Todos (o, al menos, la gran mayoría de nosotros) conocimos en el colegio la fórmula para calcular el área de un círculo, y también la del volumen de una esfera. Ahora, ¿cómo calcularíamos el volumen de esfera de dimensión mayor? Más: ¿qué es una esfera de dimensión mayor? ¿Podríamos usar todo eso para calcular Pi?

Una de las condiciones, obvia, para realizar una aportación al Carnaval de Matemáticas es tener un canal en el que publicarla. Si tu contribución «cabe» en una red social, lo más habitual es que la publiques ahí; pero si tu contribución es un artículo largo, necesitas una web o un blog para publicarla.

Siempre decimos que si alguien quiere aportar, pero no tiene canal para ello, que se ponga en contacto con nosotros. Y eso hizo Fernando Alonso (no, no es el piloto). Me comentó que tenía un artículo sobre el número Pi y volúmenes de hiperesferas que quería aportar al Carnaval, pero no tenía blog para hacerlo. Le pedí que me lo enviara, y tras verlo decidí prestarle mi blog para ello. Antes de nada, un breve párrafo de presentación de Fernando:

Fernando AlonsoFernando Alonso Zotes es Ingeniero Industrial por la Universidad Carlos III de Madrid y Doctor en Sistemas y Automática por la UNED. Ha publicado varios artículos sobre optimización y sistemas aeroespaciales, recibiendo su tesis doctoral un premio de The Mathworks. Ha compaginado su labor académica con sus veinte años de experiencia laboral en diversos proyectos de la industria aeroespacial en España, Reino Unido, Francia y Alemania. Ha trabajado como ingeniero de sistemas en el diseño del sistema de navegación Galileo, y como ingeniero de operaciones de Dinámica de Vuelo en ocho lanzamientos de satélites, en la Agencia Espacial Europea (ESA) y en el Centro de Estudios Espaciales francés (CNES). Actualmente es consultor externo en Eumetsat (Agencia Europea para Satélites Metereológicos), donde trabaja como ingeniero de sistemas en varios proyectos y como jefe de servicio de un equipo multidisciplinar.

Sin más dilación, os dejo con el artículo de Fernando.

1. Volúmenes en el hiperespacio

1.1 Círculos y esferas

Todos conocemos desde el colegio la fórmula que nos permite calcular el área A de un círculo de radio R. Si hacemos un ejercicio de imaginación, podemos argumentar que un área es en realidad un volumen de dos dimensiones, V_2. Este ejercicio mental, que es habitual entre los matemáticos, nos permite escribir:

A=V_2(R)=\pi \, R^2

Nótese que en lenguaje matemático escribimos V_2=V_2(R) para indicar que V_2 es una función del radio R. Nada que no supiéramos ya, por supuesto.

Podemos calcular el volumen de tres dimensiones de una esfera de radioR con la siguiente fórmula:

V_3=V_3\left(R\right)=\cfrac{4\pi R^3}{3}

De nuevo, nada que no conociéramos ya. También conocemos de sobra (aunque no del colegio, sino del instituto) una de las muchas maneras de probar esta fórmula: a través de una integral.

Podemos cortar una esfera en rodajas paralelas unas a otras. Y las cortamos con una anchura muy fina, tan fina que cada rodaja es prácticamente igual a un cilindro de altura infinitesimal dx. Como sabemos del colegio, el volumen de un cilindro es igual a su altura multiplicada por el área de su base, siendo ésta un círculo de área V_2\left(r(x)\right). El volumen {dV}_3 de cada rodaja cilíndrica será por tanto:

{dV}_3=Adx=V_2\left(r(x)\right) \, dx

Esta vez, r(x) es el radio de la rodaja cilíndrica. Cada rodaja tiene un radio distinto, que depende de la distancia x desde dicha rodaja hasta el centro de la esfera según el teorema de Pitágoras:

r=r(x)=\sqrt{R^2-x^2}

También sabemos «sumar» el volumen de todas esas rodajas a través de una integral:

V_3=V_3(R)=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{dV}_3=\int_{-R}^{R}{V_2(r(x))}dx=\int_{-R}^{R}{\pi(R^2-x^2)}dx=\cfrac{4\pi R^3}{3}}

Este cálculo ha sido relativamente sencillo y, como ya se ha dicho varias veces, no aporta nada que no supiéramos ya.

