Todos (o, al menos, la gran mayoría de nosotros) conocimos en el colegio la fórmula para calcular el área de un círculo, y también la del volumen de una esfera. Ahora, ¿cómo calcularíamos el volumen de esfera de dimensión mayor? Más: ¿qué es una esfera de dimensión mayor? ¿Podríamos usar todo eso para calcular Pi?
Una de las condiciones, obvia, para realizar una aportación al Carnaval de Matemáticas es tener un canal en el que publicarla. Si tu contribución «cabe» en una red social, lo más habitual es que la publiques ahí; pero si tu contribución es un artículo largo, necesitas una web o un blog para publicarla.
Siempre decimos que si alguien quiere aportar, pero no tiene canal para ello, que se ponga en contacto con nosotros. Y eso hizo Fernando Alonso (no, no es el piloto). Me comentó que tenía un artículo sobre el número Pi y volúmenes de hiperesferas que quería aportar al Carnaval, pero no tenía blog para hacerlo. Le pedí que me lo enviara, y tras verlo decidí prestarle mi blog para ello. Antes de nada, un breve párrafo de presentación de Fernando:
Sin más dilación, os dejo con el artículo de Fernando.
1. Volúmenes en el hiperespacio
1.1 Círculos y esferas
Todos conocemos desde el colegio la fórmula que nos permite calcular el área de un círculo de radio
. Si hacemos un ejercicio de imaginación, podemos argumentar que un área es en realidad un volumen de dos dimensiones,
. Este ejercicio mental, que es habitual entre los matemáticos, nos permite escribir:
Nótese que en lenguaje matemático escribimos para indicar que
es una función del radio
. Nada que no supiéramos ya, por supuesto.
Podemos calcular el volumen de tres dimensiones de una esfera de radio con la siguiente fórmula:
De nuevo, nada que no conociéramos ya. También conocemos de sobra (aunque no del colegio, sino del instituto) una de las muchas maneras de probar esta fórmula: a través de una integral.
Podemos cortar una esfera en rodajas paralelas unas a otras. Y las cortamos con una anchura muy fina, tan fina que cada rodaja es prácticamente igual a un cilindro de altura infinitesimal
. Como sabemos del colegio, el volumen de un cilindro es igual a su altura multiplicada por el área de su base, siendo ésta un círculo de área
. El volumen
de cada rodaja cilíndrica será por tanto:
Esta vez, es el radio de la rodaja cilíndrica. Cada rodaja tiene un radio distinto, que depende de la distancia
desde dicha rodaja hasta el centro de la esfera según el teorema de Pitágoras:
También sabemos «sumar» el volumen de todas esas rodajas a través de una integral:
Este cálculo ha sido relativamente sencillo y, como ya se ha dicho varias veces, no aporta nada que no supiéramos ya.
1.2 Hiperesferas
Algo más inusual es hablar de objetos de dimensiones superiores a tres. Esto requiere imaginación y un cierto nivel de abstracción, a menudo sólo comprensible a través de las matemáticas. Si hablamos de esferas de más de tres dimensiones, nos referimos a ellas como hiperesferas.
Cada hiperesfera puede cortarse en rodajas hipercilíndricas de una dimensión inferior. Por ejemplo, una esfera de cuatro dimensiones puede dividirse en rodajas cilíndricas de tres dimensiones. En general, extrapolando el razonamiento utilizado para probar el cálculo del volumen de una esfera, podemos definir el hipervolumen de una hiperesfera de radio y de dimensión
a partir de su división en rodajas hipercilíndricas de dimensión
, según la siguiente fórmula:
El teorema de Pitágoras sigue siendo válido en dimensiones superiores, y por ello el radio de cada rodaja será:
1.3 Una integral útil
Particularizando la integral de a distintos hipervolúmenes, nos encontraremos a menudo con la necesidad de resolver integrales similares a la siguiente:
Una forma de resolver esta integral es mediante el cambio de variable . Los límites de integración cambian de la siguiente forma:
La integral de nos queda por tanto de la manera siguiente:
Es decir:
donde:
Una manera de resolver esta última integral es utilizar integracion por partes con y
. Quedaría:
Despejando, obtenemos el valor de la integral:
Multiplicando por obtenemos:
De se deduce:
Por lo tanto, reemplazando en se llega a la siguiente relación recursiva:
Finalmente, para completar esta regla recursiva hay que resolver la integral anterior para (utilizando
) y para
(una sencilla integración polinómica, aunque también se podría utilizar
):
1.4 Algunos ejemplos prácticos
En este punto, vamos a ver algunos ejemplos de hipervolúmenes.
