El pasado fin de semana se celebró en Bilbao la Olimpiada Matemática Española 2012 (OME), cuadragésimo novena edición de la misma. Y como es habitual vamos a proponer aquí los seis problemas a los que se enfrentaron los participantes. Muchísimas gracias a @juanripu y a @_cronos2 por enviármelos.
Ahí va el primero:
Sean
y
enteros positivos tales que
y
. Prueba que
Indica justificadamente cuándo se alcanza la igualdad.
Que se os dé bien.
Sí, faltan todavía algunos problemas de la Olimpiada de Asturias y de la de Galicia, pero por importancia creo que es razonable dejarlos para más adelante. Cuando terminemos con los de la OME seguiremos con ellos.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: El pasado fin de semana se celebró en Bilbao la Olimpiada Matemática Española 2012 (OME), cuadragésimo novena edición de la misma. Y como es habitual vamos a proponer aquí los seis problemas a los que se enfrentaron los……
¿Se celebró la Olimpiada 2012 ó 2013?
Es de la 2013, de hace unos días nada más. Los problemas son, en general, muy correudos. Me atrevería a decir que es la fase nacional más difícil que ha habido nunca. Miraré este un rato a ver si saco algo.
Así a priori, lo único que veo claro es que la trivialidad de que en los casos n=1 y n=3 se cumple al tomar (a,b) = (2,1) y (5,2) respectivamente. Pero obviamente eso no prueba que sean todos. A mí lo que se me ocurre es que como ab-1=n^2 implicando ab=n^2+1 es lo siguiente. Claramente una posible factorización de n^2 es n*n. Entonces cuando intentemos factorizar n^2+1 parece que se nos va a exigir que la distancia entre los factores vaya incrementando (a-b), que es el primer término de la igualdad. De momento no me veo capaz de conjeturar mucho… Lee más »
Creo que he llegado a una simplificación notoria del problema.
a-b>=sqrt(4n-3) Elevando al cuadrado
aa+bb-2ab >= 4n-3 Reorganizando
aa+bb >= 4n-1+(-2+2ab)
aa+bb >= 2nn+4n-1 Sumando 2ab
aa+bb+2ab >= 2nn+4n+1+(2ab-2)
(a+b)^2 >= 4nn+4n+1
(a+b)^2 >= (2n+1)^2
(a+b) >= (2n+1)
¿Alguien me echa una mano a partir de aquí?
Daniel Cao
Para n= 4 (a,b)=(17,1)
Para n= 5 (a,b)=(13,2) o = (26,1)
Para n= 6 (a,b)=(37,1)
Pata n= 7 (a,b)=(50,1) o = (25,2) o (10,5)
parece dificil de conjeturar
Creo que la clave es que cuando a y b se acercan más, su producto menos 1 no puede ser un cuadrado perfecto
Creo que ya está. Copio lo de antes y sigo. a-b>=sqrt(4n-3) Elevando al cuadrado aa+bb-2ab >= 4n-3 Reorganizando aa+bb >= 4n-1+(-2+2ab) aa+bb >= 2nn+4n-1 Sumando 2ab aa+bb+2ab >= 2nn+4n+1+(2ab-2) (a+b)^2 >= 4nn+4n+1 (a+b)^2 >= (2n+1)^2 (a+b) >= (2n+1) implicando ****** (comento este paso después) (a+b) >=2n-1 (a+b)/2 >= n-(1/2) Aplicando desigualdad media aritmética-geométrica sqrt(ab) >= n-(1/2) Elevando al cuadrado ab >= nn-n+1/4 Restando 1 ab -1 >= nn-n-3/4 nn >= nn -n -3/4 0 >= -n-3/4 Que es cierto. Ahora cabe preguntarnos. A partir de esto cierto podemos deducir al revés nuestra fórmula? Pues si. Todos los pasos se pueden… Lee más »
Las soluciones son a=k^2+1, b=(k-1)^2+1, para k entero positivo.