1.2 Hiperesferas

Algo más inusual es hablar de objetos de dimensiones superiores a tres. Esto requiere imaginación y un cierto nivel de abstracción, a menudo sólo comprensible a través de las matemáticas. Si hablamos de esferas de más de tres dimensiones, nos referimos a ellas como hiperesferas.

Cada hiperesfera puede cortarse en rodajas hipercilíndricas de una dimensión inferior. Por ejemplo, una esfera de cuatro dimensiones puede dividirse en rodajas cilíndricas de tres dimensiones. En general, extrapolando el razonamiento utilizado para probar el cálculo del volumen de una esfera, podemos definir el hipervolumen de una hiperesfera de radio R y de dimensión i a partir de su división en rodajas hipercilíndricas de dimensión i-1, según la siguiente fórmula:

V_i=V_i(R)=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_{i-1}(r(x))}dx} \qquad (1)

El teorema de Pitágoras sigue siendo válido en dimensiones superiores, y por ello el radio de cada rodaja V_{i-1}dx será:

r=r(x)=\sqrt{R^2-x^2} \qquad (2)

1.3 Una integral útil

Particularizando la integral de (1) a distintos hipervolúmenes, nos encontraremos a menudo con la necesidad de resolver integrales similares a la siguiente:

M_k=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{(R^2-x^2)}^{k/2}dx=2\int_{0}^{R}{(R^2-x^2)}^{k/2}dx} \qquad (3)

Una forma de resolver esta integral es mediante el cambio de variable x=Rsin(\theta), dx=Rcos(\theta) \, d\theta. Los límites de integración cambian de la siguiente forma:

\begin{matrix} x=-R \longrightarrow \theta=-\cfrac{\pi}{2} \\ x=R \longrightarrow \theta=\cfrac{\pi}{2} \end{matrix}

La integral de (3) nos queda por tanto de la manera siguiente:

M_k=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{(R^2-x^2)}^{k/2}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(R^2-R^2{sin}^2\theta)}^{k/2}Rcos\theta d\theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{R^kcos}^k\theta}Rcos\theta d\theta}

Es decir:

M_k=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{(R^2-x^2)}^{k/2}dx=R^{k+1}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k+1}\theta}d\theta{=R}^{k+1}I_{k+1}} \qquad (4)

donde:

I_{k+1}=\displaystyle{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k+1}\theta}d\theta}

Una manera de resolver esta última integral es utilizar integracion por partes con u={cos}^k\theta y dv=cos\theta d\theta. Quedaría:

\begin{matrix} I_{k+1}=\displaystyle{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k+1}\theta}d\theta=\left[sin\theta{cos}^k\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{k{sin}^2\theta{cos}^{k-1}\theta}d\theta=0+k\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left(1-{cos}^2\theta\right){cos}^{k-1}\theta}d\theta=} \\ =k \displaystyle{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k-1}\theta}d\theta-k\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k+1}\theta}d\theta=k\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k-1}\theta}d\theta-kI_{k+1}} \end{matrix}

Despejando, obtenemos el valor de la integral:

I_{k+1}=\displaystyle{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k+1}\theta}d\theta=\cfrac{1}{k+1}\left(k\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k-1}\theta}d\theta\right)}

Multiplicando por R^{k+1} obtenemos:

M_k=R^{k+1}I_{k+1}=R^{k+1} \displaystyle{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k+1}\theta}d\theta=\cfrac{kR^2}{k+1}R^{k-1}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k-1}\theta}d\theta} \qquad (5)

De (4) se deduce:

\displaystyle{R^{k-1}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{{cos}^{k-1}\theta}d\theta=\int_{-R}^{R}{(R^2-x^2)}^\frac{k-2}{2}dx=M_{k-2}}

Por lo tanto, reemplazando en (5) se llega a la siguiente relación recursiva:

M_k=\cfrac{kR^2}{k+1} \, M_{k-2} \qquad (6)

Finalmente, para completar esta regla recursiva hay que resolver la integral anterior para k = 1 (utilizando (5)) y para k = 2 (una sencilla integración polinómica, aunque también se podría utilizar (6)):

\begin{matrix} \displaystyle{M_1=\int_{-R}^{R}{(R^2-x^2)}^{1/2}dx=\frac{R^2}{2}R^0\int_{-\pi}^{\pi}{{cos}^0\theta}d\theta=\cfrac{\pi R^2}{2}} \qquad (7) \\ \\ \displaystyle{M_2=\int_{-R}^{R}\left(R^2-x^2\right)^\frac{2}{2}dx=\int_{-R}^{R}\left(R^2-x^2\right)dx=\cfrac{4R^3}{3}} \qquad (8) \end{matrix}

1.4 Algunos ejemplos prácticos

En este punto, vamos a ver algunos ejemplos de hipervolúmenes.

