Me encantan los pasatiempos de todo tipo. En mi vida he disfrutado mucho de ellos: sopas de letras, crucigramas, puzles y rompecabezas, acertijos lógicos… De todo. Por eso, cuando vi un crucigrama numérico en Twitter (en la cuenta @JyDMatematicos) no pude más que compartirlo con mis seguidores. Después de darle una vuelta, creo que puede ser interesante compartirlo aquí también.
El pasatiempo en cuestión se llama Un crucigrama perfecto, y se lo debemos a Bernardo Recamán, matemático colombiano autor de varios libros de divulgación matemática. Se trata de un crucigrama numérico con todas las casillas vacías y con una descripción común para todas las filas y las columnas: en todas ellas debemos escribir un cuadrado perfecto. Lo tenéis a continuación:
Le estuve dando alguna vuelta ayer, pero tengo que reconocer que no tuve la suficiente paciencia como para llegar a la solución. Sé que existe dicha solución, y al parecer es única (aparece en el libro Las nueve cifras, el cambiante cero y otros divertimentos matemáticos), por lo que si alguien puede pensar que este crucigrama no tiene solución ya puede quitárselo de la cabeza. Por cierto, no tenemos en cuenta la «solución» que consiste en que en todas las casillas hay un 0, ya que no se permite que un número empiece por 0.
La idea de publicar el crucigrama en el blog no es que alguien dé directamente la solución en un comentario, sino intentar entre todos llegar a esa solución. Es decir, lo que quiero es que, entre todos, construyamos los razonamientos necesarios para obtener la solución del crucigrama. Entiendo que se puede llegar a ella sin usar la fuerza bruta, solamente con razonamientos matemáticos (al menos, eso espero).
Así que os convoco a todos a que conpartáis en los comentarios los avances que hagáis en el camino de la resolución de este curioso pasatiempo. Como ayuda, os dejo algunas características de los cuadrados perfectos que pueden ayudaros:
- Un cuadrado perfecto solamente puede acabar en 1, 4, 5, 6 ó 9. Por ejemplo, el número
seguro que no es un cuadrado perfecto.
- Los dos últimos dígitos de un cuadrado perfecto no puede ser ambos impares. Por ejemplo, es seguro que el número
no es un cuadrado perfecto.
- Si un cuadrado perfecto acaba en 0, entonces acaba en un numero par de ceros, y el número que quede al eliminarlos también es un cuadrado perfecto. Por ejemplo,
no es un cuadrado perfecto, y
tampoco.
- Si un cuadrado perfecto termina en 1 o en 9, el número formado por los dígitos precedentes es múltiplo de 4. Esto nos puede servir para, por ejemplo, saber que
no es un cuadrado perfecto (ya que
no es múltiplo de 4).
- Si un cuadrado perfecto termina en 4, el dígito anterior es un número par. Sabemos entonces que
no puede ser un cuadrado perfecto.
- Si un cuadrado perfecto termina en 6, entonces el dígito anterior es impar. Con esto es claro que un número como
no es un cuadrado perfecto.
- Si un cuadrado perfecto termina en 5, entonces termina siempre en 25. Además, justo antes del 25 debe haber un 0, un 2, 06 ó 56. Por ejemplo, el número
no es un cuadrado perfecto.
- Un cuadrado perfecto deja resto 0 ó 1 tanto si lo dividimos entre 3 como si lo dividimos entre 4. Por tanto, si obtenemos resto 2 al dividirlo entre 3 o restos 2 o 3 al dividirlo entre 4, el numéro en cuestión no es un cuadrado perfecto.
- La raíz digital de un cuadrado perfecto es 1, 4, 7 o 9. Recuerdo que la raíz digital de un número se calcula sumando todas las cifras del número inicial, sumando después las cifras del resultado obtenido, y así sucesivamente, hasta que lleguemos a un número de una sola cifra. Por ejemplo, con esto podemos descartar rápidamente que el número
sea un cuadrado perfecto (su raíz digital es 6).
Como veis, todas estas propiedades son útiles a la hora de descartar que cierto número sea un cuadrado perfecto, por lo que nos pueden ayudar a saber qué cifras podrían (o no) ocupar ciertos lugares dentro de los cuadrados perfectos que debemos colocar en nuestras filas y columnas. Si sabéis alguna otra propiedad de los cuadrados perfectos que nos pueda venir bien para nuestro crucigrama, todos agradeceremos que nos la dejéis en los comentarios.