Creo que considerando la otra condición del enunciado, a>b, se puede avanzar un poco más en la primera opción propuesta por Daniel Cao. Siendo a>b, el valor de a más bajo posible sería a = b+1. Sustituyendo en la expresión que tenías: (a+b)>= 2n+1 => (b+1+b)>=2n+1 => 2b+1 >=2n+1, lo que demuestra que serían iguales cuando b = n En otro caso, sería a = b+k, siendo k>1. Tendríamos: (a+b) >=2n+1=> (b+k)+b >=2n+1 => 2b+k >= 2n+1. Aquí si b=n, entonces se cumpliría porque k>1. Pero ya no sé cómo demostrar la desigualdad si n y b son distintos. ¿Alguna… Lee más »
La desigualdad por lo de antes queda probada en cuanto al de Mmonchi no le veo justificación, aunque quizá esté bien.
Creo tener respuesta. Vamos a revisarla: Sabemos, por la relacion que existe entre la media aritmetica y la media geometrica de dos numeros, que: a+b>=2(ab)^(1/2) Esto implica, en funcion del enunciado que: a+b>=2(n^2+1)^(1/2) Tambien sabemos que: (n^2+1)^(1/2)>n Por lo tanto: a+b>2n Como se trata de numeros enteros, se tiene que: a+b>=2n+1 Si elevamos al cuadrado toda la ecuacion, se tiene que: a^2+2ab+b^2>=4n^2+4n+1 Ahora bien, ya que ab=n^2+1, voy a restar 4ab en el lado izquierdo de la desigualdad y 4(n^2+1) en el lado derecho de la misma para obtener: a^2-2ab+b^2>=4n-3 Como bien sabemos, el lado izquierdo es igual a (a-b)^2.… Lee más »
Está muy bien redactado. Quedan los casos de igualdad que serán cuando a+b=2n+1 y se trataría de desarrollar dicha condición supongo.
Daniel Cao:
No habia visto tu desarrollo. Casi llegamos a lo mismo….
Veo que si a+b=2n+1, tenemos la suma de un numero par con otro impar. Es lo unico que se me ocurre decir…. y que (a+b-1)/2=n…. no se me ocurre ninguna otra cosa. Por lo tanto, las condiciones serian:
1.- Un numero par.
2.-Un numero impar
3.-n=(a+b-1)/2
No se me ocurre otra cosa….
Pasamos de a-b=√(4*√(ab-1)-3) a b=a+1-2*√(a-1).
Si hacemos k=√(a-1) tenemos a=k^2+1 y b=(k-1)^2+1.
Vamos a desarrollar la igualdad: ab=[(a+b-1)/2]^2+1 4ab=a^2+b^2+1+2ab-2a-2b +4 0=a^2+b^2-2ab-2a-2b+5 0=a^2-(2b+2)a+5-2b despejo a a=[2b+2 +-(4b^2+8b+4-20+4b)^1/2]/2 El argumento del determinante tiene que ser mayor que cero e igual al cuadrado de otro entero, por lo tanto: 4b^2+12b-16=m^2 Ahora bien, vamos a sumar y restar 9 a la expresion del lado derecho: 4b^2+12b+9-25=m^2 Esto seria igual a: (2b+3)^2-25=m^2 Vamos a pasar el termino «m^2» a la izquierda y el 25 a la derecha para obtener: (2b+3)^2-m^2=25 Factorizamos para obtener: (2b+3-m)(2b+3+m)=25 Aqui se llega a dos posibilidades: 1.-que cada factor de la izquierda sea igual a 5. 2.-Que un factor sea igual 1 y… Lee más »
Correccion para los valores de a de mi comentario anterior para la segunda posibilidad a=12
Se me olvidaron tambien los valores de n en ambas posibilidades en los dos comentarios anteriores: Primero posibilidad: n=1. Segunda posibilidad n=8
En mi primer comentario de hoy olvide determinar la raiz cuadrada del termino de la derecha de la desigualdad final
La segunda posibilidad no cumple con la condicion ab=n^2+1. La primera si la cumple….