Nótese que V_1 es el hipervolumen de una esfera de dimensión 1, es decir, un segmento. Por ello, V_1 se interpreta como la longitud de un segmento que se extiende desde x=-R hasta x=R, que es 2R.

Para calcular V_2 y V_3, la integral de (1) se resuelve con (7) y (8). Para las demás hiperesferas, la integral de (1) se resuelve utilizando la regla recursiva expresada en (6):

\begin{array}{l} V_1(R)=2R \\ \\ V_2(R)=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_1\left(r\left(x\right)\right)}dx=\int_{-R}^{R}{2\left(R^2-x^2\right)^\frac{1}{2}}dx=\pi R^2} \\ \\ V_3(R)=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_2(r(x))}dx=\int_{-R}^{R}{\pi\left(R^2-x^2\right)^\frac{2}{2}}dx=\cfrac{4{\pi R}^3}{3}} \\ \\ V_4(R)=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_3(r(x))}dx=\int_{-R}^{R}{\cfrac{4\pi}{3}\left(R^2-x^2\right)^\frac{3}{2}}dx=\cfrac{4\pi}{3} \, \cfrac{{3R}^2}{4} \, \cfrac{\pi R^2}{2}=\cfrac{\pi^2R^4}{2}} \\ \\ V_5(R)=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_4(r(x))}dx=\int_{-R}^{R}{\cfrac{\pi^2}{2}\left(R^2-x^2\right)^\frac{4}{2}}dx=\cfrac{\pi^2}{2} \, \cfrac{{4R}^2}{5} \, \cfrac{4R^3}{3}=\cfrac{8\pi^2R^5}{15}} \\ \\ V_6(R)=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_5(r(x))}dx=\int_{-R}^{R}{\cfrac{8\pi^2}{15}\left(R^2-x^2\right)^\frac{5}{2}}dx=\cfrac{8\pi^2}{15} \, \cfrac{{5R}^2}{6} \, \cfrac{3\pi R^4}{8}=\cfrac{\pi^3R^6}{6}} \\ \\ V_7(R)=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_6(r(x))}dx=\int_{-R}^{R}{\cfrac{\pi^3}{6}\left(R^2-x^2\right)^\frac{6}{2}}dx=\cfrac{\pi^3}{6} \, \cfrac{{6R}^2}{7} \, \cfrac{16R^5}{15}=\cfrac{16\pi^3R^7}{105}} \\ \\ V_8(R)=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_7(r(x))}dx=\int_{-R}^{R}{\cfrac{16\pi^3}{105}\left(R^2-x^2\right)^\frac{7}{2}}dx=\cfrac{16\pi^3}{105} \, \cfrac{{7R}^2}{8} \, \cfrac{15\pi R^6}{48}=\cfrac{\pi^4R^8}{24}} \end{array}

1.5 Fórmulas genéricas para el cálculo de hipervolúmenes

De los ejemplos anteriores podemos deducir patrones que se expresarían según las siguientes fórmulas:

\begin{array}{l} i \mbox{ impar} \longrightarrow\ V_i(R)=\cfrac{\pi^\frac{i-1}{2} R^i}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=i/2}j}} \qquad (9) \\ \\ i \mbox{ par} \longrightarrow V_i(R)=\cfrac{1}{\displaystyle{\prod_{j=1}^{j=i/2}j}} \, \pi^\frac{i}{2}R^i=\cfrac{\pi^\frac{i}{2}R^i}{(i/2)!} \qquad (10) \end{array}

Podemos demostrar (9) y (10) con el principio de inducción. Primeramente, consideraremos dos casos: i par e i impar. En segundo lugar, demostraremos que (9) y (10) son válidas para V_1, V_2 y V_3, lo cual permite extender su validez por inducción a cualquier valor i.

