La constante de Kaprekar

Posted By ^DiAmOnD^ on 31 de julio de 2006 in Curiosidades | 36 comments

Os voy a proponer un juego. El mecanismo es el siguiente: escoged cualquier número de 4 cifras que no las tenga todas iguales. Por ejemplo el 5843. Ahora ordenad las cifras de mayor a menor y de menor a mayor, obteniendo así otros dos números de 4 cifras. En este caso 8543 y 3458. Ahora restadlos, y con el número obtenido seguid los mismos pasos. En este ejemplo la cosa quedaría así:

8543-3458=5085
8550-558=7992
9972-2799=7173
7731-1377=6354
6543-3456=3087
8730-378=8352
8532-2358=6174

Si intentáis continuar siempre os quedaréis en el número 6174. Esto ocurre con cualquier número de 4 cifras en un máximo de 7 pasos. Curioso, ¿verdad?.

Pues este número se denomina constante de Kaprekar por su descubridor, el matemático indio Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Kaprekar se dedicó principalmente a la teoría de números donde obtuvo ciertos resultados interesantes.

Y uno puede preguntarse: para los números de 4 cifras existe una constante de Kaprekar. ¿Y para el resto?. Pues es sencillo ver que existe una constante de kaprekar para los números de 3 cifras y más complicado ver que también existe para los números de 6, 8, 9 y 10 cifras, pero no para los de 2, 5 ó 7 cifras.

Os animo a que intentéis encontrarla en los casos en los que existe y que nos comentéis vuestros progresos y resultados.

Edito: Error corregido en los cálculos (Gracias Lek)

Futurama y las matemáticas I

Posted By fran on 31 de julio de 2006 in Curiosidades | 6 comments

Voy a comenzar una serie de posts, en los cuales os mostraré la relación que hay entre Futurama y las matemáticas.

• La descongelación de Fry
  En el primer episodio de la serie Piloto Espacial 3000, Fry se congela el 1 de Enero de 2000 a las 0:00 AM. A partir de entonces, empezó una cuenta atrás de 1000 años para la descongelación, contando que según el calendario Gregoriano cada año tiene 365′2425 días, Fry debería despertarse el 31 de Diciembre de 2999 a las 12 del mediodía. Si recordamos el capítulo, sabremos que esto es cierto, aunque la hora en ningún momento se menciona parece ser correcta.
• ¿Qué día es hoy?
  El mismo día en el que despierta Fry, Bender menciona que los Martes la entrada al museo es gratis. Si realizamos los cálculos o miramos un calendario del 2999, veremos que el 31 de Diciembre cae en Martes. Estos guionistas no dejan nada al azar, ¿eh?
• Marcado por el dólar
  En el episodio Yo, Compañero de Piso, el número de apartamento de Bender es el 00100100, que además de capicua en binario es el número 36 y si vemos la tabla ASCII es el caracter del dólar $, además el bloque de apartamentos contiene solo 256 apartamentos, igual que caracteres en la tabla ASCII.
  
• Un número aburrido
  En el episodio Cuento de Navidad, Bender es el hijo #1729. Además, la nave Nimbus tiene también el 1729 grabado en su carrocería y también existe el “Universo 1729″ de la paracaja de Farnsworth. El 1729 es el llamado número de Hardy-Ramanujan, llamado así por la siguiente anécdota:

  Una vez, en un taxi de Londres, a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió de estar pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan tumbado en la cama y, con un hola seco, expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio. No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes.

  A los números que cumplen dicha propiedad se les conoce como los números Taxicab, es decir, el número natural que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes. (Más información)

Con esto termina el primer post sobre Futurama y matemáticas, en un par de días el siguiente.

¿Por qué no hay premio Nobel de Matemáticas?

