Me encantan los pasatiempos de todo tipo. En mi vida he disfrutado mucho de ellos: sopas de letras, crucigramas, puzles y rompecabezas, acertijos lógicos… De todo. Por eso, cuando vi un crucigrama numérico en Twitter (en la cuenta @JyDMatematicos) no pude más que compartirlo con mis seguidores. Después de darle una vuelta, creo que puede ser interesante compartirlo aquí también.

El pasatiempo en cuestión se llama Un crucigrama perfecto, y se lo debemos a Bernardo Recamán, matemático colombiano autor de varios libros de divulgación matemática. Se trata de un crucigrama numérico con todas las casillas vacías y con una descripción común para todas las filas y las columnas: en todas ellas debemos escribir un cuadrado perfecto. Lo tenéis a continuación:

Crucigrama perfecto

Le estuve dando alguna vuelta ayer, pero tengo que reconocer que no tuve la suficiente paciencia como para llegar a la solución. Sé que existe dicha solución, y al parecer es única (aparece en el libro Las nueve cifras, el cambiante cero y otros divertimentos matemáticos), por lo que si alguien puede pensar que este crucigrama no tiene solución ya puede quitárselo de la cabeza. Por cierto, no tenemos en cuenta la «solución» que consiste en que en todas las casillas hay un 0, ya que no se permite que un número empiece por 0.

La idea de publicar el crucigrama en el blog no es que alguien dé directamente la solución en un comentario, sino intentar entre todos llegar a esa solución. Es decir, lo que quiero es que, entre todos, construyamos los razonamientos necesarios para obtener la solución del crucigrama. Entiendo que se puede llegar a ella sin usar la fuerza bruta, solamente con razonamientos matemáticos (al menos, eso espero).

Así que os convoco a todos a que conpartáis en los comentarios los avances que hagáis en el camino de la resolución de este curioso pasatiempo. Como ayuda, os dejo algunas características de los cuadrados perfectos que pueden ayudaros:

  • Un cuadrado perfecto solamente puede acabar en 1, 4, 5, 6 ó 9. Por ejemplo, el número 5678291652 seguro que no es un cuadrado perfecto.
  • Los dos últimos dígitos de un cuadrado perfecto no puede ser ambos impares. Por ejemplo, es seguro que el número 993827271 no es un cuadrado perfecto.
  • Si un cuadrado perfecto acaba en 0, entonces acaba en un numero par de ceros, y el número que quede al eliminarlos también es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, 25000 no es un cuadrado perfecto, y 480000 tampoco.
  • Si un cuadrado perfecto termina en 1 o en 9, el número formado por los dígitos precedentes es múltiplo de 4. Esto nos puede servir para, por ejemplo, saber que 1469 no es un cuadrado perfecto (ya que 146 no es múltiplo de 4).
  • Si un cuadrado perfecto termina en 4, el dígito anterior es un número par. Sabemos entonces que 345679874 no puede ser un cuadrado perfecto.
  • Si un cuadrado perfecto termina en 6, entonces el dígito anterior es impar. Con esto es claro que un número como 9215782946 no es un cuadrado perfecto.
  • Si un cuadrado perfecto termina en 5, entonces termina siempre en 25. Además, justo antes del 25 debe haber un 0, un 2, 06 ó 56. Por ejemplo, el número 2443215 no es un cuadrado perfecto.
  • Un cuadrado perfecto deja resto 0 ó 1 tanto si lo dividimos entre 3 como si lo dividimos entre 4. Por tanto, si obtenemos resto 2 al dividirlo entre 3 o restos 2 o 3 al dividirlo entre 4, el numéro en cuestión no es un cuadrado perfecto.
  • La raíz digital de un cuadrado perfecto es 1, 4, 7 o 9. Recuerdo que la raíz digital de un número se calcula sumando todas las cifras del número inicial, sumando después las cifras del resultado obtenido, y así sucesivamente, hasta que lleguemos a un número de una sola cifra. Por ejemplo, con esto podemos descartar rápidamente que el número 26789199 sea un cuadrado perfecto (su raíz digital es 6).

Como veis, todas estas propiedades son útiles a la hora de descartar que cierto número sea un cuadrado perfecto, por lo que nos pueden ayudar a saber qué cifras podrían (o no) ocupar ciertos lugares dentro de los cuadrados perfectos que debemos colocar en nuestras filas y columnas. Si sabéis alguna otra propiedad de los cuadrados perfectos que nos pueda venir bien para nuestro crucigrama, todos agradeceremos que nos la dejéis en los comentarios.

Espero vuestra participación. Muchas gracias a todos.


La imagen principal la he tomado de aquí.


Esta entrada participa en la Edición 11.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Fran Martínez Seoane desde su blog Astronautas y Robots vs Coronavirus.

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