El número Pi, la constante universal del círculo, no necesita presentación. Podríamos decir sobre ella, entre otras muchas cosas, que es un valor que aparece en todas las circunferencias al dividir la longitud de la misma entre su diámetro. Ahora, ¿qué pensarías si te digo que hay una constante universal de las parábolas? Sí, eso es: un número que aparece, cual Pi, en todas las parábolas del mundo mundial al hacer cierto cociente. ¿Sorprendido? ¿Incrédulo? No me extraña…

…porque yo mismo me quedé bastante sorprendido cuando, hace pocos días, supe de la existencia de esto. Nunca, en toda mi vida, había oído hablar de esta constante de las parábolas. Y ahora que conozco su existencia no he podido resistirme a hablaros de ella.

Vamos a comenzar, estaba claro, con una parábola. Por recordarlo, la definición de parábola como lugar gométrico es la siguiente:

Parábola: conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de cierto punto F, llamado foco, y cierta recta d, llamada directriz.

Qué bonitas imágenes podemos generar con parábolas.

Las parábolas tiene otro punto característico llamado vértice. Supongamos que el vértice de la nuestra es el punto V=(0,0) (si fuera cualquier otro, la desplazamos a V) y su foco es el punto F=(0,a). Por tanto, su directriz será la recta y=-a.

Con toda esta información ya es sencillo encontrar la ecuación de dicha parábola. Tomamos un punto (x,y) cualquiera de ella, calculamos las distancias (las tomaremos al cuadrado) al foco F y a la recta d e igualamos:

x^2+(y-a)^2=(y+a)^2

Desarrollando en ambos miembros y operando obtenemos la ecuación:

\boxed{y=\cfrac{x^2}{4a}}

Y la representación gráfica quedaría de la siguiente forma:

Además de la parábola y sus elementos, podemos ver algunas cosas más en la imagen anterior. La recta paralela a la directriz que pasa por el foco corta a la parábola en dos puntos (en azul en el dibujo). El segmento que los une se denomina lado recto. De esto, lo que nos interesa es el segmento de parábola que «abarca» dicho lado recto (esto es, el «trozo» de parábola que hay entre los dos puntos azules). Por otro lado, también aparece marcado (en rojo) el corte con la directriz de la perpendicular a ella misma que pasa por el foco, y el segmento que va desde dicho foco a ese punto de corte:

Ya llegamos a nuestro objetivo. En la nuestra y, en general, en cualquiera parábola se cumple lo siguiente:

El cociente de la longitud del segmento de parábola que va de A a B y la del segmento rectilíneo que une el foco F con el punto C de la directriz es constante. Dicho cociente P es igual a:

P=\sqrt{2}+ln(1+\sqrt{2})

Nos queda algo como lo que sigue:

Comparando con las circunferencias sería algo así como que el segmento de parábola que abarca el lado recto sería el equivalente a la longitud de la parábola, y el segmento recto que va del foco al corte con la directriz sería el diámetro de la parábola. Sencillamente maravilloso.

Os dejo a continuación un applet de GeoGebra en el que podéis ver que para distintas situaciones del foco, el cociente anterior da siempre el mismo resultado, P. Podéis mover el punto negro para ir cambiando los valores de a (si tenéis sugerencias para mejorar el applet, os agradeceré que me las dejéis en los comentarios):

La demostración analítica de esta propiedad de las parábolas, del valor constante de P, no es demasido difícil. Os dejo a vosotros que lo intentéis, pero podéis preguntar en los comentarios si no véis cómo hacerla.

Para finalizar sobre nuestra «nueva» constante universal de las parábolas, es interesante defstacar que, al igual que \pi, esta P es un número trascendente. Y eso es también sencillo de demostrar:

Si P=\sqrt{2}+ln(1+\sqrt{2}) fuera algebraico, también lo sería P-\sqrt{2}=ln(1+\sqrt{2}). Entonces, por el teorema de Lindemann-Weierstrass, e^{P-\sqrt{2}} sería un número trascendente. Pero ese número es igual a 1+\sqrt{2}, que resulta ser algebraico. Por tanto, la constante universal de las parábolas, P, es un número trascendente.

Un detalle, no menor, sobre este asunto. En todo el desarrollo he utilizado la parábola y={x^2 \over 4a}, por lo que cabría preguntarse si de verdad el valor de P es siempre el mismo para cualquier parábola, ¿no?

Bien, pues la respuesta es, evidentemente, sí. Y la razón es que, agarraos a la silla, todas las parábolas son iguales. Y son iguales en el mismo sentido en el que todas las circunferencias son iguales, esto es:

La forma de todas las parábolas es la misma, y si en ocasiones vemos unas más «anchas» o más «estrechas» que otras es porque las estamos contemplando «a distintas distancias».

Lo que nos lleva a esta lapidaria, a la par que sorprendente, afirmación:

SÓLO EXISTE UNA PARÁBOLA VERDADERA

Está claro que una circunferencia de centro (0,0) y radio 1 y otra del mismo centro pero de radio 3 no son exactamente la misma figura, pero sí que pueden considerarse «similares» pensando que la primera es más pequeña porque la estamos observando desde más lejos. Pues con las parábolas, sorprendentemente (al menos para mí) pasa lo mismo. Matt Henderson tiene en su cuenta de Twitter una bellísima animación en la que se puede ver con claridad meridiana esta propiedad:

Así que tanto las circunferencias como las parábolas tienen «su» constante y, además, son todas «similares» en el sentido comentado. ¿Pasará lo mismo con las elipses y las hipérbolas? Tiene sentido preguntárselo al ser las otras dos secciones cónicas, ¿verdad?

Pues la respuesta es no: ni todas las elipses ni todas las hipérbolas son «similares» en el sentido anterior. La «culpa» de todo esto la tiene la excentricidad (que suele denotarse como \epsilon), que podríamos decir que es una medida de lo que una curva se desvía de una circunferencia. Entre otras cosas, se tiene que dos curvas con la misma excentricidad son «similares».

¿Cuáles son las excentricidades de las cónicas? Aquí los tenéis:

  • Circunferencia: \epsilon=0.
  • Elipse: 0 < \epsilon < 1
  • Parábola: \epsilon =1
  • Hipérbola \epsilon > 1

Como todas las parábolas tiene la misma excentricidad, todas las parábolas son «similares».

Sobre esto último, Matt Parker tiene, en su canal de Youtube StandUpMaths, un bonito vídeo al respecto:

Así que ya sabéis, se acabó eso de decir en clase que «…el coeficiente de x^2 es el que controla que la parábola sea más ancha o más estrecha…» (cosa que, al menos yo, decía hasta ahora). A partir de ahora tendremos que contar algo como «…el coeficiente de x^2 es el que controla que VEAMOS la parábola más cerca o más lejos…». Se aceptan alternativas, tenéis los comentarios a vuestra disposición.

Fuentes y enlaces relacionados:

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