He llegado a que la igualdad se da si y solo si a, b, n son de la siguiente forma: a=(k^2+2*k+5)/4 b=(k^2-2*k+5)/4 n=(k^2+3)/4 Para k natural impar Podeis comprobar que todas esas combinaciones lo cumplen, y lo que faltaría probar es que todas se pueden expresar de esa forma. No tengo tiempo ahora para comentarlo detalladamente, pero la idea es, jugando con congruencias módulo 2, 4 u 8; ver que todo cuadrado perfecto impar se puede poner como 4*n-3 con n=(3+k^2)/4 y plantear la ecuación ab-1=n^2 y a-b=sqrt(4*n-3) poniendo n en función de ese k. Y ahora llamando a a-b=d… Lee más »
Si no me equivoco, ahí están escondidos los Números Fibonacci. Intentaré explicar lo que he encontrado: • n tomará valores de los números Fibonacci exceptuando el 0 (explicaré más adelante el porqué). • a y b estarán condicionados por los valores de n, de forma que: Teniendo en cuenta que que los números son 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89… «Tomamos» n=0 y aplicamos que a – b = n, de ahí que exceptúo el 0, pues las condiciones del problema que a>b. A continuación ignoramos el primer 1, y cogemos el segundo 1 para n=1 y volvemos a aplicar a – b = n.… Lee más »
Elanalisis del determinante que hice esta incorrecto. Pablo hace un buen analisis para la segunda parte del ejercicio….
Yo obtengo que a=(m+1)^2+1, b=m^2+1 y n=m^2+m+1, para todo m entero positivo y el cero
A mí me sale que la igualdad se cumple para:
Para m=0,1,2…
2 – 3 – 5
5 – 7 – 10
10 – 13 – 17
17 – 21 – 26
………………….
No sé muy bien qué significa.
Lo he deducido teniendo en cuenta que a-b tiene que ser un número impar, y para cada número impar existe una terna.
Lo siento , no tuve tiempo de leerlos, pero me fijé y me pareció curioso (aunque esté muy determinado porque yo marqué a- b = n)
Me acabo de dar cuenta de que me he dejado la primera, que sería 1-1-2. Es que el primer número impar es el 1, no el 3.
Qué gracioso. Mi solución, la de Pablo, la de Paul y la de Golvano son la misma pero escritas de forma diferente. 🙂
Las expresiones correctas serían:
Para m=0,1,2…
que, efectivamente, coinciden con las de los demás.
Yo (salvo error) tengo probada una fórmula generatriz de las igualdades (y que da todas las soluciones). Expongo; Como comenté antes los casos de igualdad de la desigualdad anterior (por lo que hemos visto) son los mismos que los casos donde 2n+1=a+b. a+b-1=2sqrt(ab-1) elevando al cuadrado a+b+2ab-2a-2b+1=4ab-4 equivalentemente (a-b)^2 – 2(a+b)=-5 Cambio de variable a=b+r (r es positivo pues a>b) r^2 -2(2b+r)=-5 Haciendo ecuación de segundo grado con incógnita r. r=2+4*sqrt(b-1) Y solo son válidos los b que verifiquen que b-1 es cuadrado perfecto. Donde el término a lo obtenemos como b+r. ***** Visto lo visto ya casi ni vale… Lee más »
Creo que he conseguido un avance importante, pero aun me falta acabarlo. a > b ; a >= b + 1 ; a – b >= 1 ; a + b >= 2b + 1 (1) utilizando la segunda condición: ab -1 = n^2 ; ab = n^2 + 1; De la primera: ab > b^2 ; luego: n^2 + 1 > b^2; n^2 >= b^2 ; n >= b (2) en el caso de b = n tenemos el siguiente procedimiento: (1) a + b >= 2n + 1; (a+b)^2 >= (2n + 1)^2; a^2 + b^2 + 2ab… Lee más »
Hola, Daniel Cao, tienes un error al momento de elevar al cuadrado ya que realizas este procedimiento:
a-b>=sqrt(4n-3) elevas al cuadrado y te da que (a-b)^2>=4n-3 , ahí está el error ya que no nos ndicen que n >= 3/4, condicion necesaria para poder eliminar la raíz sin necesidad de ocupar modulo
Si que se tiene que n >= 3/4 pues en las hipótesis está que «n» es un entero positivo (y todo entero positivo es mayor o igual que 1)