Posted By ^DiAmOnD^ on 29 de julio de 2006 in Curiosidades, Historia | 39 comments

Los premios Nobel se entregan a personas que han sobresalido en ciertos campos realizando aportaciones lo suficientemente importantes a la sociedad. Se entregan anualmente el 10 de diciembre (fecha en la que murió Alfred Nobel) en Estocolmo y los campos en los que se otorgan son Física, Química, Medicina, Literatura, Paz y Economía. Por tanto, como podréis ver, no hay premio Nobel de Matemáticas….¿por qué?.

Existen un par de leyendas para explicar este tema. Una de ellas dice que cuando Nobel pensó en los premios pidió consejo a especialistas sobre quién podría merecer cada uno de ellos. En la categoría de Matemáticas le informaron que Mittag-Leffler, un matemático sueco, sería idóneo para recibirlo. Pero Nobel se llevaba mal con él, y prefirió no entregar premio en esta rama para no dárselo a él. Y la otra es aún más rosa: se dice que el tal Mittag-Leffler tenía amoríos con la mujer de Nobel y por ello no instauró el premio para esta ciencia.

Pero son sólo eso: leyendas. No se tiene constancia de que Nobel tuviera referencias de este matemático sueco, de hecho parece ser que apenas lo conocía, por tanto no podría llevarse mal con él. La otra historia se desmonta de forma sencilla: Nobel nunca estuvo casado.

La razón por la cual no hay premio Nobel de Matemáticas es que Nobel no consideró esta ciencia como importante para la vida en el sentido práctico y eligió para los premios ramas que sí consideró importantes para el avance de la sociedad. Como todos sabemos evidentemente se equivocó en ese razonamiento ya que las Matemáticas son esenciales en nuestra vida. Pero Nobel no la consideró así.

Con todo y con esto ha habido matemáticos que han sido merecedores del premio Nobel en alguna de las categorías en las que se entregan. Un par de ejemplos son John Forbes Nash, premio Nobel de Economía y José Echegaray, premio Nobel de Literatura.

Pero los matemáticos no estamos exentos de premios específicos para nosotros. Como ya comenté en este post existe un premio, digamos, equivalente al Nobel destinado a matemáticos: la medalla Fields, que se entrega cada cuatro años a uno o varios matemáticos sobresalientes en ese período y que cumplan la condición de que no superen los 40 años de edad. Es el mayor galardón que puede recibir un matemático y el próximo, como ya comenté, será Grigori Perelman.

(Gracias por la info MaLyS)

Hacer raíces cúbicas de memoria

Posted By fran on 28 de julio de 2006 in Aprenda como | 18 comments

A todas aquellas personas que no saben hacer una raíz cuadrada sin calculadora (yo estoy entre ellas), les traigo el cálculo de raíces cúbicas de números de 9 dígitos de memoria, al que a partir de ahora lo abreviaremos en RCN9D.

• Lo primero que hay que saber, es que en el rango de números de 9 dígitos sólo existen 999 números que tienen raíces cúbicas, así el conjunto de 9 dígitos se ha reducido bastante.
• Primer truco: aprenderse los cubos de los 10 primeros números, como si estuvieramos en 2º de Primaria, con las tablas de multiplicar. Con esto conseguiremos sabe la base de nuestras RCN9D, consiguiendo saber las raíces cúbicas de números de 3 dígitos.
• Segundo truco: ahora vamos a atacar las raíces cúbicas de números de 6 dígitos, para ello cogeremos los tres primeros dígitos de nuestro número y veremos una aproximacíon, con las raíces cúbicas de 3 dígitos, por ejemplo: 300763 => 300 => Raíz cúbica entre 6 y 7, por esto la de 300763 estará entre 60 y 70.

  

  Gracias a esta imagen podremos realizar un cálculo para obtener la raíz cúbica de nuestro número de 6 dígitos, se realiza el siguiente cálculo, a los últimos tres dígitos se les aplica el módulo 10 obteniendo un dígito, que mirandolo en la tabla conseguiremos su resultado de elevarlo al cubo y aplicarle el módulo 10. Para entendernos todos, solo debemos hacer el módulo 10 a los tres últimos dígitos del número de 6 dígitos y conseguimos un número (parte izquierda) que en la tabla está relacionado con otro (parte derecha), así con este resultado y la primera aproximación hallamos la raíz cúbica.
  Siguiendo el ejemplo sería, 300763 => 300 => Raíz cúbica entre 6 y 7, por esto la de 300763 estará entre 60 y 70, 763 mod 10 = 3, que poniendolo en la tabla obtenemos 7 y como 77 no puede ser al pasarse del rango, pues el resultado es 67.

