- solucionando cor regla y compás. ¡Atención! , la regla no está graduada
Lo de Ignacio Larrosa sobre la disección física del rectángulo para la confección del cuadrado es una «pasada»y un incentivo para engancharse a Gaussianos. Mi enhorabuena.
No entiendo la pregunta. La longitud del segmento BF ¿con que parte del rectángulo debo comparar: área, perímetro, lados, diagonal?
Saludos.
El enunciado no lo especifica, así que puede ser con «cualquier cosa» del rectángulo.