Demostración por inducción

Comprobación para dimensión impar:

Aplicamos (1) para i impar:

V_i=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_{i-1}\left(r(x)\right)}dx}

de donde, empleando (2) y asumiendo que (10) se cumple para el valor i-1, se obtendría:

V_i=\displaystyle{\int_{-R}^{R}\cfrac{\pi^\frac{i-1}{2}{(R^2-x^2)}^\frac{i-1}{2}}{\left ( \frac{i-1}{2} \right )!}dx}

Debemos comprobar si (9) se cumple para i+2 bajo esta premisa. Aplicamos para ello de nuevo (1):

V_{i+2}=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_{i+1}\left(r(x)\right)}dx}

Nuevamente, asumimos que (10) se cumple para i+1:

V_{i+2}=\displaystyle{\int_{-R}^{R}\cfrac{\pi^\frac{i+1}{2}{(R^2-x^2)}^\frac{i+1}{2}}{\left (\frac{i+1}{2} \right )!}dx=\cfrac{\pi}{(i+1)/2} \, \cfrac{\pi^\frac{i-1}{2}}{\left (\frac{i-1}{2} \right )!}\int_{-R}^{R}{(R^2-x^2)}^\frac{i+1}{2}dx}

Aplicando (6) queda:

V_{i+2}=\displaystyle{\cfrac{\pi}{(i+1)/2} \, \cfrac{R^2(i+1)}{i+2}{\underbrace{\frac{\pi^{\frac{i-1}{2}}}{\left (\frac{i-1}{2} \right )!}\int_{-R}^{R}{(R^2-x^2)}^{\frac{i-1}{2}}dx}}=\cfrac{2\pi R^2}{i+2} \, V_i}

En la expresión anterior hemos identificado V_i. Asumimos que se cumple (9) para el valor i, para así obtener:

V_{i+2}=\cfrac{2\pi R^2}{i+2} \, \cfrac{\pi^\frac{i-1}{2}R^i}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=i/2}} j}=\cfrac{\pi^{\frac{i+1}{2}}R^{i+2}}{\frac{i+2}{2}} \, \cfrac{1}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=i/2}} j}=\cfrac{\pi^{\frac{i+1}{2}}R^{i+2}}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=(i+2)/2}} j}

Esta última ecuación es consistente con (9). Por lo tanto, es verdadera para el valor i si se cumplen las premisas que hemos utilizado, y que son las siguientes:

  • (9) se cumple para el valor i impar.
  • (10) se cumple para los valores i-1 e i+1 pares.

Comprobación para dimensión par:

Aplicamos (1) para el valor i par:

V_i=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_{i-1}\left(r(x)\right)}dx}

de donde, empleando (2) y asumiendo que (9) se cumple para el valor i-1, se obtendría:

V_i=\displaystyle{\int_{-R}^{R}\cfrac{\pi^\frac{i-2}{2}{(R^2-x^2)}^\frac{i-1}{2}}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=(i-1)/2}} j}dx}

Debemos comprobar si (10) se cumple para i+2 bajo esta premisa. Aplicamos para ello de nuevo (1):

V_{i+2}=\displaystyle{\int_{-R}^{R}{V_{i+1}\left(r(x)\right)}dx}

Nuevamente, asumimos que (9) se cumple para i+1:

V_{i+2}=\displaystyle{\int_{-R}^{R}\cfrac{\pi^\frac{i}{2}{(R^2-x^2)}^\frac{i+1}{2}}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=(i+1)/2}} j}dx=\cfrac{\pi}{(i+1)/2} \, \cfrac{\pi^\frac{i-2}{2}}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=(i-1)/2}} j} \int_{-R}^{R}{(R^2-x^2)}^\frac{i+1}{2}dx}

Aplicando (6) queda:

V_{i+2}=\displaystyle{\cfrac{\pi}{(i+1)/2} \, \cfrac{R^2(i+1)}{i+2}{\underbrace{\frac{\pi^{\frac{i-2}{2}}}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=(i-1)/2}} j}\int_{-R}^{R}{(R^2-x^2)}^{\frac{i-1}{2}}dx}}=\cfrac{2\pi R^2}{i+2}V_i}

En la expresión anterior hemos identificado V_i. Asumimos que se cumple (10) para el valor i, para así obtener:

V_{i+2}=\cfrac{2\pi R^2}{i+2} \, \cfrac{\pi^\frac{i}{2}R^i}{(i/2)!}=\cfrac{\pi^{\frac{i+2}{2}} R^{i+2}}{\cfrac{i+2}{2}} \, \cfrac{1}{(i/2)!}=\cfrac{\pi^{\frac{i+2}{2}} R^{i+2}}{\left(\cfrac{i+2}{2}\right)!}

Esta última expresión es consistente con (10). Por lo tanto, es verdadera si se cumplen las premisas que hemos utilizado, y que son las siguientes:

  • (9) se cumple para los valores i-1 y i+1, impares.
  • (10) se cumple para el valor i, par.

