En mi última charla ¿Se puede «hacer» matemáticas a través de un blog? en la Universidad de Sevilla (podéis ver mis impresiones sobre ella en este enlace), me hicieron dos preguntas. Una de ellas la realizó Raven_Neo (gracias otra vez por la grabación; cuando subas el vídeo no te olvides de avisarme) y trataba sobre las formas que usamos para promocionar el blog en sus inicios (a lo que, por cierto, respondí en principio que la mejor promoción es salir en Microsiervos). La otra la formuló Tito Eliatron, y en ella me preguntaba sobre comentarios que me han sorprendido de entre todos los que me han dejado en Gaussianos.

Aparte de destacar lo mucho que os involucráis en los comentarios, sobre todo en los problemas que planteo semanalmente (ya hablé del perro y los soldados de josejuan, pero hay más, como el programa que creó Lek en el post sobre la constante de Kaprekar, por destacar uno de los primeros), comenté que me sorprendía mucho que haya gente que continúa comentando cosas como que la cuadratura del círculo con regla y compás es posible y que tiene una prueba de ese hecho (que, como ya vimos, es una construcción imposible con regla y compás), y también que sigue habiendo gente que comenta y me envía al mail demostraciones de resultados tipos la conjetura de Goldbach o la conjetura de Collatz.

Sí, es cierto, yo he recibido varios intentos de demostración de resultados de ese tipo. Concretamente de la conjetura de Collatz me han llegado dos: en una de ellas en realidad no se demostraba nada (estaba disponible por internet, si a alguien le interesa verla que me envíe un mail y la busco) y la otra no la he leído con detenimiento todavía (me ha llegado hace poco), Pero es la conjetura de Goldbach la que se lleva la palma: al menos 5 «demostraciones» de esta conjetura han llegado al correo de Gaussianos, quizás más. Recuerdo que en una de ellas la persona usaba dentro de la demostración el propio resultado que estaba demostrando, otra que era una demostración tipo TAMO

Then A Miracle Occurs...

y otra que me ha llegado hace pocos días y que os dejaré al final de este post para que la analicéis vosotros.

El caso es que estando en la charla en Sevilla llevaba una de esas supuestas demostraciones entre mis cosas y olvidé comentarlo durante la conferencia. Después hablé sobre ello en la cuenta de Twitter de Gaussianos y dio para una graciosa conversación

que ClaraGrima se encargó de finiquitar de una manera sublime

Pero bueno, volviendo al tema, la cuestión es que todavía la gente cree tener en su poder demostraciones de resultados que está probado que son falsos, refutaciones de resultados que está demostrado que son cierto o pruebas tremendamente simples de conjeturas que han pasado por las manos de los mejores matemáticos de la historia y que han sobrevivido a todos ellos. Porque esta es una de las característica que tiene todas las demostraciones de este tipo que he recibido: suelen utilizar matemáticas básicas, muy básicas, casi exclusivamente aritmética y álgebra de primeros cursos de secundaria. Y yo pienso lo siguiente:

Vale que hay una mínima posibilidad de que exista una demostración simple para un resultado como la conjetura de Goldbach, pero ¿no os parece raro que se le haya escapado a todos los matemáticos que la han atacado desde el siglo XVIII hasta nuestros días?

Bien, con todo y con esto no veo mal que haya gente que intente demostrar resultados así, se ve con ello que hay personas que se sienten tan atraídas por las matemáticas como para luchar contra conjeturas como éstas. Si eres una de esas personas, te recomendaría que te prepararas bien antes de meterte en esta lucha, que te armaras de conocimientos y, si puede ser, que lo hicieras bajo la batuta de profesionales. Porque otra de las características de la mayoría de los que me han enviado demostraciones de estos resultados es que son autodidactas. Y ello conlleva por un lado que hay conocimientos que no tienen o que tienen mal asimilados, y por otro que es muy complicado razonar con ellos, hacerles ver que están equivocados o que lo que creen que es una demostración muy novedosa en realidad es una trivialidad absoluta. Posiblemente con una formación mejor eso no ocurriría, u ocurriría en menor medida.

