¿Cómo distribuir puntos en una esfera?

En el año 2022, la RSME concedió el Premio José Luis Rubio de Francia a la matemática española Ujué Etayo «como reconocimiento a sus relevantes contribuciones a problemas en las teorías matemáticas de la aproximación, el potencial y la complejidad» (tenéis más información en la web de la RSME).

Fue en el verano de 2022 cuando me puse en contacto con Ujué para pedirle que, si le apetecía, escribiera un artículo para Gaussianos sobre su trabajo de investigación. Su predisposición fue magnífica desde el primer día, pero las ocupaciones de cada uno de nosotros (junto con alguna cuestión sobrevenida por ambas partes) han retrasado la publicación del artículo hasta hoy, año y medio después.

Desde aquí, quiero agradecer a Ujué tanto el artículo que ha preparado para nosotros como la paciencia que ha tenido en todo este tiempo. Y no quiero dejar pasar la oportunidad de comentar que Ujué es hija de Fernando Etayo, una de las personas que me invitó a dar la primera charla de mi vida divulgadora y que también colaboró en Gaussianos con este magnífico artículo.

Sin más dilación, os dejo con Ujué y su artículo sobre cómo distribuir puntos en una esfera.

Ujué Etayo Hola, bienvenido. Si tienes a bien leer mi artículo, te lo agradezco y me presento: me llamo Ujué y acabo de cumplir 32 años. Soy profesora en la Universidad de Cantabria, donde imparto bastantes asignaturas y, cuando la docencia y la burocracia me lo permiten, investigo. Es mi segundo contrato en la Universidad de Cantabria, ya que realicé aquí mi tesis doctoral, entre los años 2016 y 2019, bajo la dirección del profesor Carlos Beltrán. Después, pasé dos estupendos años en Austria dedicada casi por completo a la investigación matemática. Por los resultados de mis años pre y post-doctorales, la RSME, junto con la fundación BBVA, decidió concederme en 2020 un premio Vicent Caselles a la investigación matemática y, en 2022, el Premio José Luis Rubio de Francia.

En estas líneas, voy a hablar un poco de mi investigación En particular, voy a centrarme en una línea que estudia cómo distribuir “bien” puntos en una esfera de dimensión 2. Vamos a por ello.

Un problema de enunciado muy simple

Empecemos por el principio: nuestro objeto de estudio serán colecciones de puntos en la esfera de dimensión 2 (en la superficie de una bola). Si quisiera situar 2 puntos en la superficie de una bola lo más alejados posible el uno del otro, los podría colocar en el polo norte y el polo sur. Evidentemente, si roto la esfera en cualquier dirección, los puntos seguirán tan separados como antes, así que, a partir de ahora, cuando queramos distribuir un número de puntos N, vamos a fijar uno de los puntos en el polo norte y solo nos preocuparemos de organizar el resto.

Así que volvemos a formular la pregunta: si tengo un punto en el polo norte de la esfera, ¿dónde coloco el otro punto para que estén lo más separados posible? Efectivamente, en el polo sur.

¿Qué pasa si quiero colocar ahora 3 puntos? Sabemos que tres puntos en la esfera determinan un triángulo en el espacio tridimensional que contiene a la esfera. Si de nuevo fijo uno en el polo norte, buscaré formar un triángulo equilátero lo más grande posible y, para ello, tomaré un círculo máximo y colocaré después los puntos en forma de vértices de un triángulo equilátero.
¿Y cuatro puntos? Tal vez el lector esté tentado a tomar los vértices de un cuadrado inscrito en un círculo máximo, pero esa no es la mejor solución. En vez de eso, la respuesta viene dada por los vértices de un tetraedro regular.
¿Y cinco puntos? Para cinco puntos, por primera vez en nuestra enumeración, la respuesta no es única. Ya no podemos continuar con la vaga formulación de “lo más separados posible los unos de los otros”, hay que dar un enunciado que recoja esa idea, pero con una formulación exacta.

Antes de entrar en detalles, añadiremos que solo se conoce la solución global para dos casos más: si queremos distribuir 6 puntos, los situaremos en los vértices de un octaedro regular, y para 12, haremos lo propio con los vértices de un icosaedro regular.

Una motivación física: puntos que minimizan energías

Corría el año 1904 cuando el físico J. J. Thomson, tras proponer un modelo atómico basado en la existencia de electrones con carga negativa dentro de átomos con carga positiva, formula la siguiente pregunta:

¿Cómo se distribuyen N electrones confinados en la superficie de una esfera si se repelen unos a otros siguiendo la ley de repulsión electrostática?

Vamos a modelizar el problema matemáticamente: dados $x_{1},\ldots,x_{N}$ puntos situados en la esfera, sabemos que la interacción electrostática entre dos electrones $x_{i}$ y $x_{j}$ es directamente proporcional a $\frac{1}{|x_{i} - x_{j}|}$ .

