Wikillerato: el wiki del Bachillerato

Wikillerato en un wiki creado por Educared en el cual podemos encontrar información sobre todas las asignaturas de Bachillerato. Es un proyecto muy interesante y la información que podemos encontrar en él es muy útil tanto para alumnos como para profesores.

En la sección de Matemáticas podemos encontrar conceptos relacionados con álgebra, geometría, cálculo y estadística a nivel de bachillerato. Algunas de ellas todavía están por completar. Por ello es interesante que sea un wiki ya que al ser así cualquiera puede editarlos. Para asegurar la fiabilidad de los textos escritos cada sección tiene uno o varios moderadores.

Por cierto, la licencia de los textos que podemos encontrar en este wiki es Creative Commons.

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Los números no mienten, las personas sí

Probablemente pocos de vosotros sabréis de dónde sale esta frase. Es la frase respecto a la cual gira la serie Numb3rs. Los protagonistas de la misma son dos hermanos, Don, agente del FBI, y Charlie, genio matemático. En cada capítulo el FBI resuelve un caso con la ayuda de los conocimientos matemáticos de Charlie. Es la serie ideal para comenzar a tener una (al menos) ligera idea de cómo las Matemáticas pueden aplicarse a casos reales de la vida cotidiana.

La serie comenzó a emitirse a comienzos de marzo de 2006 en Antena 3, pero no duró demasiados capítulos. Pero parece ser que la cadena se ha replanteado la emisión de la misma y a partir de hoy mismo, 18 de enero de 2007, se vuelve a emitir. Parece ser que el capítulo que van a emitir en este re-estreno es el capítulo 8 de la primera temporada de la serie: Crisis de identidad. Si no recuerdo mal ese capítulo no se llegó a emitir el año pasado.

Me parece una muy buena noticia que Numb3rs vuelva a la parrilla televisiva. Hablaremos dee ella en Gaussianos.

Y para terminar os dejo este enlace a una curiosidad de la serie que publicó neok hace un tiempo.

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Criptografía: Protocolo de distribución de clave BB84

El cifrado de Vernam

El protocolo de cifrado que se usa en criptografía cuántica es posiblemente el más sencillo de todos y hasta ahora, el único que se ha demostrado que es irrompible, el cifrado de Vernam, o One Time Pad. Como ya se ha explicado anteriormente, no me extenderé demasiado, solamente diré que consiste en una clave 100% aleatoria (no vale pseudoaleatoria) de igual longitud que el mensaje y que lo único que hay que hacer para cifrar es un XOR con el mensaje y la clave. ¿Cuál es el problema? Que solo se puede usar una vez, porque si usáramos dos veces la misma clave, el problema de encontrar el texto en claro sería trivial para cualquier criptoanalista. Entonces, si no podemos usar la misma clave dos veces, tendremos que hacer llegar la clave al receptor de alguna manera, o bien quedando con él antes o a través de un canal seguro. La idea del canal seguro es inútil, porque si de verdad exisitiera no tendríamos ni que cifrar el mensaje, respecto a lo de quedar antes en persona, es lo que se solía hacer para usar este cifrado, como los cuadernos con claves de un solo uso que se usaban en la Segunda Guerra Mundial y que Stephenson narra perfectamente en su Criptonomicón. Pero hoy día, la opción de los cuadernos de un solo uso queda totalmente fuera de uso y es poco útil en comunicaciones industriales y operaciones que se realizan a diario.

En definitiva, tenemos el sistema ideal de cifrado, sencillo y eficaz, pero no podemos usarlo por un pequeño problema técnico a la hora de distribuir la clave. La mecánica cuántica viene a solucionar este problema proponiendo un método para distribuir una clave binaria, tan larga como se quiera, totalmente aleatoria y asegurándose de que solo el emisor y el receptor la poseen, justo lo que necesitamos.

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La conjetura de Euler

En Gaussianos ya hemos hablado unas cuantas veces de Leonhard Euler (véanse, por ejemplo, la identidad de Euler y el problema de Basilea). Es uno de los matemáticos más grandes de la historia, y el que más publicaciones matemáticas tiene a su nombre. Se interesó por muchas de las ramas de las matemáticas y realizó aportaciones a muchas de ellas. Pero todo esto no le da fiabilidad total. Veamos cómo los genios también se equivocan.