Comprobación para i=1, i =2 e i = 3:

Resumiendo lo ya demostrado hasta ahora, (9) y (10) se cumplen para un cierto valor i+2 si las siguientes premisas son verdaderas:

  • Para i par: (9) se cumple para los valores i-1 e i+1, y (10) se cumple para el propio valor i.
  • Para i impar: (9) se cumple para el propio valor i, y (10) se cumple para los valores i-1 e i+1, pares.

Comprobamos los valores de V_1, V_2 y V_3, y en efecto (9) se cumple para V_1 y V_3, y (10) se cumple para V_2:

\begin{array}{l} \displaystyle{V_1\left(R\right)=\cfrac{\pi^{\frac{1-1}{2}}R^1}{\displaystyle{\prod_{i=1/2}^{i=1/2}} i}=\cfrac{R}{1/2}=2R} \\ \\ V_2\left(R\right)=\cfrac{\pi^{\frac{2}{2}}R^2}{(2/2)!}=\pi R^2 \\ \\ \displaystyle{V_3\left(R\right)=\cfrac{\pi^{\frac{3-1}{2}}R^3}{\displaystyle{\prod_{i=1/2}^{i=3/2}} i}=\cfrac{{\pi R}^3}{\left (\frac{3}{2} \right ) \left (\frac{1}{2} \right )}=\cfrac{4{\pi R}^3}{3}} \end{array}

Para i = 2, par, se observa que (9) se cumple para los valores V_1 y V_3, y que (10) se cumple para el propio V_2. Por ello, según las premisas anteriores, (10) debe cumplirse también para V_4.

Asimismo, tomando i = 3, impar, se observa que (9) se cumple para el propio valor V_3, y que (10) se cumple para el valor V_2, y (10) también se cumple para V_4, según se ha explicado en el párrafo anterior. Por ello, (9) debe cumplirse también para V_5.

Continuando el mismo razonamiento inductivo, podemos demostrar que (10) se cumple para V_6 porque (10) se cumple para V_4 y porque (9) se cumple para V_3 y V_5. Igualmente, (9) se cumple para V_7 porque (9) se cumple para V_5 y porque (10) se cumple para V_4 y V_6.

Y así sucesivamente, podemos aplicar el mismo razonamiento para cualquier valor i, quedando por consiguiente demostradas por inducción la validez de las fórmulas mostradas en (9 y (10).

Coeficientes para el cálculo de hipervolúmenes

Las expresiones (9) y (10) se pueden escribir de la siguiente manera:

V_i\left(R\right)=k_iR^i \qquad (11)

donde:

\begin{array}{l} i \mbox{ impar} \longrightarrow k_i=\displaystyle{\cfrac{\pi^{\frac{i-1}{2}}}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=i/2}} j}} \\ \\ i\mbox{ par} \longrightarrow k_i=\displaystyle{\cfrac{1}{\displaystyle{\prod_{j=1}^{j=i/2}} j}\pi^\frac{i}{2}=\cfrac{\pi^{\frac{i}{2}}}{(i/2)!}} \end{array}

Estos coeficientes k_i se pueden escribir de la siguiente manera:

\begin{array}{l} i \mbox{ impar} \longrightarrow k_i=\displaystyle{\cfrac{\pi^{\frac{i-1}{2}}}{\displaystyle{\prod_{j=1/2}^{j=i/2}} j}=\cfrac{\pi^{\frac{i-3}{2}}}{\displaystyle{\prod_{j=\frac{1}{2}}^{j=\frac{i-2}{2}}} j} \, \cfrac{\pi}{i/2}=\cfrac{2\pi}{i} \, k_{i-2}} \\ \\ i \mbox{ par} \longrightarrow k_i=\cfrac{\pi^{\frac{i}{2}}}{\left (\frac{n}{2} \right )!}=\cfrac{\pi^{\frac{i-2}{2}}}{\left (\frac{i-2}{2} \right )!} \, \cfrac{\pi}{i/2}=\cfrac{2\pi}{i} \, k_{i-2} \end{array}

Es decir, independientemente de si i es par o impar, se cumple la siguiente relación recursiva:

k_i=\cfrac{2\pi}{i} \, k_{i-2} \qquad (12)

2. Áreas en el hiperespacio

2.1 Interpretación como derivada del hipervolumen

La hipersuperficie A_i puede calcularse derivando el hipervolumen V_i:

A_i=A_i\left(R\right)=\left.\cfrac{d}{dr}V_i(r)\right]_{r=R} \qquad (13)

Esta derivada se deduce de la integral siguiente:

\displaystyle{V_i=V_i\left(R\right)=\int_{0}^{R}{A_i\left(r\right)dr}}

cuya interpretación es la siguiente:

  • Dividimos el hipervolumen V_i en capas concéntricas, cada una de área A_i\left(r\right) y grosor infinitesimal dr.
  • Cada capa, por tener grosor infinitesimal, tiene un volumen igual a su área multiplicada por su grosor, es decir, A_i\left(r\right)dr.
  • El volumen es, por consiguiente, la suma del volumen de todas esas capas concéntricas, que se calcula mediante la mencionada integral.

