Bertrand RussellUna de las anécdotas más conocidas de las que se asocian con el filósofo y matemático Bertrand Russell es su famosa demostración de que «Si 2+2=5, entonces yo soy el Papa». Parece ser que la historia ocurrió tal que así:

Estaba Bertrand Russell dando una charla sobre sistemas lógicos cuando afirmó que si se partía de una premisa falsa, entonces se podía demostrar cualquier cosa. Una de las personas que estaba escuchando le preguntó:

Entonces, ¿si suponemos cierto que 2+2=5, entonces puede demostrar que usted es el Papa?

A lo que Russell contesto afirmativamente, demostrándolo de la siguiente forma:

Supongamos que 2+2=5. Entonces, restando 3 a ambos lados obtenemos que 1=2. Como el Papa y yo somos dos personas y 1=2, entonces el Papa y yo somos uno. Por tanto, yo soy el Papa.

Sublime, como casi siempre, el señor Russell.

La cuestión es la siguiente: ¿cómo podríamos escribir esta características en términos de la lógica clásica? Es decir, ¿hay alguna forma de demostrar mediante la lógica clásica que si añadimos a un sistema lógico una premisa falsa entonces podemos obtener como conclusión cualquier cosa? Pues sí, claro que la hay. Vamos a verla.

Pero antes vamos a recordar un par de cuestiones de Lógica relacionadas con la conjunción y la disyunción.

La conjunción, \land, es una conectiva cuyo significado es «y». Es decir, dadas dos proposiciones A,B la proposición A \land B se lee A y B. Es sencillo ver a partir de esto que el hecho de que A \land B sea cierta es equivalente a que lo sean tanto A como B por separado. Por ello, si partimos de que A \land B es cierta, podemos usar la regla denominada «eliminación de la conjunción» y quedarnos con cualquiera de las dos proposiciones iniciales.

Por otra parte, la disyunción, \lor, es una conectiva cuyo significado es una «o» no exclusiva. Es decir, dadas dos proposiciones A, B, la proposición A \lor B se lee A o B, y significa que el hecho de que A \lor B sea cierta equivale a que lo sea A, lo sea B o lo sean las dos (por lo de que no es exclusiva). En consecuencia, si partimos de que una cierta proposición A es cierta, se puede usar la regla denominada «introducción de la disyunción» y formar con ella la disyunción entre A y cualquier otra proposición que queramos introducir.

Explicado esto ya tenemos las herramientas necesarias para demostrar que si introducimos una premisa falsa en nuestro sistema podemos demostrar cualquier cosa. Si una proposición A es cierta, entonces su negación, \lnot A, es falsa. Lo que vamos a demostrar es que si para una proposición A cualquiera tomamos ciertas tanto a dicha proposición como a su negación (es decir, tomamos cierta la conjunción A \land \lnot A), entonces es cierta cualquier otra proposición B:

Partimos de

(1) A \land \lnot A

De ahí obtenemos

(2) A

por eliminación de la conjunción en (1). De aquí obtenemos

(3) A \lor B

por introducción de la disyunción en (2). Ahora, también tenemos que es cierta

(4) \lnot A

por eliminación de la conjunción en (1). Y ahora, como (3) nos dice que o es cierta A, o lo es B o lo son las dos, y, por otro lado, (4) nos dice que es cierto \lnot A, la consecuencia que sacamos es que es cierta

(5) B

Por tanto, si añadimos una premisa falsa a nuestro sistema lógico entonces podemos obtener como conclusión cualquier cosa.


La regla que se ha usado para obtener (5) se denomina «silogismo disyuntivo», y dice que si son ciertas p \lor q y \lnot p entonces debe ser cierta q.

Ah, y quiero destacar que en Gaussianos ya se había comentado esta anécdota de Russell en este comentario de Asier hace ya unos años.

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