Espero vuestra participación. Muchas gracias a todos.
La imagen principal la he tomado de aquí.
Esta entrada participa en la Edición 11.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Fran Martínez Seoane desde su blog Astronautas y Robots vs Coronavirus.
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Hola… vi tu publicación anoche, y ahorita me puse a jugar un poco con los números y las propiedades que mencionaste y llegué a la solución. Para esto, creé dos listas de cuadrados perfectos con los números en los que pueden terminar los cuadrados perfectos: una de números con cuatro dígitos y otra con números de cinco dígitos. Estos números son candidatos a estar en la vertical 5 y la horizontal 8. Empecé a combinarlos de manera que su última cifra coincidiera, y después de 11 intentos, encontré la combinación ganadora. Esto me hace dudar de que la solución sea única.
No sé si entiendo bien el problema. ¿Por qué está repetido el 1?
Porque hay un 1 horizzontal y un 1 vertical. La cuestión es que en cada fila y en cada columna debe haber un cuadrado perfecto.
Ya, ¿pero por qué el 1 y los demás no?. Lo lógico sería que las horizontales fueran (1,2,3,4) o (6,7,8,9), pero no (1,6,7,8), salvo que se me escape algo.
Pues ha sido fallo mío. En el original los números están dentro de las casillas, tipo crucigramas, y ahí sí tiene sentido esa numeración. Pero yo he sacado los números fuera, y ahí no tiene sentido. Así que fallo mío, cierto.
Aaaaaah, vale, vale. Ahora lo entiendo.
¿Fuiste probando siguiendo algún criterio que te ayude a descartar opciones? ¿O fuiste probando al azar hasta que salió la combinación correcta?
Es fácil si se va desde el principio a los cuadrados mínimos y teniendo en cuenta que un horizontal puede ser igual a un vertical y que los ceros son posibles. De arriba a abajo por filas: (00001), (01444),(06084),(19044). Lo interesante sería hallar todas las soluciines o mostrar que sólo hay esta, con algún método, sin la fuerza bruta computacional.
Pero no se permite que un número empiece por cero. O eso entiendo.
He comprobado que efectivamente sólo hay una solución. El método de Sergio está bien para reducir las posibilidades de la última fila y la última columna, pero me parece increíble que llegase a la solución sólo con eso. Incluso sabiendo el 5 y el 8, siguen quedando muchas posibilidades por probar.
Sólo hay 22 terminaciones distintas (de 100 posibles), de
las dos últimas cifras de un cuadrado perfecto. La ante última cifra es siempre par: 0, 2, 4, 6, 8, con la excepción de los cuadrados de números terminados en 4 o en 6, en que esta ante última cifra es siempre impar: 1, 3, 5, 7, 9. Y los cuadrados de numeros terminados en 0 o en 5 que terminan sólo en 00 o sólo en 25. Para los cuadrados de números no terminados en 0 o en 5, los ciclos son repetitivos, de longitud 5, de manera que si n^2 es el cuadrado, n^2 mod 100 toma 5 valores distintos según cada valor distinto de ((n – (n mod 10))/10) mod 5. Por lo tanto, para hallar todos los cuadrados con una terminación de las dos últimas cifras determinada, que no sea 00 ni 25, nos basta con quitarle o añadirle 50 a n y elevar esa cantidad al cuadrado. Eso y la consideracion de que el 80 % de los cuadrados tienen las dos ultimas cifras pares, debería ayudar un poco a resolver ese crucigrama rectangular de cuadrados perfectos.
Disculpen que solo soy un aficionado. No soy matemático, ni siquiera soy físico, ni siquiera químico. Ni escritor ni filósofo. Ni ingeniero.
Corrección: Por ir demasiado rápido al escribir el texto anterior, dije y mal dije que el 80 % de los cuadrados perfectos tenían sus dos últimos dígitos pares. Me referia sólo al ante último dígito. Obviamente , puesto que los cuadrados de números que terminan en un número impar, tambien son impares. Siento haber mal dicho.