En general, nótese como curiosidad que:

A_i\left(R\right)=\cfrac{i}{R} \, V_i\left(R\right)

2.2 Algunos ejemplos prácticos

De los ejemplos mostrados anteriormente para calcular el volumen de varias esferas de dimensiones 1 a 8 podemos deducir las áreas correspondientes, según (13):

\begin{array}{l} A_1\left(R\right)=\left.\cfrac{d}{dr}2r\right]_{r=R}=2 \\ \\ A_2\left(R\right)=\left.\cfrac{d}{dr}\pi r^2\right]_{r=R}=2\pi R \\ \\ A_3\left(R\right)=\left.\cfrac{d}{dr}\cfrac{4{\pi r}^3}{3}\right]_{r=R}=4{\pi R}^2 \\ \\ A_4\left(R\right)=\left.\cfrac{d}{dr}\cfrac{\pi^2r^4}{2}\right]_{r=R}=2{\pi^2R}^3 \\ \\ A_5\left(R\right)=\left.\cfrac{d}{dr}\cfrac{8\pi^2r^5}{15}\right]_{r=R}=\cfrac{8}{3}{\pi^2R}^4 \\ \\ A_6\left(R\right)=\left.\cfrac{d}{dr}\cfrac{\pi^3r^6}{6}\right]_{r=R}={\pi^3R}^5 \\ \\ A_7\left(R\right)=\left.\cfrac{d}{dr}\cfrac{16\pi^3r^7}{105}\right]_{r=R}=\cfrac{16}{15}{\pi^3R}^6 \\ \\ A_8\left(R\right)=\left.\cfrac{d}{dr}\cfrac{\pi^4R^8}{24}\right]_{r=R}=\cfrac{1}{3}{\pi^4R}^7 \end{array}

En el caso de A_2 y A_3 se obtienen respectivamente la longitud de una circunferencia y el área de una esfera de radio R.

Nótese que A_1 tiene valor 2 y representa el área que delimita al volumen V_1, que es un segmento de longitud 2R. Por ello, A_1 carece de sentido físico, pero abusando de la interpretación matemática podría decirse, no sin cierto fundamento, que su valor equivale a los dos puntos en los extremos de un segmento. Efectivamente, se puede interpretar que A_3 tiene un tamaño de 4 \pi R^2 unidades medidas en dimensión 2 (es decir, un área), e igualmente A_2 tiene un tamaño de 2 \pi R unidades en dimensión 1 (es decir, una longitud), por lo que podemos llegar a una interpretación muy abstracta según la cual el tamaño de A_1 tendría 2 unidades en dimensión 0, esto es, 2 puntos. De forma consistente con este razonamiento, se hace notar que la superficie de una esfera separa a la esfera del resto del espacio tridimensional, que una circunferencia separa al círculo del resto del espacio bidimensional, y que dos puntos separan a un segmento del resto del espacio unidimensional.

Siguiendo con esta interpretación, el volumen de un punto es 1 unidad en dimensión 0, esto es, un punto. Un punto no está separado ni limitado en su dimensión 0, por lo que carece de superficie o ésta tiene tamaño 0. Efectivamente, a partir de (10) tenemos V_0 = 1, y a partir de (13) tenemos A_0 = 0.