• Tercer truco: Ya podemos realizar nuestras buscadas RCN9D, para ello basándonos en las mismas técnicas de antes podremos hacer aproximaciones rápidas. Por ejemplo: 580093704, cogiendo los tres primeros dígitos 580 podemos saber que está entre 512 (8 al cubo) y 729 (9 al cubo), para saber así que el resultado de la RCN9D estará entre 800 y 900 (gracias a nuestro primer truco). Ahora cogiendo el último dígito, 4 con la tabla del segundo truco sabemos que el resultado será del tipo 8X4, donde X es un número del 0 al 9, solo nos queda saber cual será ese número. Para esto, haciendo algo parecido a nuestro segundo truco, conseguiremos otra tabla basada en módulos y sus respectivos cubos, para poder hallar así al número central:

  

  Con esta tabla, vemos los módulos de 9 y de 11 que usaremos ahora para calcular nuestra RCN9D, aunque el módulo 9 no se va a usar los autores lo pusieron porque explicaban algo más que yo. Así usando el módulo 11 y nuestro número, tendremos que realizar el siguiente cálculo, restar y sumar alternativamente de derecha a izquierda, sucesivamente hasta tener un número menor de 11, restarlos de manera que quede un número positivo de un dígito, a ese número le aplicaremos el módulo 11 e iremos a la tabla para saber su resultado.
  Siguiendo el ejemplo, que es como mejor se entera uno, 580093704 = 4 – 0 + 7 – 3 + 9 – 0 + 0 – 8 + 5 = 14 = 4 – 1 = 3 modulo 11, mirando la tabla conseguimos que la raíz cúbica es igual a 9 mod 11, por esto tendremos que realizar la siguiente ecuación, sabiendo que el número es del tipo 8X4, resolveremos la ecuación 4 – x + 8 = 9 modulo 11 => 12 – x = 9 modulo 11, so x = 3 modulo 11. Esta ha sido fácil, no se si saldrán ecuaciones más díficiles.

Todo este rollo, parece díficil y complicado, pero creo que con algo de práctica se pueden hacer estas RCN9D fácilmente.

(Traducido de Philip Dorrell’s Blog)

El número primo ilegal

Posted By fran on 27 de julio de 2006 in Informática, Números primos | 5 comments

Todos sabemos que es un número primo, ¿no? No pasa nada, se explica en un momento.

Un número primo es todo número que solo es divisible por sí mismo y por la unidad (el número 1), así podemos poner como ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, …

Conociendo ya a qué nos referimos con número primo, podemos pasar a explicar porque puede existir un número primo en nuestra sociedad tan cívica y avanzada.

Resulta que en EEUU existe una ley, llamada Digital Millennium Copyright Act (DMCA), que prohibe intentar descifrar contenidos o poseer artefactos que permitan su descifrado que no sean los que autoriza el editor de los contenidos. Basándose en esta ley, se ha propuesto ilegalizar un número primo que interpretado de una manera, es un programa que salta las protecciones de derechos de autor de los DVDs.

El programa conocido como DeCSS, sirve para saltarse la protección de los DVDs. Y como todo programa es, al fin y al cabo, un número binario al pasarse a forma decimal, se consigue un número que en realidad es el programa que queremos. Así a este programa, efectuandole una serie de compresiones y modificaciones en el código, se le consiguió asignar un número binario, que en decimal es un número primo.

Por tanto, este número al aplicarse la ley DMCA sería considerado ilegal en EEUU.

(Más información en este artículo de la wikipedia)

Actualizo: El número 1 no se considera primo por convenio, los números primos comienzan en el número 2. (Más información)