Hoy os vuelvo a traer un problema. Ahí va el enunciado:
En un triángulo acutángulo
tenemos que
,
y
son, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten desde
, estando
,
y
en el lado
. Si las longitudes de
,
y
son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud del segmento
.
Este problema fue uno de los que salió en el práctico de matemáticas de las Oposiciones a Secundaria de 2015 en Castilla-La Mancha. A mí no me dio tiempo ni siquiera a intentarlo (me entretuve demasiado en los otros dos), pero hoy me he acordado de él y, tras un rato pensando, lo he dejado (no tengo demasiado tiempo ahora). El caso es que he visto por ahí una solución y me parece ridículamente larga y farragosa para un problema planteado en una oposición. A ver si por aquí conseguimos una solución más elegante.
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Por bisectriz interior de un ángulo (a/2+1)/(a/2-1)=11/8; a=38/3
Si BH=x por Pitágoras 11^2-x^2=8^2-(38/3-x)^2 x=103/12
DH=5/4
Como la bisectriz divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes, tenemos que CD/DB = 8/11 ===> a = CD + DB = 19/11 DB DB = 11/19 a, CD = 8/19 a Como CM = 1/2 a, tenemos que 1 = DM = CM – CD = (1/2 – 8/19)a = 3/38 a ===> a = 38/3 CD = 16/3 El semiperímetro del triángulo es s = (11 + 8 + 38/3)/2 = 95/6 s – a = 19/6, s – b = 47/6, s – c = 29/6 Por tanto, la superficie del triángulo es… Lee más »
Ahí está la figura: https://goo.gl/btHXTE
La segunda parte de la demostración de Ignacio, una vez obtenida la distancia
, se puede sustituir por:
De aquí, se obtiene que
sin necesidad de pasar por el área ni el semiperímetro: no hace falta calcular 
.
En cualquier caso, el paso complicado es el primero: llegar a la longitud del tercer lado. ¡Enhorabuena, Ignacio!
Si, eso es lo que hace Sebas, calculando BH en lugar de CH, pero por lo demás igual. Todas pasan por el teorema de la bisectriz.
Saludos,
Teorema del seno y optimización de funciones no lineales en R: library(nleqslv) ab <- 11 ac <- 8 foo <- function(abc, print.answer = FALSE){ acb <- asin(sin(abc) * ab / ac) bac <- pi – acb – abc bc <- ab * sin(bac) / sin(acb) # lado opuesto bad <- bac / 2 adb <- pi – bad – abc base.bisectriz <- ab * sin(bad) / sin(adb) base.mediana <- bc / 2 base.altura <- ab * cos(abc) if (print.answer) return(abs(base.altura – base.bisectriz)) delta <- abs(base.mediana – base.bisectriz) } z <- nleqslv(0.5, function(abc) foo(abc) – 1) foo(z$x, print.answer = T) Da… Lee más »
Un texto escrito en francés sobre métodos de repartición de electos (explicado a literatos que quieren establecer un método de reparto de escaños proporcional en Francia). Básicamente, se dice que hay que buscar, debido al caso del chantaje de los pequeñísimos partidos, contra los partidos mayoritarios, cuando no hay mayoría absoluta, en España; un método más mayoritario que el método de Hondt. **Un méthode de répartition des élus, entre proportionnelle et majoritaire, à trouver** Vous n´avez point mal dit (maudit); sur le blog enfinlademocratie : «»Le problème avec les systèmes majoritaires est qu’ils confondent une majorité d’élus avec des élus… Lee más »
Este es un problema que se da en Dibujo Técnico para aplicar Pitágoras y el arco capaz de 90 grados (en este caso sobre lado AB y para determinar el punto H de la altura). La idea es darse cuenta que se forman tres triángulos rectángulos, ACH, AHB y AHM (también AHD).
Si ahora calculamos resulta que MH·2BC=K, donde k es constante. Sustituyendo, lo que piden, DH, debe ser aproximadamente 1,25.
La demostración de esta propiedad aquí: http://piziadas.com/2012/04/lugar-geometrico-de-la-sumadiferencia-de-cuadrados-de-distancias-a-dos-puntos-fijos.html