Subtangentes y subnormales de la parábola en la antigüedad

Apolonio de Perga (siglo III a.C.), en la carta de introducción al libro V de las Cónicas, escribe:

«Apolonio a Átalo, Salud. Te envío el quinto libro de las Cónicas, con esta carta:

En este libro se encuentran proposiciones sobre las líneas máximas y mínimas.

Has de saber que nuestros predecesores y contemporáneos sólo han investigado un poco las mínimas, y han mostrado, gracias a ello, cuáles son las rectas que tocan (tangentes) a las secciones y también la recíproca, es decir, lo que sucede a las rectas que tocan a las secciones de forma que si eso sucede, las rectas son tangentes.

Por nuestra parte, hemos mostrado estas cosas en el primer libro, sin utilizar las líneas mínimas para demostrarlas……»

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La propiedad mencionada, directa y recíproca, que cumplen las tangentes y demostrada en el libro I, en el caso particular de la parábola es:

Una recta (verde) que pasa por un punto de la prolongación de un diámetro de la parábola y por un punto de la parábola es tangente a la parábola en ese punto si y solo si el extremo del diámetro es el punto medio del segmento (marrón) entre:

• la intersección de la recta con el diámetro y
• la intersección del diámetro con la linea (naranja) trazada desde el punto de la parábola en la dirección de las ordenadas correspondiente al diámetro.

El applet GeoGebra de la derecha ilustra el enunciado anterior. Si el diámetro es el eje de la parábola, el segmento marrón es el segmento subtangente, en terminología moderna.

Apolonio demuestra esto en I.33 y I.35 como dice, sin usar "líneas mínimas", para cualquier diámetro de la parábola. Suponemos que los geómetras anteriores solo habían considerado el eje, es decir, el diámetro perpendicular a su correspondiente dirección de ordenadas, según la definición de Apolonio.
A continuación expongo una demostración de la propiedad anterior, para el caso del eje, usando las "líneas mínimas".

Desde el siglo IV a.C. se sabía que en una parábola (hasta Apolonio llamada "sección del cono rectángulo") el cuadrado de la ordenada es igual a un rectángulo cuya base es el segmento del eje entre el vértice y la ordenada y cuya altura es un segmento constante que Apolonio llamó lado recto. Si $latex 2p$ es la longitud del lado recto, en nuestra notación $latex y^2 = 2px$.

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Por lo que cuenta Apolonio en la carta prólogo del libro V, sus predecesores debieron conocer la proposición 8 de ese libro, que demuestra:

Sea un punto situado en el eje de una parábola , tal que su distancia al vértice es mayor que la mitad del lado recto.
Sea un punto a una distancia de en dirección al vértice.
Sea la intersección de la perpendicular al eje por con la parábola.
Entonces el segmento es el mínimo de de todos los segmentos entre y la parábola y para cualquier segmento , donde es un punto de la parábola y el pie de la perpendicular desde al eje.

En la figura está indicada la demostración que da Apolonio.

La circunferencia con centro y radio es tangente a la cónica en , porque es el segmento mínimo. La tangente a la circunferencia en será también tangente a la cónica. Entonces el segmento mínimo es perpendicular a la tangente en su extremo. Esta es la proposición V.27, que Apolonio demuestra de otra forma.

Si los predecesores de Apolonio obtenían la propiedad de las subtangentes a partir de las líneas mínimas también habían demostrado esa proposición.

A la proyección sobre el eje de la normal (o perpendicular) a la tangente en el punto se la denomina hoy subnormal. Entonces las proposiciones anteriores V.8 y V.27 implican que la subnormal en la parábola es constante e igual a la mitad del lado recto para todos los puntos de la parábola.

A partir de ese resultado obtenemos la propiedad de la subtangente como se indica en la figura siguiente:

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De esta forma pudieron demostrar los antiguos, antes de Apolonio, la propiedad de la subtangente en la parábola, usando, como dice Apolonio, la propiedad de las "lineas mínimas".

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