Se acerca el período navideño y con él la tradicional costumbre de los regalos. Aunque es posible que actualmente ya no sea tan popular, en otra época el mecano era uno de los juegos estrella en las cartas que los niños enviaban a los Reyes Magos. Todos hemos jugado alguna vez con este popular juego que consiste en ensamblar tiras metálicas mediante tornillos y tuercas.

Combinando estas tiras se pueden conseguir formas y mecanismos muy diversos, desde simples figuras a complejas y elaboradas construcciones

Tiras de Mecano, junto a otros tipos de piezas (imagen tomada de aquí.)

Pero aquí hablamos de matemáticas, y eso es lo que vamos a hacer. Vamos a explorar una faceta muy diferente y menos conocida de este juego de construcción muy relacionada con las matemáticas.

En este blog hemos hablado en bastantes ocasiones sobre las construcciones con regla y compás (por ejemplo en I, II, III, IV, V y VI). Bien, pues lo que vamos a hacer en esta entrada es cambiar la regla y el compás por piezas de mecano. Es decir, vamos a analizar qué tipo de construcciones relacionadas con regla y compás pueden realizarse con las tiras metálicas de un mecano. Por ejemplo, ¿qué números se pueden construir? ¿Podremos construir un polígono regular? ¿Y bisecar un ángulo? ¿Y trisecarlo? No perdáis detalle, nos esperan muchas sorpresas relacionadas con este tema en lo que será una serie de artículos dedicados al mismo.

Antes de nada vamos a introducir algunas cuestiones relacionadas con las piezas que vamos a utilizar y la manera que vamos a tener de trabajar. Como hemos dicho, usaremos solamente las tiras típicas del mecano, que constan de un cierto número de agujeros, donde consideraremos que están situados números enteros, y que se pueden unir unas con otras mediante un tornillo.

Supondremos que estas piezas solamente no tienen dos dimensiones, por lo que para nosotros tendrán altura cero, para no tener problemas a la hora de poner varias piezas unidas en el mismo agujero. Evidentemente esto no es verdad en el mundo real, y por eso mismo las construcciones más elegantes serán las que eviten esta circunstancia.

Construcción de los números racionales

Las tiras, como hemos dicho, tienen una longitud entera, ya que los agujeros están espaciados una cantidad entera. Aunque esto en principio podría parecer una restricción, en realidad no es así. Podemos construir fácilmente otras tiras de longitud racional (no entera). Así como los números racionales surgen como extensión de los números enteros para expresar cantidades de la forma R={p \over q}, con p,q \in \mathbb{Z}.

Para lograrlo, solamente hay que utilizar la semejanza de triángulos. Como se puede observar en la figura siguiente, podemos crear una tira de longitud racional p+ {qr \over d}. Ya que p,q,r y d pueden elegirse libremente, podemos crear cualquier número racional sin limitación.

Construcción de raíces cuadradas

Aparte de números racionales, también podemos construir tiras de longitud a+\sqrt{b}, donde a y b son enteros. En este caso, nos sera útil disponer del Teorema de Pitágoras.

Para realizar la construcción partimos de que b es impar o múltiplo de 4. Por tanto, se puede escribir como b=st con s y t números pares o impares ambos (se incluye el 1). Podemos escribir entonces:

b=x^2-y^2, x=\cfrac{s+t}{2}, y=\cfrac{s-t}{2}

Se puede ver que Pitágoras aparece en la construcción del triángulo rectángulo de lados x, y y \sqrt{b}.

Supongamos que queremos representar el número 7+\sqrt{11}. Primero, elegimos x=6 y vemos que y=5, según la relación anterior. Es interesante comprobar qué valores tienen s y t:

s=x+y=6+5=11; \; t=x-y=6-5=1

En principio puede que parezcan valores auxiliares para encontrar x e y, aunque en realidad no son necesarios para hallar los valores que han de tener las tiras del mecano para conseguir \sqrt{b}.

Se puede comprobar (podéis hacerlo como ejercicio) que para el caso en que b sea de la forma b=4n+2, con n entero, $blatex $ no puede construirse de esta manera. Sin embargo, hay una manera de eliminar esta restricción. Se puede hacer que x tenga longitud \sqrt{4n+3} y por tanto y=1, con lo que la construcción sería válida para los valores de b comentados anteriormente. Del mismo modo, se puede obtener cualquier número racional.

En la imagen siguiente puede verse la construcción de la tira con longitud a+\sqrt{b}=7+\sqrt{11}:

Construcción de una recta

Pero la cosa no se queda aquí: también podemos construir una recta. Me explico: podemos construir un punto móvil que se mueve a lo largo de una recta concreta.

Lo primero que vamos a hacer es realizar la siguiente construcción, con cuatro piezas iguales (las verdes), de longitud p, y otras dos distintas a éstas pero iguales entre ellas (las marrones), de longitud q, que deja en la misma linea a los puntos A, B y C:

Esta construcción tiene un grado de libertad, la distancia entre los puntos A y B, a la que llamaremos x, que puede elegirse como cualquier distancia entre p y q.

Elegido x, se tiene que la distancia entre B y C, a la que llamamos y, queda determinada. Además, el producto x \cdot y tiene un valor fijo, exactamente p^2-q^2. Veámoslo:

Llamemos h a la mitad de la separación vertical entre el punto de unión más alto y el más bajo. Definiendo ahora a^2=p^2-h^2 y b^2=q^2-h^2 tenemos que:

\begin{matrix} x=a-b, \; y=a+b \\ x \cdot y =a^2-b^2=p^2-q^2 \end{matrix}

Fijando ahora en B el origen de coordenadas, O, podemos realizar lo que se llama una inversión. Una de las propiedades interesante de esta inversión es que si el punto A describe una circunferencia o una línea recta, entonces C también lo hace. En este caso, se puede demostrar que fijando el punto A para que describa una circunferencia de centro M (otro punto fijo, ver figura siguiente) y radio MA, moviendo este punto A a lo largo de dicha circunferencia el punto C se mueve a lo largo de una línea recta (la línea discontinua vertical que se ve a la derecha):

Magnífico ¿verdad? Pues esto no acaba aquí. Estad atentos al blog en los próximos días.

El autor de este magnífico estudio es Gerard ‘t Hooft, Premio Nobel de Física en el año 1999. En los próximos días publicaremos alguna entrada más sobre el tema y compartiremos con vosotros los archivos originales donde aparece toda la información sobre estas curiosas e interesantes construcciones.

Esta entrada, que no habría sido posible escribir si la ayuda de mi gran amigo Juanjo, participa en la Edición 3,141592653 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Elisa desde Que no te aburran las M@tes.

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