Relación entre la probabilidad de acertar el Gordo de Navidad y la de otras loterías españolas

Mañana día 22 de diciembre por la mañana muchos españoles estarán pendientes, como todos los años, del Sorteo de la Lotería de Navidad. Muchos de nosotros (sí, me incluyo, por qué no) tenemos ciertas esperanzas de sacar un dinerillo en este sorteo, aunque matemáticamente no sea demasiado razonable. El porqué ya lo vimos la semana pasada en este post. La probabilidad de acertar el Gordo de la Lotería de Navidad este año es

y, como decíamos también en ese post, la esperanza de este juego es , ya que se reparte el 70% de la recaudación en premios. Eso significa que por cada euro jugado esperamos recuperar 70 céntimos. Es decir, se espera perder el 30% de lo que hayamos jugado. Evidentemente algunos ganan mucho dinero y otros no ganan nada, algunos pierden más del 30% de lo que han jugado y otros menos, pero de media todos perderemos el 30% del dinero invertido en este sorteo.

Sin embargo, el Sorteo Extraordinario de Navidad de la Lotería Nacional de España no es ni mucho menos el peor de los juegos de este tipo que están a nuestro alcance en nuestro país en lo que se refiere a la probabilidad de acertar el premio máximo. Por ejemplo, la probabilidad de que el cupón de la ONCE que llevamos en el bolsillo sea el premiado en un día cualquiera es la misma que en caso de la Lotería de Navidad, ya que se ponen a la venta la misma cantidad de números, 100000. Ahora, el cupón diario de la ONCE tiene un premio máximo, 35000 €, mucho menor que el de la Lotería de Navidad, 400000 €. Además, en este sorteo se reparte menor tanto por ciento de la recaudación, concretamente el 55%.

Y centrándonos exclusivamente en la probabilidad de llevarse el premio máximo, el resto de loterías a las que se juega habitualmente en España son mucho más desfavorables. Os dejo una tabla con las probabilidades de llevarse el máximo premio en la Lotería de Navidad, el Euromillón, la Primitiva, la ONCE y la Quiniela (algunas ya comentadas en este post sobre la Lotería de Navidad del año pasado y en éste sobre el nuevo Euromillón):

Son bajas, ¿verdad? Aunque, pensándolo bien, es posible que solamente con estos números uno no sea capaz de hacerse una idea más o menos real de lo extremadamente complicado que es acertar el premio máximo en alguno de estos juegos. Y también sería normal que no fuéramos capaces de percibir con cierta exactitud la gran diferencia entre la probabilidad de llevarse el Gordo del Sorteo de Navidad y, por ejemplo, el premio máximo de la Quiniela (acertar los 15 pronósticos). Vamos a ver si algunos gráficos nos ayudan.

Este primer gráfico representa las probabilidades tal cual aparecen en la tabla anterior. Para cada uno de los juegos que aparecen a la derecha tenemos una barra que mide la probabilidad de acertar el premio mayor que va de 0 (nunca se acierta) a 1 (siempre se acierta). Es decir, cuando más cerca del 1 esté el final de la barra mayor será la probabilidad de acertar, y al contrario con el 0:

No, no me he equivocado de imagen ni nada parecido. Lo que ocurre es que las barras son tan pequeñas que no se aprecian en el gráfico. Vamos a estirarlo un poco:

Las barras siguen sin aparecer. Fijaos que la línea que hay al lado del 0.1 marca esa probabilidad. Es decir, si una barra llegara hasta ahí significaría que tendríamos un 10% de posibilidades de llevarnos ese premio, y las barras no aparecen. Se va viendo la dificultad, ¿no?

Vamos a seguir. Nos vamos a quedar ahora con ese 10% nada más, con la parte de la tabla entre probabilidad 0 y probabilidad 0.1, pero con el tamaño de la anterior. Ahí va:

¡¡Las barras siguen sin verse!! Ni tomando el 10% como probabilidad máxima en la tabla conseguimos que las barras se vean. Tomando ahora de 0 a 0.01 (que representa el 1% de posibilidades)

se empiezan a intuir dos barras, que son las que representan al Sorteo Extraordinario de Navidad (izquierda) y a la ONCE (derecha). Estas dos probabilidades son las más grandes de las cinco que hemos comentado…imaginad cómo son el resto.

Pero quizás lo más significativo sea ver el gráfico tomando como probabilidad máxima la de estos dos sorteos, es decir, 0.00001:

Las probabilidades del Sorteo Extraordinario de Navidad y del Cupón de la ONCE son 1 entre 100000, poquísimo vamos, y podéis ver la diferencia que hay entre ellas y las de la Primitiva y la Quiniela (muy parecidas las dos, aunque la de la Primitiva es algo mayor)…¡¡y la del Euromillón apenas se ve!! Está algo más claro lo tremendamente complicado que es llevarse el premio máximo de cualquiera de estos juegos, ¿verdad? Y también creo que se habrá aclarado más la extrema diferencia entre la probabilidad de llevarse el Gordo de Navidad o acertar el Cupón de la ONCE y el resto de juegos, ¿a que sí? No hay nada como un gráfico para aclarar las posibles dudas que pudieran quedar acerca de estos dos hechos.

Como habéis podido comprobar (y seguro ya sabíais), lo más inteligente matemáticamente hablando es no jugar a ninguno de estos juegos, ya que todos ello están pensados para que en media se pierda dinero, evidentemente.

Pero, por otra parte, es cierto que este tipo de juegos termina por generar una cierta ilusión en nosotros. Ya sea porque los premios son suculentos, por el ¿y si me toca a mí, por el no vaya a ser que toque y lleven todos menos yo, o por cualquier otra razón que se os pueda ocurrir, la mayoría de nosotros (por no decir todos) acabamos rellenando una Quiniela con nuestros amigos, comprando un Cupón de la ONCE, echando una Primitiva y/o un Euromillón o comprando un décimo del Sorteo Extraordinario de navidad. Por ello os deseo a todos mucha suerte en el sorteo de mañana, la vais a necesitar.

Este post es mi segunda contribución con la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas cuya anfitriona es @EbeniTIC con su blog Que no te aburran las Mat@s.