3. Demostración de una familia de fórmulas para el número Pi

Volviendo a la expresión (1) y modificándola ligeramente:

\displaystyle{V_i=V_i\left(R\right)=\int_{-R}^{R}{V_{i-1}\left(r(x)\right)}dx=2\int_{0}^{R}{V_{i-1}\left(r(x)\right)}dx}

donde a su vez:

\displaystyle{V_{i-1}=V_{i-1}\left(r(x)\right)=2\int_{0}^{r(x)}{V_{i-2}\left(r(y)\right)}dy}

donde a su vez, según (11):

V_{i-2}\left(r(y)\right)=k_{i-2}[r(y)]^{i-2}

Y según (2):

\begin{array}{l} r(x)=\sqrt{R^2-x^2} \\ \\ r(y)=\sqrt{{r(x)}^2-y^2} \end{array}

Por consiguiente:

\begin{matrix} \displaystyle{V_i\left(R\right)=2\int_{x=0}^{x=R}{V_{i-1}\left(r(x)\right)}dx=2 \int_{x=0}^{x=R} \left [2\int_{y=0}^{y=r(x)=\sqrt{R^2-x^2}} k_{i-2}[r(x)^2-y^2]^{\frac{i-2}{2}}dy \right ] dx=} \\ \\ \displaystyle{=4 k_{i-2} \int_{x=0}^{x=R} \left [2\int_{y=0}^{y=r(x)=\sqrt{R^2-x^2}} [r(x)^2-y^2]^{\frac{i-2}{2}}dy \right ] dx} \qquad (15) \end{matrix}

De todos es conocido el binomio de Newton para un exponente k cualquiera:

\displaystyle{\left(a-b\right)^k=\sum_{n=0}^{n=\infty}\left[{(-1)}^n\cfrac{\displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{(k-j+1)}}{n!(k+1)}a^{k-n}b^n\right]} \qquad (16)

Lo mejor de esta fórmula general es que funciona incluso con exponentes fraccionarios, tipo k=1/2, en cuyo caso obtenemos un número ilimitado de sumandos; funciona, sí, pero sólo bajo unas ciertas circunstancias. En concreto, hay unas condiciones necesarias para que (16) converja, por ejemplo, si \left|\frac{b}{a}\right| < 1, o si \left|\frac{b}{a}\right|=1 y k= 0, o si \left|\frac{b}{a}\right|=1 y la parte real de k es positiva. Tal es el caso si tomamos k=\frac{i-2}{2}, a = r y b = y, lo que garantiza que \left|\frac{y}{r}\right|^2 \le 1, obteniéndose:

\begin{array}{rl}{(r^2-y^2)}^{\frac{i-2}{2}} & \displaystyle{=\sum_{n=0}^{n=\infty}\left[\left(-1 \right)^n \, \cfrac{\displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{\left (\cfrac{i-2}{2}-j+1 \right )}}{n! \left (\cfrac{i-2}{2}+1 \right )}r^{2\left(\frac{i-2}{2} -n \right)}y^{2n}\right]=} \\ \\ & \displaystyle{=r^{i-2}\sum_{n=0}^{n=\infty}\left[{(-1)}^n \, \cfrac{\displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{\left (\cfrac{i-2}{2}-j+1 \right )}}{n! \left (\cfrac{i-2}{2}+1 \right )}r^{-2n}y^{2n}\right]=} \\ \\ & \displaystyle{=r^{i-2}\sum_{n=0}^{n=\infty}\left[{(-1)}^n \, \cfrac{2 \displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{\left (\cfrac{i}{2}-j \right )}}{n!i}r^{-2n}y^{2n}\right]} \end{array}

Integrando respecto a y, y considerando (ver (15)) que r = r(x) es independiente de y:

\begin{array}{cl} \displaystyle{\int_{y=0}^{y=r(x)} [r(x)^2-y^2]^{\frac{i-2}{2}}dy=} & \displaystyle{\int_{y=0}^{y=r(x)} r^{i-2}(x)\sum_{n=0}^{n=\infty}\left[{(-1)}^n \, \cfrac{2 \displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{\left (\cfrac{i}{2}-j \right )}}{n!i}r^{-2n}(x)y^{2n}\right]=} \\ \\ & \displaystyle{=\left. r^{i-2}(x)\sum_{n=0}^{n=\infty}\left[{(-1)}^n \, \cfrac{2 \displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{\left (\cfrac{i}{2}-j \right )}}{n!i (2n+1)}r^{-2n}(x)y^{2n+1}\right] \right ]_{y=0}^{y=r(x)}=} \\ \\ & \displaystyle{= r^{i-2}(x)\sum_{n=0}^{n=\infty}\left[{(-1)}^n \, \cfrac{2 \displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{\left (\cfrac{i}{2}-j \right )}}{n!i (2n+1)}r^{-2n}(x)r^{2n+1}\right]=} \\ \\ & \displaystyle{=r^{i-1}(x) \, \cfrac{2}{i} \sum_{n=0}^{n=\infty}\left[{(-1)}^n \, \cfrac{\displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{\left (\cfrac{i}{2}-j \right )}}{n!(2n+1)} \right]=r^{i-1}P_{i-1}} \end{array}

donde r=r(x)=\sqrt{R^2-x^2}, y donde P_{i-1} es independiente de x e igual a:

P_{i-1}=\displaystyle{\cfrac{2}{i} \sum_{n=0}^{n=\infty}\left[{(-1)}^n \, \cfrac{\displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{\left (\cfrac{i}{2}-j \right )}}{n!(2n+1)} \right]}

Integrando respecto a x (ver (15)):

\displaystyle{\int_{x=0}^{x=R} \left [ \int_{y=0}^{y=r(x)=\sqrt{R^2-x^2}} [r(x)^2-y^2]^{\frac{i-2}{2}}dy \right ] dx=\int_{x=0}^{x=R}{{r(x)}^{i-1}P_{i-1}dx}=P_{i-1}\int_{x=0}^{x=R}{{(R^2-x^2)}^{\frac{i-1}{2}}dx}}

La última integral es similar a la que ya hemos resuelto respecto a y, por ello:

\displaystyle{\int_{x=0}^{x=R}{\left(R^2-x^2\right)^{\frac{i-1}{2}}dx}=R^i \, P_i}

donde, obviamente:

\displaystyle{P_i=\cfrac{2}{i+1}\sum_{n=0}^{n=\infty}\left[{(-1)}^n \, \cfrac{\displaystyle{\prod_{j=0}^{j=n}}{\left (\frac{i+1}{2}-j \right )}}{n!(2n+1)}\right]} \qquad (17)

Se obtiene:

\displaystyle{\int_{x=0}^{x=R} \left [ \int_{y=0}^{y=r(x)=\sqrt{R^2-x^2}} [r(x)^2-y^2]^{\frac{i-2}{2}}dy \right ] dx=P_{i-1} \, P_i \, R^i}

De (15) se deduce:

V_i\left(R\right)=4 k_{i-2} \displaystyle{\int_{x=0}^{x=R} \left [ \int_{y=0}^{y=r(x)=\sqrt{R^2-x^2}} [r(x)^2-y^2]^{\frac{i-2}{2}}dy \right ] dx=4 k_{i-2} P_{i-1} \, P_i \, R^i}

De esta última fórmula y de (11) se deduce:

k_i=4P_{i-1} \, P_i \, k_{i-2}

Comparando con (12):

\cfrac{2\pi}{i} \, k_{i-2}=4P_{i-1} \, P_i \, k_{i-2}

De donde se deduce una interesante fórmula para el número \pi:

\pi=2 i \, P_i \, P_{i-1} \qquad (18)

Es importante notar que esta fórmula no es en realidad una única fórmula, sino una familia de fórmulas, debido a que el valor de i puede ser cualquier número natural mayor o igual que 2 (para garantizar la convergencia de las series mostradas en (16)).

Para terminar, una curiosidad. Lógicamente, la fórmula de \pi se puede implementar en un ordenador, siempre que los sumatorios de límite infinito (ver (17)) se limiten hasta un cierto valor N suficientemente alto. Así, para i = 5, N debe tomar el valor 300 \, 000 para lograr una precisión de 11 dígitos de \pi. Y, sin embargo, con i = 17 basta un valor de N = 130 para alcanzar ¡15 dígitos! Parece que la elección del número i es bastante importante para implementar un algoritmo óptimo en el ordenador.

Es interesante que, utilizando matemáticas relativamente simples (de a lo sumo primer curso de carrera universitaria) se pueden analizar con bastante éxito los hipervolúmenes de hiperesferas de dimensión superior a 3, y que de esas matemáticas, a su vez, se puede deducir una familia de fórmulas que permiten calcular el número \pi. La relativa complejidad numérica de esta familia de fórmulas se condensa no obstante en una fórmula de apariencia mucho más simple y, en cierto modo, hermosa.

O incluso divertida: habiendo utilizado la letra i como subíndice a una P, se puede decir que el número «Pi» resulta ser el producto de 2i por dos «Pi’s», y de ahí que a esta fórmula se le podría llamar «de dos Pi´s consecutivos» o «de triple Pi».

Por cierto, Fernando tiene su artículo subido al arXiv: A new method for computing number Pi.

Esta entrada, evidentemente, participa en la Edición 12.2: Carl Friedrich Gauss del Carnaval de Matemáticas, que organizo yo en este blog.

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