Es evidente entonces que no suelo tener la más mínima esperanza de encontrarme en mi correo electrónico la solución a algún problema abierto. De todas formas sigo estando dispuesto a echar un vistazo a las posibles demostraciones de la conjetura de Goldbach, la de Collatz o resultados de ese tipo que lleguen a mi mail. He leído todas las que me han llegado con cierto detenimiento, para poder analizarlas bien, y lo seguiré haciendo con las que reciba a partir de ahora (siempre que el tiempo me deje, claro).

Y también es evidente que es muy complicado que la gente dedicada a las matemáticas de alto nivel se detenga a analizar todas las demostraciones de problemas conocidos que puedan llegar a sus manos por parte de personas ajenas a las matemáticas profesionales. Posiblemente solamente le dedicaran tiempo a alguna supuesta demostración que recibieran por parte de alguno de los grandes, y siempre con mucho recelo (la historia de Louis de Branges y la hipótesis de Riemann o la de su alumno Xian-Jin Li con el mismo problema obligan a ello).

Pero llegará el día…llegará el día en el que todos estos problemas tengan demostración…o el día en el que se encuentre un contraejemplo, o una prueba de su falsedad…o, al menos, llegará el día en el que se demuestre que dichos enunciados son indecidibles, momento éste en el que todos los que de un modo u otro nos hemos relacionados con estos problemas sentiremos que, ahora sí, tenemos una demostración o una refutación del mismo, o la seguridad de que es tiempo perdido buscar cualquiera de ellas…momento éste en el que estos problemas dejarán de ser eso, un problema.


Aquí os dejo la supuesta demostración de la conjetura de Goldbach que me ha llegado hace poco. Yo he apuntado a la persona que me la envió dos posibles errores. A ver si coincidimos todos o encontráis alguno nuevo que yo no haya visto:

Demostración de la conjetura fuerte de Goldbach para un número suficientemente grande

Un número n se puede expresar como suma de dos números entre 0 y n de n/2 formas distintas si n es par. Además, la cantidad de números primos menores que n es:

\pi(n) \sim \cfrac{n}{\ln{(n)}}

Y, a su vez, la cantidad de números primos menores que n/2 es:

\pi(n/2) \sim \cfrac{n}{2 \ln{(n/2)}}

Y la cantidad de números primos entre n/2 y n es igual a \pi(n)-\pi(n/2).

Cada uno de los números primos menores que n tiene una pareja, que puede ser primo o no, que cumple que al sumarla a ese número primo da n.

Sea p un número primo entre n/2 y n. Su pareja será n-p. La probabilidad de que dicho número sea primo es de:

\cfrac{2 \pi(n/2)}{n}

por lo tanto, la probabilidad de que no ocurra es de:

1- \cfrac{2 \pi(n/2)}{n}=\cfrac{n-2 \pi(n/2)}{n}

Tiene que repetirse tantas veces como primos hay entre n/2 y n, y luego calculamos la probabilidad de que ocurra:

P=1- \left ( \cfrac{n-2 \pi(n/2)}{n} \right )^{\pi(n)-\pi(n/2)}

Ahora, si hacemos tender n a infinito:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} 1- \left ( \cfrac{n-2 \pi(n/2)}{n} \right )^{\pi(n)-\pi(n/2)}=1- \left ( \cfrac{n-2 \frac{n}{2 \ln{(n/2)}}}{n} \right )^{\frac{n}{\ln{(n)}}-\frac{n}{2 \ln{(n/2)}}}=1}

Por lo tanto, la probabilidad de que un número relativamente grande n sea igual a la suma de dos números primos es igual a 1 cuando n tiende a infinito.


Este artículo es mi tercera (y última) colaboración para la Edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Los matemáticos no son gente seria, de Juan Martínez-Tébar.

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