Nótese que es el hipervolumen de una esfera de dimensión 1, es decir, un segmento. Por ello,
se interpreta como la longitud de un segmento que se extiende desde
hasta
, que es
.
Para calcular y
, la integral de
se resuelve con
y
. Para las demás hiperesferas, la integral de
se resuelve utilizando la regla recursiva expresada en
:
1.5 Fórmulas genéricas para el cálculo de hipervolúmenes
De los ejemplos anteriores podemos deducir patrones que se expresarían según las siguientes fórmulas:
Podemos demostrar y
con el principio de inducción. Primeramente, consideraremos dos casos:
par e
impar. En segundo lugar, demostraremos que
y
son válidas para
y
, lo cual permite extender su validez por inducción a cualquier valor
.
Demostración por inducción
Comprobación para dimensión impar:
Aplicamos para
impar:
de donde, empleando y asumiendo que
se cumple para el valor
, se obtendría:
Debemos comprobar si se cumple para
bajo esta premisa. Aplicamos para ello de nuevo
:
Nuevamente, asumimos que se cumple para
:
Aplicando queda:
En la expresión anterior hemos identificado . Asumimos que se cumple
para el valor
, para así obtener:
Esta última ecuación es consistente con . Por lo tanto, es verdadera para el valor
si se cumplen las premisas que hemos utilizado, y que son las siguientes:
se cumple para el valor
impar.
se cumple para los valores
e
pares.
Comprobación para dimensión par:
Aplicamos para el valor
par:
de donde, empleando y asumiendo que
se cumple para el valor
, se obtendría:
Debemos comprobar si se cumple para
bajo esta premisa. Aplicamos para ello de nuevo
:
Nuevamente, asumimos que se cumple para
:
Aplicando queda:
En la expresión anterior hemos identificado . Asumimos que se cumple
para el valor
, para así obtener:
Esta última expresión es consistente con . Por lo tanto, es verdadera si se cumplen las premisas que hemos utilizado, y que son las siguientes:
se cumple para los valores
y
, impares.
se cumple para el valor
, par.
Comprobación para e
:
Resumiendo lo ya demostrado hasta ahora, y
se cumplen para un cierto valor
si las siguientes premisas son verdaderas:
- Para
par:
se cumple para los valores
e
, y
se cumple para el propio valor
.
- Para
impar:
se cumple para el propio valor
, y
se cumple para los valores
e
, pares.
Comprobamos los valores de y
, y en efecto
se cumple para
y
, y
se cumple para
:
Para , par, se observa que
se cumple para los valores
y
, y que
se cumple para el propio
. Por ello, según las premisas anteriores,
debe cumplirse también para
.
Asimismo, tomando , impar, se observa que
se cumple para el propio valor
, y que
se cumple para el valor
, y
también se cumple para
, según se ha explicado en el párrafo anterior. Por ello,
debe cumplirse también para
.
Continuando el mismo razonamiento inductivo, podemos demostrar que se cumple para
porque
se cumple para
y porque
se cumple para
y
. Igualmente,
se cumple para
porque
se cumple para
y porque
se cumple para
y
.
Y así sucesivamente, podemos aplicar el mismo razonamiento para cualquier valor , quedando por consiguiente demostradas por inducción la validez de las fórmulas mostradas en
y
.
Coeficientes para el cálculo de hipervolúmenes
Las expresiones y
se pueden escribir de la siguiente manera:
donde:
Estos coeficientes se pueden escribir de la siguiente manera:
Es decir, independientemente de si es par o impar, se cumple la siguiente relación recursiva:
2. Áreas en el hiperespacio
2.1 Interpretación como derivada del hipervolumen
La hipersuperficie puede calcularse derivando el hipervolumen
:
Esta derivada se deduce de la integral siguiente:
cuya interpretación es la siguiente:
- Dividimos el hipervolumen
en capas concéntricas, cada una de área
y grosor infinitesimal
.
- Cada capa, por tener grosor infinitesimal, tiene un volumen igual a su área multiplicada por su grosor, es decir,
.
- El volumen es, por consiguiente, la suma del volumen de todas esas capas concéntricas, que se calcula mediante la mencionada integral.
En general, nótese como curiosidad que:
2.2 Algunos ejemplos prácticos
De los ejemplos mostrados anteriormente para calcular el volumen de varias esferas de dimensiones 1 a 8 podemos deducir las áreas correspondientes, según :
En el caso de y
se obtienen respectivamente la longitud de una circunferencia y el área de una esfera de radio
.
