Spain is different por muchas cosas, tanto buenas como malas. Nuestro clima, nuestra cultura, nuestra forma de actuar y de afrontar muchas situaciones, y, en general, nuestra forma de ver la vida, hace que seamos diferentes a muchos de nuestros vecinos cercanos (y muchos más a los lejanos). Aunque bueno, cualquiera podría decir lo mismo del resto de países o culturas: todas tienes unas ciertas características concretas que las hacen ser distintas de las demás.

Lo que casi nadie puede decir es que en su documento de identificación (el que sea equivalente a nuestro DNI) aparezcan dos apellidos. España es uno de los pocos países (creo que no es el único, pero no debe haber muchos más) en los que a cada persona se le asignan dos apellidos: el primero del padre y el primero de la madre. El orden por defecto suele ser padre-madre, aunque como todos sabréis se puede cambiar.

Lo que os voy a contar hoy trata sobre los apellidos, pero no sólo sobre estos dos primeros, sino sobre muchos más apellidos que todos poseemos, aunque no pertenezcan oficialmente a nuestro nombre completo.

La lista completa de apellidos y una secuencia conocida

Bien, alarguemos un poco nuestra lista de apellidos. ¿Cómo? Pues añadiendo después de nuestro segundo apellido el segundo de nuestro padre y después el segundo de nuestra madre; después el tercero de nuestro padre y el tercero de nuestra madre; y así sucesivamente. Es evidente que por comodidad a la hora de trabajar con nuestro nombre completo no tendría sentido identificarnos con tal cantidad de apellidos, pero bueno, ahí están.

El caso es que podría ser que una forma más lógica de mostrar en nuestro nombre esta sucesión de apellidos habría sido colocar en las posiciones impares los apellidos del progenitor con nuestro mismo sexo, es decir, si somos un hombre colocar en las posiciones impares los apellidos de nuestro padre y si somos una mujer los de nuestra madre. ¿Cómo quedaría entonces nuestra sucesión de apellidos? Para que el análisis sea más sencillo de seguir vamos a ir tomando grupos de 2^k elementos, comenzando siempre desde el primero (en adelante, asignaremos un 0 a cada apellido que sea el primero de una persona de nuestro sexo y un 1 a cada apellido que sea el primero de una persona de sexo contrario al nuestro).

  • k=1: Los apellidos de nuestros padres

    Si somos un varón, nuestro primer apellido es el de nuestro padre, que por ser del mismo sexo que nosotros pasa a ser un 0, y el segundo es el de nuestra madre, que por ser de sexo contrario al nuestro quedará como un 1. Si somos una mujer, nuestro primer apellido será el de nuestra madre, que como es de nuestro mismo sexo será un 0, y el segundo el de nuestro padre, que al ser de sexo contrario nos da un 1. Por tanto, en ambos casos, los dos primeros apellidos dan la secuencia 01.

Asumimos a partir de ahora que tanto si somos un varón como si somos una mujer la sucesión de apellidos siempre es la misma. Por ello, calcularemos la sucesión de apellidos como si fuéramos un varón.

  • k=2: Los apellidos de nuestros abuelos

    Los que van colocados en posición impar son los de nuestro padre, que corresponden a un hombre, 0, para el primer lugar (abuelo paterno) y a una mujer, 1, para el tercer lugar (abuela paterna), por lo que la sucesión quedaría por ahora 0_1_. Los de nuestra madre irían colocados en los lugares pares, siendo el de una mujer, 1, el que colocaríamos como segundo (el de nuestra abuela materna, que sería el que nuestra madre tiene en primer lugar) y el de un hombre, 1, el que colocaríamos como cuarto (el de nuestro abuelo materno, que sería el que nuestra madre tiene colocado en segundo lugar. La secuencia de los cuatro primero apellidos queda entonces así: 0110.

  • k=3: Los apellidos de nuestros bisabuelos

    Un análisis parecido al anterior nos daría como resultado que la secuencia de nuestros ocho primeros apellidos sería 01101001.

  • Analizando hasta k=6, la secuencia quedaría como sigue:

    i=1: 01
    i=2: 0110
    i=3: 01101001
    i=4: 0110100110010110
    i=5: 01101001100101101001011001101001
    i=6: 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110

Echando un vistazo a la sucesión que nos queda se pueden ver varias cosas. Por ejemplo, que la primera mitad de cada fila es igual a la parte impar de esa fila y también igual a la fila anterior. O que en la segunda mitad de cada fila aparecen exactamente los símbolos opuestos que en la primera mitad, lo mismo que ocurre en cada fila si comparamos su parte impar con su parte par. Además, las filas pares son simétricas respecto de su centro, mientras que las impares son antisimétricas.

Bien…¿no os suena de algo esta sucesión? Seguro que alguno de vosotros ya lo sabréis, pero supongo que la mayoría no. La secuencia de ceros y unos que se forma con la asignación anterior de apellidos es la sucesión de Thue-Morse.

Axel Thue y Marston Morse

Aparte del tema de los apellidos, una forma de definir esta sucesión es la siguiente:

\begin{matrix} d_0=0 \\ d_{2n}=d_n \\ d_{2n+1}=1-d_n \end{matrix}

Tomando esta sucesión de dígitos 0 y 1 como los decimales de un número en base 2, esto es:

0,0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110…

al pasarlo a base 10 obtenemos un número trascendente, cuyos primeros dígitos son:

0,41245403364…

que se conoce con el nombre de constante de Thue-Morse.

Al parecer la primera aparición de esta secuencia fue en 1851, estudiada por Prouhet. Al no mencionarla explícitamente, dicha sucesión permaneció oculta hasta 1906, cuando Axel Thue la nombró en un trabajo sobre combinatoria lingüística. En 1921, Marston Morse la aplicó a sus trabajos sobre geometría diferencial.

El caso es que esta sucesión es uno de esos entes matemáticos que aparecen cuando uno menos se lo espera. Quizás una de las situaciones más interesantes en las que aparece la sucesión de Thue-Morse es la descubierta por el matemático y ajedrecista Max Euwe, que redescubrió esta sucesión y la aplicó al estudio de partidas infinitas de ajedrez.

En la enciclopedia de las sucesiones podéis encontrar muchos más datos sobre esta sucesión de Thue-Morse. Y en MathWorld también podéis encontrar muchas propiedades de ella.


Fuentes:


Este artículo es mi segunda colaboración para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Los matemáticos no son gente seria, de Juan Martínez-Tébar.

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