La energía potencial electrostática total de cada configuración de $N$ electrones $x_{1},\ldots,x_{N}$ se puede expresar como la suma de todas las interacciones por pares: $\sum_{{i\neq j}}\frac{1}{|x_{i} - x_{j}|}$ . Como el problema nos pide buscar un estado de equilibrio, buscamos minimizar la energía, por lo que el problema con su enunciado matemático resulta:

Da $x_{1},\ldots,x_{N}$ puntos en la esfera de dimensión 2 tales que $\sum_{{i\neq j}}\frac{1}{|x_{i} - x_{j}|}$ sea mínimo.

A día de hoy, solo se conoce la solución a este problema para 2, 3, 4, 5, 6 y 12 electrones.

De la esfera al plano complejo por la proyección estereográfica

La proyección estereográfica establece una biyección entre la esfera salvo un punto y el plano complejo. Para describirla, vamos a tomar la esfera de Riemann (la esfera de radio 1/2 y centro en el (0,0,1/2) en coordenadas cartesianas) y la posamos sobre el plano complejo, de manera que el único punto de contacto entre ambas superficies sea el polo sur. A continuación, proyectamos la esfera en el plano: para dar la imagen de un punto $x$ de la esfera, tomamos la recta que pasa por el polo norte de la esfera y el punto $x$ . Esa recta cortará al plano en un único punto, al que llamamos $\pi(x)$ , que es la proyección deseada. Fijémonos en que hay dos casos particulares: no tenemos imagen para el polo norte y la imagen del polo sur es él mismo.

En términos de ecuaciones, la proyección estereográfica viene dada por:

$x = (a,b,c) \in \mathbb{S}^{2} \mapsto z = \frac{a + ib}{1-c}$

De esta forma, podemos hablar indistintamente de un conjunto de puntos en la esfera o de su proyección en el plano complejo.

Proyección estereográfica

El potencial logarítmico: su relación con polinomios estables

El problema de Thomson se puede generalizar a la familia de potenciales de Riesz, obteniendo la siguiente familia de problemas:

Si $0 < s < \infty$ es fijo, da $x_1, \ldots, x_N$ puntos de la esfera de dimensión 2 tales que $\sum_{i\neq j} \frac{1}{|x_{i} - x_{j}|^s}$ sea mínimo.

Para un $s$ fijo, ese potencial recibe el nombre de potencial $s$ de Riesz. Un caso particular es aquel en el que $s=0$ . Como podemos ver, si $s=0$ , el valor de $\sum_{i\neq j} \frac{1}{|x_{i} - x_{j}|^0}$ depende únicamente del número $N$ y no de la configuración particular de los puntos. Es por esto que el caso $s=0$ no nos aporta ninguna información sobre la distribución de los puntos. Si en vez de ese caso consideramos qué sucede para valores de $s$ cercanos a ${0}$ , estudiamos la derivada del potencial:

$\left. \frac{\partial}{\partial s} \sum_{i\neq j} \frac{1}{|x_{i} - x_{j}|^s} \right|_{s=0} = \left. \sum_{i\neq j} \frac{-\log|x_{i} - x_{j}|}{|x_{i} - x_{j}|^s} \right|_{s=0} = -\sum_{i\neq j} \log|x_{i} - x_{j}|$

Este último potencial recibe el nombre de energía logarítmica y esta relacionado con el célebre problema 7 de la lista de Smale (véase [1]).

Dado un conjunto de puntos $\omega_{N} = \{ x_1,\ldots,x_{N} \} \subset \mathbb{S}^2$ , denotaremos por $\mathcal{E}_{\log}(\omega_{N}) = -\sum_{i\neq j} \log|x_i - x_j|$ su energía logarítmica. Si $m_{N} = \min_{\omega_{N} \subset \mathbb{S}^2} \mathcal{E}_{\log}(\omega_{N})$ , entonces el problema 7 de la lista de Smale dice así:

Da una sucesión de configuraciones de puntos $(\omega_{N})_{N\in\mathbb{N}}$ , con $\omega_{N} = \{ x_1,\ldots,x_{N} \} \subset \mathbb{S}^2$ , tales que

$\left| \mathcal{E}_{\log}(\omega_{N}) - m_{N}\right| \leq c\log(N),$

con $c$ una constante universal.

Es decir, que el problema 7 de Smale no nos pide minimizadores de la energía logarítmica, sino puntos en la esfera cuya energía sea relativamente pequeña. El porqué de esa formulación concreta para el problema se debe a un teorema demostrado por Shub y Smale y publicado en 1993 (véase [2]):

Sean $\hat z_1,\ldots,\hat z_N\in\mathbb{S}^2$ tales que $\mathcal{E}_{\log}(\hat z_1,\ldots,\hat z_N)\leq m_N+c\log N$ , para alguna constante $c$ independiente de $N$ . Sean $z_1,\ldots,z_N$ puntos de $\mathbb C$ cuya pre-imagen por la proyección estereográfica sea $\hat z_1,\ldots,\hat z_N$ y sea $P_{N}(x) = (x-z_1)\cdots(x-z_N)$ un polinomio. Entonces, se satisface $\mu_{\rm norm}(P_N) \leq \sqrt{N^{1+c}(N+1)}$ .