Nótese que tiene valor 2 y representa el área que delimita al volumen
, que es un segmento de longitud
. Por ello,
carece de sentido físico, pero abusando de la interpretación matemática podría decirse, no sin cierto fundamento, que su valor equivale a los dos puntos en los extremos de un segmento. Efectivamente, se puede interpretar que
tiene un tamaño de
unidades medidas en dimensión 2 (es decir, un área), e igualmente
tiene un tamaño de
unidades en dimensión 1 (es decir, una longitud), por lo que podemos llegar a una interpretación muy abstracta según la cual el tamaño de
tendría 2 unidades en dimensión 0, esto es, 2 puntos. De forma consistente con este razonamiento, se hace notar que la superficie de una esfera separa a la esfera del resto del espacio tridimensional, que una circunferencia separa al círculo del resto del espacio bidimensional, y que dos puntos separan a un segmento del resto del espacio unidimensional.
Siguiendo con esta interpretación, el volumen de un punto es 1 unidad en dimensión 0, esto es, un punto. Un punto no está separado ni limitado en su dimensión 0, por lo que carece de superficie o ésta tiene tamaño 0. Efectivamente, a partir de tenemos
, y a partir de
tenemos
.
3. Demostración de una familia de fórmulas para el número Pi
Volviendo a la expresión y modificándola ligeramente:
donde a su vez:
donde a su vez, según :
Y según :
Por consiguiente:
De todos es conocido el binomio de Newton para un exponente cualquiera:
Lo mejor de esta fórmula general es que funciona incluso con exponentes fraccionarios, tipo , en cuyo caso obtenemos un número ilimitado de sumandos; funciona, sí, pero sólo bajo unas ciertas circunstancias. En concreto, hay unas condiciones necesarias para que
converja, por ejemplo, si
, o si
y
, o si
y la parte real de
es positiva. Tal es el caso si tomamos
y
, lo que garantiza que
, obteniéndose:
Integrando respecto a , y considerando (ver
) que
es independiente de
:
donde , y donde
es independiente de
e igual a:
Integrando respecto a (ver
):
La última integral es similar a la que ya hemos resuelto respecto a , por ello:
donde, obviamente:
Se obtiene:
De se deduce:
De esta última fórmula y de se deduce:
Comparando con :
De donde se deduce una interesante fórmula para el número :
Es importante notar que esta fórmula no es en realidad una única fórmula, sino una familia de fórmulas, debido a que el valor de puede ser cualquier número natural mayor o igual que 2 (para garantizar la convergencia de las series mostradas en
).
Para terminar, una curiosidad. Lógicamente, la fórmula de se puede implementar en un ordenador, siempre que los sumatorios de límite infinito (ver
) se limiten hasta un cierto valor
suficientemente alto. Así, para
,
debe tomar el valor
para lograr una precisión de 11 dígitos de
. Y, sin embargo, con
basta un valor de
para alcanzar ¡15 dígitos! Parece que la elección del número
es bastante importante para implementar un algoritmo óptimo en el ordenador.
Es interesante que, utilizando matemáticas relativamente simples (de a lo sumo primer curso de carrera universitaria) se pueden analizar con bastante éxito los hipervolúmenes de hiperesferas de dimensión superior a 3, y que de esas matemáticas, a su vez, se puede deducir una familia de fórmulas que permiten calcular el número . La relativa complejidad numérica de esta familia de fórmulas se condensa no obstante en una fórmula de apariencia mucho más simple y, en cierto modo, hermosa.
O incluso divertida: habiendo utilizado la letra como subíndice a una
, se puede decir que el número «Pi» resulta ser el producto de
por dos «Pi’s», y de ahí que a esta fórmula se le podría llamar «de dos Pi´s consecutivos» o «de triple Pi».
Por cierto, Fernando tiene su artículo subido al arXiv: A new method for computing number Pi.
Esta entrada, evidentemente, participa en la Edición 12.2: Carl Friedrich Gauss del Carnaval de Matemáticas, que organizo yo en este blog.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Es un artículo precioso, donde se muestra el poder de la generalización en Matemáticas y el buen uso de la inducción. Además impulsa a la imaginación a buscar más resultados tanto numéricos como geométricos con el reto de conectarlos.
https://www.davidhbailey.com/pi/
Perdón, pero humildemente tengo que decir que no estoy de acuerdo con que la Rodaja 3D de una hiperesfera 4D sea un cilindro. Ha de ser una esfera 3D, igual que en 1D (linea) la Rodaja es una recta hiperfina (punto), en 2D (un círculo) la rodaja es una rectángulo (linea), en 3D (una esfera) la rodaja es un cilindro hiperfino (círculo).
Podemos discutir esto? Es que cambia todo el cálculo, y de hecho ofrece soluciones distintas.