Esta conjetura de Euler está inspirada en el último teorema de Fermat. Este resultado dice que xn+yn=zn no tiene soluciones enteras positivas cuando n > 2. El resultado que Euler propuso en 1769 puede formularse de la siguiente forma:

No existen n-1 números tal que sus potencias n-ésimas suman otra potencia n-ésima

Esta afirmación dice que, por ejemplo, las siguientes ecuaciones no tienen soluciones enteras positivas:

a4+b4+c4=d4

a5+b5+c5+d5=e5

La relación con el último teorema de Fermat se ve claramente…pero a diferencia de éste la conjetura es falsa. En 1966 Lander y Parkin encontraron el siguiente contraejemplo:

275+845+1105+1335=1445

Es decir, la conjetura es falsa ya que hemos encontrado un contraejemplo para un cierto n, n=5 concretamente. Pero podría ser cierta para n=4. En 1986 Noam Elkies se encargó de refutar la conjetura también para este n encontrando el siguiente contraejemplo mediante un método construido por él mismo:

26824404+153656394+187967604=206156734

En 1988 Roger Frye, usando las técnicas sugeridas por Elkies, encontró el contraejemplo más pequeño para n=4:

958004+2175194+4145604=4224814

En esta página se publican los ejemplos que van encontrando que cumplen alguna de las ecuaciones de este tipo. En esta sección podéis ver algunos. Son los que tienen delante un (n,1, n-1).
Por ejemplo, en marzo de 2006 encontraron el siguiente contraejemplo bestial:

224955952840404+75924319813914+272397916926404=299998579386094

Por tanto aquí tenemos otro ejemplo de conjetura que tiempo después acaba resultando falsa (véase la conjetura de Polya).

Fuente: Math is Good For You

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Criptografía: Introducción a los cifrados cuánticos

Vuelve la saga de la criptografía, esta vez con dos posts que intentarán explicar algo de la tan desconocida (incluso por mí) criptografía cuántica. Estos dos posts han sido escritos para nosotros por Sergio, al que le damos las gracias por su colaboración y por su gran explicación de este tema.

Este post no contiene mucho acerca de la criptografía cuántica en sí, sino más bien es un post de conceptos y términos que se usarán en el siguiente post. Esperemos que todos aprendamos cosas interesantes de estos posts, y por cierto decir que yo no tengo ni la más remota idea de estos temas así que las dudas serán difíciles de solucionar por mí.

Sobre la polarización de la luz.

El problema de la criptografía cuántica es que, aunque su protocolo sea sencillo, necesita unos conocimientos de mecánica cuántica para entenderlo. Intentaré en este primer punto explicar por encima como se comportan los fotones y que interés tiene esto para nosotros.

Pasando por alto la polémica que iniciaron Newton y Huygens sobre la naturaleza de la luz, vamos a empezar suponiendo que la luz se propaga en forma de ondas. Todos hemos visto una onda dibujada como una función seno o coseno, y realmente no necesitamos más, solo hay que darse cuenta que estas ondas están dibujadas sobre un papel y por tanto son planas, y aunque esto no tiene por que ser siempre así, ya que la dirección de oscilación puede variar de un punto a otro, ese tipo de ondas no nos interesan. Pues bien, tenemos ondas planas, pero ahora tenemos que tener en cuenta la orientación del papel, podemos ponerlo perpendicular al suelo, de manera que tendremos una onda verticalmente polarizada, o paralelo al suelo, en cuyo caso será horizontalmente polarizada. Pero también lo podemos ponerlo de manera oblicua, digamos 45º o -45º o incluso cualquier otra orientación, sin embargo son estas las que nos interesan.

Si estudiamos ahora los polarizadores, podemos suponerlos como un filtro formado por rendijas muy pequeñas. Estos filtros solo dejan pasar la luz polarizada en la misma dirección que las rendijas, por ejemplo, si tenemos un polarizados horizontal, con las rendijas paralelas al suelo, el papel (siguiendo con el simil de una función seno dibujada) podría pasar por ellas si estuviera horizontal, es decir, si la honda fuera horizontalmente polarizada, pero no si fuera vertical. Ahora bien, si la onda fuera oblicua a 45º, y recordando un poco de suma de vectores, podemos descomponerla en una componente horizontal y otra vertical, y solo pasaría una de las dos componentes, de manera que tendríamos la mitad de la luz al final y además, estaría horizontalmente polarizada, por lo que habríamos cambiado su polarización. Ojo a este punto porque es importante.

Además, existen otro tipo de polarizadores un poco más complicado que lo que hacen es actuar como si fueran dos juntos, dejan pasar toda la luz tanto si es horizontal como vertical, y además no la modifican, pero si es oblicua, la convierten en horizontal o vertical al azar, y además es un azar puro, nada de procesos caóticos deterministas, azar puro y duro. Así, si mando una onda a +45º por este polarizador tendré un 50% de probabilidades de obtener una onda horizontal y las mismas de tener una onda vertical. Por supuesto, lo mismo ocurre al revés, tomando un polarizador a ±45º y ondas horizontales y verticales. Y si hasta ahora hemos estado trabajando con ondas, la parte más sorprendente es que la luz también se comporta como partículas, y además estas partículas heredan todas las propiedades de las ondas. Parece que no tiene mucho sentido hablar de la polarización de una partícula, entendida como una pequeña bolita, pero resulta que efectivamente, los fotones individuales, como partículas, tienen polarización, y es con fotones con lo que vamos a trabajar.

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