¿Quién es $\mu_{\rm norm}(P_N)$ en la fórmula anterior? Es un número asociado a un polinomio que recibe el nombre de número de condición. Es un cuantificador que mide cuánto varía la raíz si modificamos un poco alguno de los coeficientes del polinomio. Si pensamos en el caso de polinomios univariados, si tomamos un polinomio con una raíz doble veremos que, si variamos ligeramente sus coeficientes, la raíz doble “explota” en dos raíces distintas: es un polinomio mal condicionado o con número de condición grande.

Así que lo que el teorema de Shub y Smale nos dice es que si tenemos un conjunto de puntos en la esfera cuya energía logarítmica es suficientemente pequeña, entonces el polinomio asociado a esos puntos a través de la proyección estereográfica es “estable”.

El teorema de Shub y Smale admite un recíproco algo más suave (véase [3]):

Sea $(p_{N}(x))_{N\in \mathbb{N}}$ una sucesión de polinomios mónicos con número de condición que verifica $\mu_{\rm norm}(p_{N}(x)) \leq C\sqrt{N}$ para alguna constante universal $C$ , donde $p_{N}(x)$ es un polinomio mónico de grado $N$ . Sean $\omega_{N} = \{ x_{1},\ldots ,x_N \} \subset \mathbb{S}^{2}$ los puntos obtenidos por la inversa de la proyección estereográfica de las raíces del polinomio $p_N$ . Entonces, $\mathcal{E}_{\log}(\omega_{N})\leq m_{N}+ cN$ .

De forma que el recíproco se verifica: polinomios bien condicionados dan lugar a puntos con energía mínima pequeña y viceversa.

Un modelo para dar solución a ambos problemas

Junto con Carlos Beltrán (que colaboró hace un tiempo con Gaussianos hablándonos sobre su solución al problema 17 de la lista de Smale) en una primera aproximación y Pedro R. López-Gómez en un perfeccionamiento del modelo, hemos propuesto una familia de puntos en la esfera (por familia nos referimos a sucesión de configuraciones de puntos) llamada conjunto Diamante (véanse [5] y [6]).

Es una familia multiparamétrica con un componente aleatorio que produce a día de hoy los puntos con energía logarítmica menor conocida.

Cada configuración del conjunto diamante está formada por el polo norte, el polo sur y unos puntos equidistribuidos en unos paralelos dados. Los distintos parámetros (número de paralelos, altura de los paralelos y número de puntos en cada paralelo) deben determinarse para cada familia.

Conjunto Diamante

A través del conjunto diamante, y junto con los profesores Carlos Beltrán, Jordi Marzo y Joaquim Ortega-Cerdà, hemos dado la primera (y única hasta la fecha) sucesión de polinomios bien condicionados, dando así solución al problema propuesto por Michael Shub y Steve Smale en 1993 (véase [7]). Para ilustrar dichos polinomios, dejamos aquí uno de grado 2000:

Y aún queda mucho por decir…

El primer caso interesante todavía no resuelto es qué configuración de 7 puntos minimiza la energía logarítmica. Hay un candidato claro: el conjunto formado por el polo norte, el polo sur y los vértices de un pentágono regular en el ecuador. ¿Es realmente la solución al problema?

Aquí dejo algunos vídeos cortos con animaciones elaborados por nuestro equipo que explican distintos problemas relacionados con los puntos bien distribuidos en la esfera:

Además, recomendamos al lector interesado en el tema el artículo [4].

Espero que el artículo haya sido de su interés y que haya disfrutado con su lectura, le doy las gracias por el tiempo dedicado a ello.

Bibliografía

Steve Smale (2000). Mathematical problems for the next century. Mathematics: frontiers and perspectives (Providence, RI: American Mathematics Society): 271-294.
Michael Shub and Steve Smale (1993). Complexity of Bezout’s Theorem: III. Condition Number and Packing. Journal of Complexity 9, Issue 1, 4-14.
Ujué Etayo (2021). A sharp Bombieri inequality, logarithmic energy and well conditioned polynomials. Transactions of the American Mathematical Society, 374, 7, 5113-5129.
Carlos Beltrán (2020). Sobre el problema número 7 de Smale. Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 23, 3, 507-534.
Carlos Beltrán and Ujué Etayo (2020). The Diamond ensemble: a constructive set of points with small logarithmic energy. Journal of Complexity 59, 101471.
Carlos Beltrán, Ujué Etayo and Pedro R. López-Gómez (2023). Low energy points on the sphere and the real projective plane. Journal of Complexity 101742.
Carlos Beltrán, Ujué Etayo, Jordi Marzo and Joaquim Ortega-Cerdà (2021). A sequence of polynomials with optimal condition number. Journal of the American Mathematical Society 34, 1, 219-244.

Muchas gracias de nuevo, Ujué, por tu interesante artículo y por tu interés en colaborar con Gaussianos. Esperamos verte por aquí de nuevo en alguna otra ocasión.

La imagen principal ha sido creada, como en alguna de las últimas entradas, así: generada con la IA de generación de imágenes NightCafe (en este caso, no he usado la de Bing) y, después, ampliada hacia los laterales con la herramienta Uncrop.

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