Gran parte de vosotros habréis oído que la sucesión de Fibonacci y el número áureo aparecen en muchos ámbitos de nuestra vida. Y seguro que muchos conocéis algunos casos en los que esto ocurre. Para vosotros, y sobre todo para quienes no sabían nada de esto, vamos a ver en este artículo un par de ejemplos.

El número áureo y las tarjetas de crédito

Todas las tarjetas que tenéis en la cartea, ya sea el DNI, la tarjeta de crédito o el carné de cualquier club o asociación, están asociadas al número áureo, que recuerdo que es:

\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}

Hasta los folios que usáis cada día lo están. ¿Cuál es esa relación? Vamos a hacer un sencillo experimento con el que vamos a conseguir que este enigmático número \phi salga a la luz.

Todas las tarjetas que usamos habitualmente, los folios y muchas más cosas de nuestra vida cotidiana están construidas como un rectángulo áureo, que es un rectángulo en el que se cumple que la proporción entre su lado mayor y su lado menor (el cociente de sus longitudes) es el número áureo. Para comprobar si un cierto rectángulo es un rectángulo áureo vemos si se cumple lo siguiente:

Un rectángulo cualquiera es un rectángulo áureo si al quitarle el mayor cuadrado posible se obtiene un rectángulo con la misma proporción entre su lado mayor y su lado menor que el inicial.

Vamos a verlo gráficamente para que se entienda mejor. Tomemos un rectángulo como el de la figura siguiente. Para simplificar tomamos un lado con longitud 1, mientras que el otro tiene longitud x:

Rectángulo áureo

Este rectángulo será un rectángulo áureo si la proporción entre su lado mayor y su lado menor es igual a la proporción del rectángulo que queda al quitar el mayor cuadrado posible (en este caso un cuadrado de lado 1). A partir de los datos de la figura, la proporción entre los lados del rectángulo mayor es \textstyle{\frac{x}{1}} (es decir, x) y la del rectángulo menor es \textstyle{\frac{1}{x-1}}. Veamos qué ocurre si imponemos que el rectángulo inicial sea un rectángulo áureo (es decir, que las proporciones sean iguales):

\cfrac{x}{1}=\cfrac{1}{x-1} \rightarrow x^2-x=1 \rightarrow x^2-x-1=0

Resolviendo esta ecuación obtenemos dos soluciones. Desechando la negativa, nos queda que

x=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}

Es decir, la proporción entre el lado mayor y el lado menor del rectángulo inicial es el número áureo.

Bien, podríamos plantearnos ahora la siguiente pregunta: ¿cómo construir un rectángulo áureo? Muy sencillo. Partimos de un cuadrado ABCD cualquiera. Tomamos un lado, AB por ejemplo, y calculamos su punto medio, E. Unimos ahora este punto E con uno de los vértices del lado opuesto, por ejemplo con C. Y ahora trazamos el arco de circunferencia con centro en E y radio EC y calculamos el punto donde este arco corta a la recta a la que pertenece el segmento AB. Llamemos G a este punto. Dibujamos ahora la recta a la que pertenece el lado CD y después la recta perpendicular a ésta que pasa por G. Estas dos rectas se cortan en un punto, que llamamos H. Hecho todo esto, el rectángulo AGHD es un rectángulo áureo. En la siguiente imagen podéis ver mejor esta construcción:

Construcción de un rectángulo áureo

La sucesión de Fibonacci y las abejas

Vamos a hablar de abejas y matemática, como ya hicimos en esta otra ocasión. En este caso vamos a comentar este post de John D. Cook.

Las abejas macho nacen de un huevo no fecundado y las abejas hembra nacen de uno que sí está fecundado. Es decir, las abejas macho tienen únicamente una madre y las abejas hembra tienen una madre y un padre.

Dicho esto tomemos una abeja macho Sea entonces B(n) el número de antepasados suyos en el nivel n de su árbol genealógico, contándola a ella.

El primer nivel lo forma esta abeja macho solamente, por lo que B(1)=1. Al ser una abeja macho, en el siguiente nivel (el segundo) sólo hay una hembra (su madre), por lo que B(2)=1. Ahora, por ser ésta una hembra, en el nivel justamente anterior hay un macho y una hembra (su padre y su madre), razón por la que B(3)=2. ¿Se va viendo el tema?

Vamos a un nivel n cualquiera y tomemos ahí una de las abejas que lo forman. Pueden darse dos situaciones:

  • Que la abeja escogida sea macho. Entonces de ella tenemos un antecesor (su madre) en el nivel n+1 y después tendremos dos más (el padre y la madre de esta última abeja) en el nivel n+2.
  • Que la abeja tomada sea hembra. Respecto a esta abeja tendremos dos antepasados suyos en el nivel n+1 (su padre y su madre), y en el nivel n+2 tendremos tres más (la madre de ese padre y el padre y la madre de esa madre).

En los dos casos podéis comprebar que B(n)+B(n+1)=B(n+2).

Recapitulando tenemos lo siguiente:

  • B(1)=1
  • B(2)=1
  • B(n)+B(n+1)=B(n+2)

que es precisamente la definición por recurrencia de la sucesión de Fibonnaci, esto es:

B(n)=F_n

siendo F_n el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

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